6.2.3 第2课时 向量平行的坐标表示-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案Word（人教B版）

数学　必修 第二册 RJB 第2课时　向量平行的坐标表示 (教师独具内容) 课程标准：能用坐标表示平面向量共线的条件． 教学重点：1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．3．掌握三点共线的判断方法． 教学难点：1．利用向量的坐标表示解决三点共线问题．2．利用向量共线的坐标表示解决向量的综合问题． 核心素养：通过利用坐标表示的平面向量共线的条件解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　两个向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2． [拓展]　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当x1y1≠0时，a∥b⇔＝，即两个向量的相应坐标成比例． 通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． 1．(向量共线的判定)已知点A(0，1)，B(1，0)，C(2，4)，D(4，2)，则＝________． 答案： 2．(向量共线的坐标表示的应用)若向量a＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，则x＝________． 答案：6 3．(三点共线问题)若A(1，1)，B(2，－4)，C(x，－14)三点共线，则x＝________． 答案：4 题型一　向量共线的判定　 　已知点A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)．判断与是否共线．如果共线，它们的方向相同还是相反？ [解]　由题意，得＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)． 解法一：∵＝－2，∴与共线且方向相反． 解法二：∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0， ∴与共线且方向相反． 【感悟提升】向量共线的判定方法 【跟踪训练】 1．判断下列向量a与b是否共线： (1)a＝，b＝(－2，－3)； (2)a＝(0．5，4)，b＝(－8，64)； (3)a＝(2，3)，b＝． 解：(1)∵×(－3)－×(－2)＝－＋＝0， ∴a与b共线． (2)∵0．5×64－(－8)×4＝32＋32＝64≠0， ∴a与b不共线． (3)∵2×2－×3＝4＋4＝8≠0， ∴a与b不共线． 题型二　向量共线的坐标表示的应用　 　已知向量a＝(－3，1)，b＝(1，－2)，n＝a＋kb(k∈R)． (1)分别求2a－b，n的坐标； (2)若向量c＝(1，－1)，且n与向量kb＋c平行，求实数k的值． [解]　(1)依题意，2a－b＝2(－3，1)－(1，－2)＝(－7，4)，n＝a＋kb＝(－3，1)＋k(1，－2)＝(k－3，1－2k)． (2)由(1)知n＝(k－3，1－2k)，而kb＋c＝k(1，－2)＋(1，－1)＝(k＋1，－2k－1)， 由n与向量kb＋c平行，得(k－3)(－2k－1)＝(1－2k)(k＋1)，解得k＝－． 【感悟提升】利用向量共线的条件求值问题的处理思路 对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量基本定理b＝λa(a≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x2y1＝x1y2直接求解． 【跟踪训练】 2．(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________． 答案： 解析：由题可得2a＋b＝(4，2)，∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，∴4λ－2＝0，即λ＝． (2)已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________． 答案：或 解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b．由可得又点B在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，解得λ＝或λ＝－，所以点B的坐标为或． 题型三　三点共线问题　 　判断下列各组三点是否共线： (1)A(0，1)，B(4，1)，C(－1，2)； (2)D(1，1)，E(－1，5)，F(3，－3)； (3)G(1，1)，H(3，5)，L(－2，－5)． [解]　(1)＝(4，1)－(0，1)＝(4，0)，＝(－1，2)－(0，1)＝(－1，1)， 因为4×1－(－1)×0＝4≠0，所以与不共线， 所以A，B，C三点不共线． (2)＝(－1，5)－(1，1)＝(－2，4)，＝(3，－3)－(1，1)＝(2，－4)， 因为＝－，所以与共线， 又直线DE与DF有公共点D，所以D，E，F三点共线． (3)＝(3，5)－(1，1)＝(2，4)，＝(－2，－5)－(1，1)＝(－3，－6)， 因为＝－，所以与共线， 又直线GH与GL有公共点G，所以G，H，L三点共线． 