专题5.3.1样本空间与事件&专题5.3.2 事件之间的关系与运算&5.3.3 古典概型（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

本讲义聚焦概率初步核心内容，系统梳理样本空间与随机事件的概念，事件间包含、并交、互斥、对立等关系与运算，以及古典概型的特征、概率公式及基本性质，形成从概念到运算再到应用的完整知识链，为学生搭建清晰的学习支架。 资料采用模块化设计，通过表格梳理概念、即学即练及时巩固、9类题型分层突破，结合打靶、抽奖等生活实例，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理运算的能力。课中助力教师高效授课，课后便于学生自查补漏，提升概率知识应用能力。

专题5.3.1样本空间与事件&专题5.3.2 事件之间的关系与运算&5.3.3 古典概型 教学目标 1．理解随机试验、样本点、样本空间的定义，掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念。 2．掌握事件的包含、并、交、互斥、对立等关系与运算，理解各关系的含义及符号表示。 3．理解古典概型的特征（有限性、等可能性），掌握其概率计算公式，熟记概率的基本性质并能运用。 教学重难点 重点：随机事件相关概念；事件的关系与运算；古典概型的判定及概率计算；概率基本性质的应用。 难点：区分互斥事件与对立事件；古典概型中样本点个数的计数；概率基本性质的灵活运用。 知识点01 有限样本空间与随机事件 1.随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母表示. 随机试验具有以下特点: （1）试验可以在_______条件下重复进行; （2）试验的所有可能结果是_______的,并且不止一个; （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 2.试验的样本点和样本空间 项目 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为_______ 用表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验的样本空间 用表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有个可能结果 则称样本空间为有限样本空间 3.三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.在每次试验中,当且仅当中某个样本点出现时,称为事件发生 必然事件 作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中_______一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件 不可能事件 空集_______任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件 【即学即练】 1．（多选）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（    ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有5个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 2．下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 知识点02 事件的关系和运算 1.事件的包含关系 定义 一般地,若事件发生,则事件_______,我们就称事件包含事件(或事件包含于事件) 含义 发生导致发生 符号表示 _______ (或_______) 图形表示 特殊情况 如果事件包含事件,事件也包含事件,即且,则称事件与事件_______,记作_______ 2.并事件(或和事件) 定义 一般地,事件与事件至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在_______中,或者在_______中,我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件) 含义 与至少有一个发生 符号表示 (或) 图形表示 3.交事件(或积事件) 定义 一般地,事件与事件_______发生,这样的一个事件中的样本点既在事件中,也在事件中,我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件) 含义 与同时发生 符号表示 (或) 图形表示 4.互斥事件(或互不相容事件) 定义 一般地,如果事件与事件_______发生,也就是说是一个不可能事件,即,则称事件与事件互斥(或互不相容) 含义 与不能同时发生 符号表示 图形表示 5.对立事件 定义 一般地,如果事件和事件在任何一次试验中_______一个发生，那么称事件与事件互为对立.事件的对立事件记为 含义 与有且仅有一个发生 符号表示 , 图形表示 【即学即练】 1．打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 2．某人打靶时连续射击三次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（    ） A．三次都没有中靶 B．三次都中靶 C．至多一次中靶 D．只有一次中靶 知识点03 古典概型 1.概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件的概率用表示. 2.古典概型 一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有_______个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性_______(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 3.古典概型概率公式 一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率_______，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 【即学即练】 1．某学校为调查同学观看“9·3阅兵”的情况，从600名同学中抽取30人进行了解，则每名同学被抽到的概率为（  ） A． B． C． D． 2．甲乙丙三位同学之间相互踢毽子．假设他们相互间传递毽子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，毽子传到丙处的概率为 ． 知识点04 概率的基本性质 一般地,概率具有如下性质: 性质1:对任意的事件,都有_______ 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即. 性质3:如果事件与事件互斥,那么_______ 如果事件两两互斥,那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即 性质4:如果事件和事件互为对立事件,那么 性质5:如果,那么. 性质6:设是一个随机试验中的两个事件,我们有_______ 【即学即练】 1．已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则（    ） A． B． C． D． 题型01 样本空间与样本点表示 【例1】从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件P：这两点的距离不大于该正方形的边长，则事件P包含的样本点的个数为 ． 【例2】体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标有号码0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球．记“摇到的球的号码小于6”为事件，则事件包含的样本点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-1】高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式1-2】某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表： 学生 在职人员 退休人员 满意 75 y 78 不满意 5 z 12 若，，基本事件用表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数． 【变式1-3】做试验“从，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，为第1次取到的数字，为第2次取到的数字”． (1)写出这个试验的样本空间； (2)写出这个试验样本点的总数； (3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点． 题型02 随机事件的判断 【例3】给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【例4】下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【变式2-1】下列事件是随机事件的是（ ） ①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数在定义域上是增函数． A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 【变式2-2】在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有2件是次品 C．3件都是次品 D．至少有1件是正品 【变式2-3】判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子． （1）明天太阳升起； （2）明天上海局部地区下雨； （3）明年小明又大一岁； （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯． 题型03 事件间的关系及运算 【例5】某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例6】（多选）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是 ． 