5.3.4 频率与概率-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

5.3.4　频率与概率 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.本节课的重点是了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性，理解概率的含义. 2.本节课的难点是理解频率与概率的区别与联系. 逐点清(一)　对概率概念的理解 [多维理解] (1)在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大. (2)概率是一个确定的数，与每一次的试验次数无关. [微点练明] 1.某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明 (　　) A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件 B.该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件 C.该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品 D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99% 解析：选D　对于A，该厂生产的10 000件产品中不合格的产品不一定有1件，可能是多件或者没有，故A错误； 对于B，该厂生产的10 000件产品中合格的产品不一定是9 999件，故B错误； 对于C，该厂生产的10 000件产品中可能有不合格产品，故C错误； 对于D，该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D正确.故选D. 2.下列说法正确的是 (　　) A.随机事件的频率等于概率 B.随机事件A的概率P(A)=2 C.一个随机事件的频率是固定的 D.当重复试验次数足够大时，可用频率估计概率 解析：选D　对于A、D，当重复试验次数足够大时，可用频率来估计概率，所以A错误，D正确； 对于B，随机事件A的概率P(A)∈(0，1)， 所以B错误； 对于C，一个随机事件的频率与试验次数有关，不是固定的，所以C错误. 3.一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为 (　　) A.200颗 B.300颗 C.400颗 D.500颗 解析：选B　设白色围棋子的数目为 n，则由已知可得=， 解得n=300，即白色围棋子的数目大约有300颗. 逐点清(二)　用频率估计概率 [多维理解] 　　一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为.此时也有0≤P(A)≤1. [微点练明] 1.一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是550 mL，现从中随机抽取10瓶，测得各瓶的净含量为(单位：mL)： 542 548 549 551 549 550 551 555 550 557 若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在547.5 mL~552.5 mL之间的概率估计为 (　　) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.7 解析：选D　从数据可知，在随机抽取的10瓶水中，净含量在547.5 mL~552.5 mL之间的瓶数为7，频率为=0.7，由频率分布估计总体分布，可知该批纯净水中，净含量在547.5 mL~552.5 mL之间的概率为0.7.故选D. 2.某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20 ℃，25 ℃)内，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 3 6 25 38 18 将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x= (　　) A.100 B.300 C.400 D.600 解析：选B　由题表数据知，最高气温低于25 ℃的频率为=0.1，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1. 3.从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是 (　　) A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37 解析：选A　由题意知，∵有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，∴总次数是100，由题表可以看出取到号码为奇数有13+5+6+18+11=53种结果，故所求频率为=0.53. 逐点清(三)　由频率分布直方图估计概率 [典例]　某超市每年的7月份开始销售西瓜，在7月份的每天计划进货量都相同，进货成本为每千克0.8元，销售价格为每千克1.2元，当天超出需求量的部分，以每千克0.5元全部卖出.根据往年的销售经验，每天需求量与当天最高气温(℃)有关，若最高气温低于25 ℃，需求量为1 000千克，若最高气温位于[25，30)(℃)之间，需求量为2 000千克，若最高气温不低于30 ℃，需求量为3 000千克.为了制订2026年7月份的订购计划，统计了近三年7月份各天的最高气温数据，得到右栏的频率分布直方图.以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于各区间的概率. (1)估计2026年7月份西瓜一天的需求量不超过2 000千克的概率； (2)设7月份西瓜一天的销售利润为Y(单位：元)，当7月份西瓜一天的进货量为2 500千克时，写出Y的所有可能取值，并估计Y大于零的概率. 解：(1)当最高气温低于30 ℃时，西瓜一天的需求量不超过2 000千克，由频率分布直方图可知，最高气温低于30 ℃的频率为(0.008 9+0.031 1+0.080 0)×5=0.6， ∴估计2026年7月份西瓜一天的需求量不超过2 000千克的概率为0.6. (2)依题意进货量为2 500千克，若最高气温低于25 ℃，需求量为1 000千克，则利润Y=1 000×1.2+1 500×0.5-2 500×0.8=-50(元)； 若最高气温位于[25，30)(℃)之间，需求量为2 000千克，则利润Y=2 000×1.2+500×0.5-2 500×0.8=650(元) ；若最高气温不低于30 ℃，需求量为2 500千克，则利润Y=2 500×1.2-2 500×0.8=1 000(元). ∴Y的所有可能取值为-50，650，1 000，故Y大于零，即最高气温不低于25 ℃时， 由频率分布直方图可知，最高气温不低于25 ℃的概率为(0.080 0+0.046 7+0.033 3)×5=0.8， 故Y大于零的概率为0.8. |思|维|建|模| (1)频数、频率分布图表中各频数、频率或各小区间内的频数(频率)对应的事件是互斥的. (2)两对立事件的概率和为1以及互斥事件的概率加法公式在频率估计概率时仍成立. 　　[针对训练] 　为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组(每组包含左端值，不包含右端值)，画出频率分布直方图，如右栏图所示. (1)根据直方图作频率分布表； (2)估计数据落在[1.15，1.30)中的概率为多少； (3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数. 解：(1)根据频率分布直方图可知，频率=组距×，故可得下表 分组 频率 [1.00，1.05) 0.05 [1.05，1.10) 0.20 [1.10，1.15) 0.28 [1.15，1.20) 0.30 [1.20，1.25) 0.15 [1.25，1.30) 0.02 (2)0.30+0.15+0.02=0.47，所以数据落在[1.15，1.30)中的概率约为0.47. (3)设鱼塘中鱼的总条数约为x，则=， 即x==2 000，所以鱼塘中鱼的总条数约为2 000. 学科网（北京）股份有限公司 $