5.3.2 事件之间的关系与运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

5.3.2　事件之间的关系与运算 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算. 2.本课时的重点是了解事件间的关系和运算. 3.本课时的难点是掌握互斥事件的概率加法公式. 1.事件的包含与相等 定义 表示法 图示 包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”) A⊆B(或B⊇A) 相等关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”(A⊆B且B⊆A) A=B 2.事件的和(并)与积(交) 定义 表示法 图示 和 给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) A+B(或A∪B) 积 给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) AB(或A∩B) |微|点|助|解| (1)从集合运算的角度去理解事件的和与积. (2)①P(A+B)≤P(A)+P(B)；②P(AB)≤P(A)；③P(AB)≤P(B). 3.事件的互斥与对立 定义 表示法 图示 互斥 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥 AB=∅(或A∩B=∅) 对立 给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件. 如果B=，则称A与B相互对立 事件A的对立事件记作 4.互斥事件的概率加法公式 (1)互斥事件的概率加法公式：当A与B互斥(即AB=∅)时，有P(A+B)=P(A)+P(B). (2)一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). (3)P(A)+P()=1. |微|点|助|解| 辨析互斥事件与对立事件的思路 ①从发生的角度看： 在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生. 两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两个事件对立，必定互斥，但两个事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例. ②从事件个数的角度看： 互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件. ③从集合的角度理解互斥事件与对立事件： 互斥事件对应集合的交集为空集，对立事件对应集合的并集为全集，且对立事件对应集合互为补集. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若A=B，则A，B同时发生或A，B同时不发生. (　　) (2)两个事件的和指两个事件至少有一个发生. (　　) (3)已知事件A与事件B，如果A⊆B且B⊆A，则A=B. (　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2.若P(A)=0.1，P(B)=0.2，则P(A∪B)等于 (　　) A.0.3 B.0.2 C.0.1 D.不确定 解析：选D　因为A与B的关系不确定， 所以P(A∪B)的值不能确定. 3.关于事件A，B的以下结论，其中一定正确的为 (　　) A.若A，B为对立事件，则A，B可能不是互斥事件 B.若A，B为对立事件，则A，B必为互斥事件 C.若A，B为互斥事件，则A，B必为对立事件 D.若A，B为互斥事件，则A，B不可能为对立事件 解析：选B　因为对立事件一定是互斥事件，所以B正确，A错误；又因为互斥事件可能是对立事件也可能不是对立事件，所以C、D错误. 4.根据多年气象统计资料(每天的天气状况为晴天或阴天或下雨)，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为　　　　.  解析：每天的天气状况只有三种可能，即可为晴天或阴天或下雨，且互为互斥事件，故晴天的概率为1-0.45-0.20=0.35. 答案：0.35 题型(一)　事件的关系 [例1]　(1)同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B，则有 (　　) A.A=B B.A⊇B C.A⊆B D.A与B之间没有关系 (2)掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系. 解析：(1)由同时抛掷两枚硬币，样本空间为Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，其中事件A={(正，正)}，事件B={(正，正)，(正，反)，(反，正)}，所以A⊆B. 答案：C (2)当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A⊆C，B⊆C；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系. 综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C. |思|维|建|模| 　　判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系. [针对训练] 1.已知事件A，B，C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是 (　　) A.事件A发生一定导致事件C发生 B.事件B发生一定导致事件C发生 C.事件发生不一定导致事件发生 D.事件发生不一定导致事件发生 解析：选D　由已知可得A⊆C，又因为A⊆B，B⊆C，如图，事件A，B，C用集合表示，则A、B正确，事件⊆，则C正确，D错误. 2.掷一枚骰子，观察其向上的点数，可能得到以下事件：A=“出现1点”；B=“出现2点”；D=“出现4点”；E=“出现5点”；G=“出现的点数不大于1”；H=“出现的点数小于5”；I=“出现奇数点”；J=“出现偶数点”.请判断下列两个事件的关系：(1)B　　　　H；(2)D　　　　J；(3)E　　　　I；(4)A　　　　G.  解析：(1)因为“出现的点数小于5”包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H.(2)“出现偶数点”包括出现2点，出现4点，出现6点三种情况，所以事件D发生时，事件J必然发生，故D⊆J.(3)“出现奇数点”包括出现1点，出现3点，出现5点三种情况，所以事件E发生时，事件I必然发生，故E⊆I.(4)“出现的点数不大于1”只包括出现1点一种情况，即事件A与事件G相等，故A=G. 答案：(1)⊆　(2)⊆　(3)⊆　(4)= 题型(二)　事件的运算 [例2]　(1)甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为 (　　) A.E∪F B.E∩F C.E∩ D. (2)(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品. 