5.4 统计与概率的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

5.4　统计与概率的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.本节课的重点是能用随机模拟的方法进行估计，了解游戏、遗传性问题中的概率问题. 2.本节课的难点是利用统计和概率的知识解决日常生活和其他学科中的一些难题. 题型(一)　概率在整体估计中的应用 [例1]　某厂在广告中宣称自己的产品合格率为94%，市场管理人员在市场上随机购买了该产品3件，结果发现均为不合格产品，则该厂是否进行了虚假宣传呢? 解：如果产品合格率为94%，则随机抽取一件产品，不合格的概率应为1-94%=6%.此时随机抽取3件，都不合格的概率为6%×6%×6%=0.021 6%.一件概率是0.021 6%的事是不太可能发生的，但发生了，因此有理由相信该厂进行了虚假宣传. |思|维|建|模| 产品的合格率属实，则抽取检验的产品是次品的事件发生的概率就很小，如果连续若干次检测出次品的事件发生了，即小概率事件连续若干次发生，则该产品的合格率是不可信的. [针对训练] 1.为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量. 解：设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A={带有记号的天鹅}，则P(A)=. ① 第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)=. ② 由①②两式，得=，解得n=1 500. 所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只. 题型(二)　概率在决策中的应用 [例2]　一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平!你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平?”分析这个游戏是否公平. 解：把卡片六个面的颜色记为G1，G2，G3，B1，B2，B3，其中，G表示绿色，B表示蓝色；G3和B3是两面颜色不一样的那张卡片的颜色. 游戏所有的结果如图所示. 不难看出，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为=. 因此，这个游戏不公平. |思|维|建|模| 　　概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、相互独立又是概率计算的核心. (1)游戏规则公平的判断标准为：如果每人获胜的概率相等，那么游戏是公平的. (2)大概率事件易发生，小概率事件不易发生. (3)概率在总体估计中的应用. 　　[针对训练] 2.某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会形式新颖、气氛热烈，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加(若指针没有指向数字，需再次转动转盘)，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平?为什么? 解：该方案是公平的，理由如下： 各种情况如表所示： 4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1==，(2)班代表获胜的概率P2==，即P1=P2，机会是均等的.所以该方案对双方是公平的. 题型(三)　概率的实际应用 [例3]　下面是一种能解决调查敏感问题的问卷样式： 在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选答案；如果得到反面，请按照问题二勾选答案.(友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果.) 问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗? 问题二：捡到东西后是否有据为己有的行为? (1)如果收回的200份问卷里，有62份答“是”，①那么有多少人回答了问题二?其中又有多少人答“是”呢?②估计捡到东西据为己有的行为的比例； (2)回收问卷的多少，对估计捡到东西据为己有的行为的比例是否有重大影响(直观作答，不必说明理由). 解：(1)①由于抛硬币得到正面的概率为，因此可估计出回答问题一的人数为200×=100. 又因为身份证号码最后一个数是奇数与是偶数的概率都是，因此回答了问题一的人中，答“是”的人数可估计为100×=50.由此可得，大约有100人回答了问题二，其中约有62-50=12人答“是”. ②由①知，捡到东西后有据为己有的行为的比例约为12%. (2)没有重大影响. |思|维|建|模| (1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率. (2)统计中的抽样，必须确保总体中每个个体被抽到的可能性相等. [针对训练] 3.某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖(奖金为500元)，通过前三关就可以获得二等奖(奖金为200元)，如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动. (1)求甲最后没有得奖的概率； (2)已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率. 解：(1)记“第一关未通过”为事件A，“第一关通过第二关未通过”为事件B，“前两关通过第三关未通过”为事件C，“甲最后没有得奖”为事件D， 则P(A)=0.3， P(B)=0.7×(1-0.5)=0.35， P(C)=0.7×0.5×(1-0.5)=0.175. 故P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0.825. (2)记“通过了前两关时最后获得二等奖”为事件E，“通过了前两关时最后获得一等奖”为事件F， 则P(E)=0.5×(1-0.3)=0.35， P(F)=0.5×0.3=0.15. 因为甲和乙最后所得奖金总和为900元，所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖. 故甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率为0.35×0.15+0.15×0.35=0.105. 学科网（北京）股份有限公司 $