【感悟提升】三点共线问题的求解策略 三点共线问题的实质是向量共线问题，只要利用三点构造出两个向量，再使用向量共线的条件解决即可．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线，则＝λ，从而(x2－x1，y2－y1)＝λ(x3－x2，y3－y2)，即(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，显然由＝μ，也可得到(x2－x1)(y3－y1)＝(x3－x1)(y2－y1)，或由＝γ，得到(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y3－y1)．当这些条件中有一个成立时，即可得出A，B，C三点共线． 【跟踪训练】 3．向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ 解：＝－＝(k，12)－(4，5)＝(k－4，7)， ＝－＝(k，12)－(10，k)＝(k－10，12－k)． ∵A，B，C三点共线， ∴∥，即(k－4)(12－k)－(k－10)×7＝0． 整理，得k2－9k－22＝0． 解得k＝－2或k＝11． ∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线． 题型四　利用向量共线求解几何问题　 　如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标． [解]　解法一：设＝t＝t(4，4)＝(4t，4t)， 则＝－＝(4t，4t)－(4，0)＝(4t－4，4t)，＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6)． 由，共线知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0， 解得t＝． ∴＝(4t，4t)＝(3，3)，∴点P的坐标为(3，3)． 解法二：设P(x，y)， 则＝(x，y)，＝(4，4)． ∵，共线，∴4x－4y＝0．① 又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)， 且向量，共线，∴－6(x－2)－2(y－6)＝0．② 解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3，3)． 【感悟提升】向量共线在几何中的应用及注意点 (1)向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②证明或判断三点共线、两直线平行． (2)解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量所在直线有公共点确定三点共线，由两向量所在直线无公共点确定两直线平行． 【跟踪训练】 4．已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，－1)，(1，2)，(－1，1)，(3，－5)．求证：四边形ABCD是梯形． 证明：∵＝(－2，3)，＝(－4，6)，∴＝2， 又A，B，C，D四点不共线， ∴在四边形ABCD中，DC∥AB， 又＝(0，－4)，＝(－2，－1)，0×(－1)－(－4)×(－2)≠0，∴与不平行， ∴在四边形ABCD中，AD与BC不平行， ∴四边形ABCD是梯形． 1．若a＝(－2，1)，b＝(x，－3)，a∥b，则x＝(　　) A． B． C． D．6 答案：D 解析：由向量共线条件知－2×(－3)＝x，∴x＝6． 2．(多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　) A．(4，－8) B．(4，8) C．(－4，－8) D．(－4，8) 答案：AD 解析：∵a＝(1，－2)＝(4，－8)＝－(－4，8)，|b|＝4|a|，a∥b，∴b可能是(4，－8)，(－4，8)．故选AD． 3．已知＝(6，1)，＝(4，k)，＝(2，1)．若A，C，D三点共线，则k＝(　　) A．－24 B． C．19 D．4 答案：D 解析：＝＋＝(10，1＋k)，∵A，C，D三点共线，即，共线，∴2(1＋k)＝10，k＝4．故选D． 4．设向量＝(3，－1)，＝(－1，2)，＝(－3，t)． (1)若A，B，C三点共线，则t＝________； (2)若|2＋|＝||，则t＝________． 答案：(1)　(2)－4 解析：(1)＝－＝(－4，3)，＝－＝(－6，t＋1)，若A，B，C三点共线，则∥，所以－4×(t＋1)－3×(－6)＝0，解得t＝． (2)因为2＋＝2(－1，2)＋(－3，t)＝(－5，4＋t)，所以|2＋|＝，因为＝(－4，3)，所以||＝5，又|2＋|＝||，所以＝5，解得t＝－4． 