5.3.3 第2课时 古典概型的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

第2课时　古典概型的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 题型(一)　树形图在古典概型中的应用 [例1]　有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座.求： (1)这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； (3)这四人恰好有1人坐在自己的席位上的概率. 解：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用树形图表示出来，如图所示， 样本点的总数为24，且每个样本点出现的可能性相等. (1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)=. (2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)==. (3)设事件C为“这四人恰好有1人坐在自己的席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)==. |思|维|建|模| 　　当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树形图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法.树形图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果以便于模型的建立与解答. [针对训练] 1.口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率. 解：法一：用A表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1，2；2个黑球也编上序号1，2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有样本点，可用树形图直观地表示出来，如图所示. 由图可知，试验的样本点总数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这24个样本点出现的可能性相同.其中，第二个人摸到白球的样本点有12个，故第二个人摸到白球的概率为P(A)==. 法二：把2个白球编上序号1，2，两个黑球也编上序号1，2.4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有样本点，可用树形图直观地表示出来，如图所示. 由图可知，试验的样本点总数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12个样本点出现的可能性相同.其中，第二个人摸到白球的样本点有6个，故第二个人摸到白球的概率为P(A)==. 题型(二)　古典概型中的有(无)放回抽样问题 [例2]　口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求： (1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率； (2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率. 解：(1)无放回地取球.任意摸出两个小球的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以摸出的是红球和白球的概率为. (2)有放回地取球.样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，而事件“摸出一红一白”包括(红，白)，(白，红)2个样本点，所以两次摸出的球是一红一白的概率为. [变式拓展] 1.保持本例前提条件不变，若从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率. 解：有放回地取球.样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，第一次摸出红球，第二次摸出白球，只包含(红，白)1个样本点，故所求概率为. 2.保持本例前提条件不变，若从袋中依次无放回地摸出两球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率. 解：无放回地取球.样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)}，所以先摸出红球，再摸出白球的概率是p=. 　　|思|维|建|模| 　　“有放回抽取”和“无放回抽取”的概率求解问题是初学者特别容易出错的，而且也是特别经典的题型，学习时要注意区分是“有放回抽取”还是“无放回抽取”.“有放回”是指抽取物体时，每次抽取之后，都把抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的；“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，把抽取的物体放到一边，并不放回原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体总数较前一次被抽取的物体总数少. 若无特殊说明，“无放回抽取”应为一次取出相应的元素，在求解对应的样本点总个数时要注意对事件性质的确认，一次取出的元素之间无顺序的差异性.而“无放回抽取”中的“逐个抽取”，取出的结果则有先后顺序之分. 　　[针对训练] 2.一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1~10这10个数字，今随机地连续摸取两次，每次摸取1个小球，如果： (1)小球是不放回的； (2)小球是有放回的. 求这两个小球上的数字为相邻整数的概率. 解：如果小球是不放回的，则第一次摸取有10种不同的结果，第二次摸取只有9种不同的结果，共有10×9=90(种)不同的结果；如果小球是放回的，则第一次与第二次分别摸取时，均有10种不同的结果，所以共有10×10=100(种)不同的结果.“这两个小球上的数字为相邻整数”包含的样本点，如“树形图”， 列举出所包含的样本点数为18种. (1)“连续摸取两次，每次摸取一个小球，不放回”所求的概率为=. (2)“连续有放回地摸取两次，每次摸取一个球”所求的概率为=. 题型(三)　古典概型与其他知识综合 [例3]　已知关于x的二次函数f(x)=mx2-nx-1，令集合M={1，2，3，4}，N={-1，2，4，6，8}，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，构成数对(m，n). (1)列举数对(m，n)的样本空间，样本点共有多少个? (2)记事件A为“二次函数f(x)的单调递增区间为[1，+∞)”，求事件A的概率. (3)记事件B为“关于x的一元二次方程|f(x)|=2有4个零点”，求事件B的概率. 解：(1)由题意可得，m∈{1，2，3，4}，n∈{-1，2，4，6，8}，数对(m，n)的样本空间为 Ω={(1，-1)，(1，2)，(1，4)，(1，6)，(1，8)，(2，-1)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，-1)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(3，8)，(4，-1)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(4，8)}，样本点共20个. (2)若二次函数f(x)的单调递增区间为[1，+∞)，则二次函数f(x)的对称轴x==1，即n=2m，由(1)可得，总的样本点个数为20， 符合n=2m的样本点为(1，2)，(2，4)，(3，6)，(4，8)共4个，所以P(A)==. (3)因为m>0，二次函数的图象开口向上， 方程|f(x)|=2有4个零点，即方程f(x)=2和f(x)=-2各有2个零点， 等价于二次函数f(x)=mx2-nx-1的最小值小于-2，所以<-2，即n2>4m， 样本空间中符合n2>4m的样本点有(1，4)，(1，6)，(1，8)，(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，4)，(3，6)，(3，8)，(4，6)，(4，8)，共11个，所以P(B)=. [针对训练] 3.投掷6次骰子得到的点数分别为1，2，3，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　将6个数由小到大排列，中位数是第3个数和第4个数的平均数， 因为x∈{1，2，3，4，5，6}，且中位数为4，所以第3个数和第4个数只可能是3，5，x中的较小的两个数，又因为=4，所以x≥5，即x只能取5和6，故所求概率为=. 4.若a∈A且a-1∉A，a+1∉A，则称a为集合A的孤立元素.若集合M={1，2，3，4，5，6}，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析：选C　集合M={1，2，3，4，5，6}的三元子集有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，6}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，3，6}，{1，4，5}，{1，4，6}，{1，5，6}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，4，5}，{2，4，6}，{2，5，6}，{3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{4，5，6}，共20个.满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为{1，3，5}，{1，3，6}，{1，4，6}，{2，4，6}，一共4个.由古典概型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率P==. 学科网（北京）股份有限公司 $