下列选项正确的是 (　　) A.A∪B=C B.B∪D是必然事件 C.A∩B=C D.A∩D=C 解析：(1)因为甲、乙两个元件构成一并联电路，所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，所以表示电路故障的事件为E∩F. (2)对于A，事件A∪B指至少有一件次品，即事件C，故A正确；对于B，事件B∪D指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；对于C，事件A和B不可能同时发生，即事件A∩B=∅，故C错误；对于D，事件A∩D指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误. 答案：(1)B　(2)AB |思|维|建|模| 事件间的运算方法 (1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算. (2)利用图形.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验的所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算. 　　[针对训练] 3.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件E=“向上的点数为1”，事件F=“向上的点数为5”，事件G=“向上的点数为1或5”，则有 (　　) A.E⊆F B.G⊆F C.E∪F=G D.E∩F=G 解析：选C　根据事件之间的关系，知事件G发生当且仅当事件E发生或事件F发生，所以E∪F=G. 4.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A={至少1枚正面朝上}，B={至多2枚正面朝上}，事件C={没有硬币正面朝上}，则下列正确的是 (　　) A.C=A∩B B.C=A∪B C.C⊆A D.C⊆B 解析：选D　记事件D={1枚硬币正面朝上}，E={2枚硬币正面朝上}，F={3枚硬币正面朝上}，则A=D∪E∪F，B=C∪D∪E，显然C≠A∩B，C≠A∪B，C⊆B，C⊈A. 题型(三)　事件的互斥与对立 [例3]　某人射击一次，设事件A：“击中环数小于8”；事件B：“击中环数大于8”；事件C：“击中环数不小于8”，事件D：“击中环数不大于9”，则下列关系正确的是 (　　) A.A和B为对立事件 　B.B和C为互斥事件 C.A和C为对立事件 　D.B和D为互斥事件 解析：选C　由题意设事件A：“击中环数小于8”与事件B：“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件，故A错误；事件B：“击中环数大于8” 与事件C：“击中环数不小于8”，能同时发生，所以不是互斥事件，故B错误；事件A：“击中环数小于8”与事件C：“击中环数不小于8”是对立事件，故C正确；事件B：“击中环数大于8”与事件D：“击中环数不大于9”能同时发生，不是互斥事件，故D错误. |思|维|建|模| 互斥事件、对立事件的判定方法 (1)互斥事件不可能同时发生； (2)对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生. 　　[针对训练] 5.掷一枚骰子，设事件A：落地时向上的点数是奇数；B：落地时向上的点数是3的倍数；C：落地时向上的点数是2；D：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法错误的是 (　　) A.A和B有可能同时发生 B.A和D是对立事件 C.B和C是对立事件 D.A和C是互斥事件 解析：选C　依题意，事件A={1，3，5}，B={3，6}，C={2}，D={2，4，6}，事件A和B有相同的样本点：3，A正确；事件A和D不能同时发生，但必有一个发生，则A和D是对立事件，B正确；事件B和C不能同时发生，但可以同时不发生，则B和C不是对立事件，C错误；事件A和C不能同时发生，它们是互斥事件，D正确.故选C. 6.(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有 (　　) A.2个小球恰有1个红球 B.2个小球不全为黑球 C.2个小球至少有1个黑球 D.2个小球都为黑球 解析：选AD　由题意，知一次任意取出2个小球，这2个球可能为2个红球，2个黑球，1个红球1个黑球共3种情况.与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件为2个小球恰有1个红球或2个小球都为黑球.故选AD. 题型(四)　互斥事件、对立事件的概率 [例4]　在某公司职员外出参加培训的活动中，一周内派出的职员人数及其概率如下表所示： 派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6 概率 0.1 0.44 0.2 0.2 0.06 (1)求有4人或5人外出培训的概率； (2)求至少有3人外出培训的概率. 解：设“派出2人及以下外出培训”为事件A，“派出3人外出培训”为事件B，“派出4人外出培训”为事件C，“派出5人外出培训”为事件D，“派出6人及以上外出培训”为事件E. (1)“有4人或5人外出培训”的事件为事件C或事件D，C，D为互斥事件， 根据互斥事件的概率加法公式可知， P(C+D)=P(C)+P(D)=0.2+0.2=0.4. (2)“至少有3人外出培训”的对立事件为“派出2人及以下外出培训”，所以由对立事件的概率可知，P()=1-P(A)=1-0.1=0.9. |思|维|建|模| (1)公式P(A+B)=P(A)+P(B)，只有当A，B两事件互斥时才能使用，如果A，B不互斥，就不能应用这一公式. (2)利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用. [针对训练] 7.某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%， (1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设Ak=“一年内需要维修k次”，k=0，1，2，3，请填写下表： 事件 A0 A1 A2 A3 概率 事件A0，A1，A2，A3是否满足两两互斥? (2)求下列事件的概率： ①A=“在1年内需要维修”； ②B=“在1年内不需要维修”； ③C=“在1年内维修不超过1次”. 解：(1)因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%，则有P(A1)=0.15，P(A2)=0.06，P(A3)=0.04， 显然事件A0，A1，A2，A3中，任意两个事件不可能同时发生，因此事件A0，A1，A2，A3两两互斥，于是得P(A0)=1-(0.15+0.06+0.04)=0.75， 填表如下： 事件 A0 A1 A2 A3 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 所以事件A0，A1，A2，A3满足两两互斥. (2)①由(1)知，“在1年内需要维修”的事件，即事件A1，A2，A3至少有一个发生，而它们两两互斥， 所以P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.25. ②“在1年内不需要维修”的事件，即事件A0发生，所以P(B)=P(A0)=0.75. ③“在1年内维修不超过1次”的事件，即事件A0，A1至少发生一个，所以P(C)=P(A0+A1)=P(A0)+P(A1)=0.9. 学科网（北京）股份有限公司 $