5．已知点A(－1，1)，B(3，2)，D(0，5)，若＝2，AC与BD交于点M，则点M的坐标为________． 答案：(1，4) 解析：设C(x，y)，M(x1，y1)，易得＝(x－3，y－2)，＝(1，4)，由＝2，得(x－3，y－2)＝2(1，4)＝(2，8)，即解得所以C(5，10)．因为＝2，所以△DMA∽△BMC，所以＝＝，所以＝，又＝(x1＋1，y1－1)，＝(6，9)，所以(x1＋1，y1－1)＝(6，9)＝(2，3)，即解得所以点M的坐标为(1，4)． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 由向量平行求参数；向量的坐标运算 向量的坐标表示；由向量共线求参数 由向量共线求参数 向量的坐标运算；由向量平行求参数 由三点共线求参数 由向量平行求参数；向量的坐标运算 向量平行的坐标表示的应用 由三点共线求参数 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 由向量平行求参数；向量的模 由三点共线求点的坐标 向量平行的坐标表示的应用 向量共线的判定 向量平行的坐标表示与基本不等式的综合应用 利用向量共线求解几何问题 由向量平行的坐标表示求解探索性问题 利用向量共线求解几何问题；三点共线的应用 一、单选题 1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　) A．(－5，－10) B．(－4，－8) C．(－3，－6) D．(－2，－4) 答案：B 解析：∵a∥b，∴＝，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)．又a＝(1，2)，∴2a＝(2，4)，3b＝(－6，－12)，∴2a＋3b＝(－4，－8)． 2．已知A(0，－3)，B(3，3)，C(x，－1)，若与共线，则x＝(　　) A．5 B．1 C．－1 D．－5 答案：B 解析：＝(3，3)－(0，－3)＝(3，6)，＝(x，－1)－(3，3)＝(x－3，－4)，又∥，故6(x－3)－3×(－4)＝0，故x＝1． 3．如果向量a＝(k，1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k＝(　　) A．±2 B．－2 C．2 D．0 答案：B 解析：由a与b共线可得，k2＝4，则k＝2或k＝－2．又a与b方向相反，则k＝－2．故选B． 4．已知向量a＝(1，2)，a－b＝(4，5)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 答案：C 解析：∵a＝(1，2)，a－b＝(4，5)，∴b＝a－(a－b)＝(1，2)－(4，5)＝(－3，－3)，2a＋b＝2(1，2)＋(－3，－3)＝(－1，1)．又c＝(x，3)，(2a＋b)∥c，∴－1×3－x＝0，∴x＝－3．故选C． 5．已知向量＝(－1，1)，＝(－2，2)，＝(k＋1，k－3)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k满足的条件是(　　) A．k＝－16 B．k＝16 C．k＝－11 D．k＝1 答案：D 解析：由题意，得＝－＝(－1，1)，＝－＝(k＋2，k－4)．由A，B，C三点不能构成三角形，知A，B，C三点共线，则∥，即k＋2＝4－k，解得k＝1．故选D． 二、多选题 6．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则下列计算结果正确的是(　　) A．x＝ B．u＝(2，4) C．v＝(2，3) D．u＋2v＝(5，10) 答案：ABD 解析：∵向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，∴u＝(1＋2x，4)，v＝(2－x，3)，∵u∥v，∴＝，解得x＝，故A正确；u＝(1＋2x，4)＝(2，4)，故B正确；v＝(2－x，3)＝，故C错误；u＋2v＝(2，4)＋2＝(5，10)，故D正确．故选ABD． 7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，＝m＋n(m，n∈R)，则(　　) A．若∥，则m＋n＝0 B．若点P在直线BC上，则m＋n＝1 C．若＋＋＝0，则m－n＝0 D．若与共线，则m＋n＝－1 答案：AC 解析：因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，所以＝(1，2)，＝(1，－1)，＝(2，1)，所以＝m＋n＝(m＋2n，2m＋n)．对于A，因为∥，所以(2m＋n)×1－(m＋2n)×(－1)＝0，即m＋n＝0，故A正确；对于B，＝－＝(m＋2n－2，2m＋n－3)，因为点P在BC上，所以∥，所以(2m＋n－3)×1－(m＋2n－2)×(－1)＝0，即m＋n＝，故B错误；对于C，＝(1－m－2n，1－2m－n)，＝(2－m－2n，3－2m－n)，＝(3－m－2n，2－2m－n)，因为＋＋＝0，所以(6－3m－6n，6－6m－3n)＝(0，0)，即解得m＝n＝，所以m－n＝0，故C正确；对于D，＝(m＋2n－1，2m＋n－1)，＝(1，－1)，由与共线，得(m＋2n－1)×(－1)－(2m＋n－1)×1＝0，即m＋n＝，故D错误．故选AC． 三、填空题 8．若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝________． 答案：－9 解析：＝(－8，8)，＝(3，y＋6)．∵A，B，C三点共线，∴∥，∴－8(y＋6)－24＝0，∴y＝－9． 9．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，2)，且(a－3b)∥(2a＋kb)(k∈R)，则|2a＋kb|＝________． 答案：2 解析：因为a＝(2，0)，b＝(1，2)，所以a－3b＝(－1，－6)，2a＋kb＝2(2，0)＋k(1，2)＝(4＋k，2k)，又(a－3b)∥(2a＋kb)，所以－1×2k＝－6×(4＋k)，解得k＝－6，所以2a＋kb＝(－2，－12)，则|2a＋kb|＝＝2． 10．过点P1(2，3)，P2(6，－1)的直线上有一点P使||∶||＝3∶1，则点P的坐标为________． 答案：(5，0)或(8，－3) 解析：取O为坐标原点，由||∶||＝3∶1，可得＝3或＝－3，从而当＝3时，＝＋＝(5，0)；当＝－3时，＝－＋＝(8，－3)，于是点P的坐标为(5，0)或(8，－3)． 四、解答题 11．已知向量a＝(－4，1)，b＝(2，5)，且(ka＋b)∥(lb＋a)，求实数k，l满足的关系式． 解：∵ka＋b＝(－4k＋2，k＋5)，lb＋a＝(2l－4，5l＋1)， 又(ka＋b)∥(lb＋a)， ∴(－4k＋2)(5l＋1)－(k＋5)(2l－4)＝0， 整理，得kl＝1． 12．已知点A(－1，0)，B(3，－1)，C(1，2)，且＝，＝，求证：∥． 证明：由题意知＝(4，－1)，＝(2，2)，＝(－2，3)， ∴＝＝，＝＝． ∴＝－＝＋－＝(4，－1)＋－＝． 又＝(4，－1)，4×－(－1)×＝0， ∴∥． 13．已知向量a＝(m，1)，b＝(4－n，2)，m>0，n>0，若a∥b，则＋的最小值是________． 答案： 解析：∵a∥b，∴4－n－2m＝0，即n＋2m＝4．∵m>0，n>0，∴＋＝(n＋2m)＝≥＝，当且仅当n＝4m＝时取等号，∴＋的最小值是． 14．如图，O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，则点M的坐标为________． 答案： 解析：∵＝＝(0，5)＝，∴C．∵＝＝(4，3)＝，∴D．设M(x，y)，则＝(x，y－5)，∵∥，＝，∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20　①，又＝，＝，∥，∴x－4＝0，即7x－16y＝－20　②，联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为． 15．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，k，t为正数，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－a＋b，是否存在实数k，t，使x∥y？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：不存在．理由如下： 因为x＝a＋(t2＋1)b＝(1，2)＋(t2＋1)·(－2，1)＝(－2t2－1，t2＋3)， y＝－a＋b＝－(1，2)＋(－2，1) ＝， 假设存在正实数k，t，使x∥y， 则(－2t2－1)－(t2＋3)＝0． 化简得＋＝0，即t3＋t＋k＝0． 因为k，t是正实数，故满足上式的k，t不存在． 所以不存在正实数k，t，使x∥y． 16．已知A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)，其中a>0，b>0． (1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值； (2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值． 解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，所以＝，即(a，0)＝(2，2－b)，也就是解得 (2)由A，B，C三点共线，可知∥， 又＝(－a，b)，＝(2，2－b)， 所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab． 因为a>0，b>0，所以2(a＋b)＝ab≤， 即(a＋b)2－8(a＋b)≥0， 解得a＋b≥8或a＋b≤0． 因为a>0，b>0，所以a＋b≥8，当且仅当a＝b＝4时，等号成立，所以a＋b的最小值是8． 11 学科网（北京）股份有限公司 $