【变式3-2】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（   ） A． B． C． D． （1）事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系； （2）进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. 题型04 互斥事件与对立事件的判断 【例7】不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（    ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 【例8】（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于2”；“点数大于2”；“点数大于5”；“点数为奇数”.则下列说法正确的有（    ） A． B．，为对立事件 C．与互斥 D． 【变式4-1】（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：“所有样本空间”，“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”，则（    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【变式4-2】已知事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，则和（    ） A．是对立事件 B．不是互斥事件 C．互斥但不是对立事件 D．是不可能事件 【变式4-3】记“抛掷一颗骰子，向上的点数是4，5，6”为事件，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2”为事件，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3”为事件， “抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3，4”为事件，下列判断正确的有 （    ）个 ①与互斥； ②与对立； ③与对立； ④与互斥； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 设事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合; ②若事件件与对立,则集合且. 题型05 古典概型的计算 【例9】从字母,,,,中不放回依次取两个字母，则取到字母的概率为（    ） A． B． C． D． 【例10】一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【变式5-1】若，则函数有零点的概率为（） A． B． C． D． 【变式5-2】在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是 . 【变式5-3】已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共5个.若从中抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到红球或蓝球的概率是. (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这5个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5.现从盒中一次性任取两球，设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于7则甲胜，否则乙胜.试从获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平. 计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A所包含的样本点个数; ③代入公式求出概率. 题型06 有放回和无放回的概率问题 【例11】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【例12】一个袋子中有 个红球， 个白球，球的大小和质地相同 (1)若 ， ，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率. (2)若 ，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是 ，求 的最大值. 【变式6-1】现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数,且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖． (1)求两种规则下获得二等奖的概率； (2)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由． 题型07 互斥事件的概率求法 【例13】已知随机事件A，B，A和互斥，且，则 . 【例14】（多选）已知事件两两互斥，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为 【变式7-2】某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为 . 【变式7-3】某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表： 医生人数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z 若派出医生不超过2人的概率为0.56，则 ，若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，则 . 题型08 对立事件的概率求法 【例15】设是一个随机试验中的两个事件，且，则 【例16】某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】设随机事件A，满足，，则（    ） A．0.4 B．0.35 C．0.25 D．0.1 【变式8-2】黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】现有相同的哪吒玩偶和相同的敖丙玩偶足够多，有甲、乙、丙三个小朋友，每人去拿1个或2个玩偶，假设每种不同拿取方式是等可能的，则至少有一个小朋友拿到哪吒玩偶的概率为 . 题型09 概率的基本性质的应用 【例17】已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【例18】设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知事件和是一个随机试验中的两个事件，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 一、单选题 1．以下事件是随机事件的是（    ） A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯 C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根 2．从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（   ） A．“取出的是白球” B．“取出的是黄球” C．“取出的是红球” D．“取出的不是红球” 3．已知且，则为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 5．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．某人有把钥匙，其中把能打开门．现随机地取把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为，则（    ） A． B． C． D． 7．某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（   ） A．规则一，规则二 B．规则一，规则三 C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三 二、多选题 8．某人从装有3个白球和2个红球的袋中随机取出2个球，事件表示取出的2个球都是白球，事件表示取出的2个球都是红球，事件表示取出的2个球中至少有1个白球，事件表示取出的2个球中至少有1个红球，则下列事件是对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是（   ） A．事件“”的概率为 B．事件“m是奇数”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“m是奇数”与“”互为互斥事件 10．某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 三、填空题 11．据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从3名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为 . 12．某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为，出现Y性状的概率为，X，Y两种性状都不出现的概率为，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为 ． 四、解答题 13．从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张．设A：抽出红桃，B：抽出黑桃，C：抽出红色牌，D：抽出黑色牌，E：抽出的牌点数为5的倍数，F：抽出的牌点数大于9，G：抽出黑桃10．讨论： (1)A与B的关系； (2)C与D的关系； (3)B与D的关系； (4)E与F的关系； (5)B、F、G之间的关系． 14．一个袋子中存大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球，设事件A=“第一次摸到红球”，事件B=“第二次摸到黑球”，C=“摸到的两个球恰为一个红球一个白球”． (1)分别求事件、、发生的概率； (2)求事件A、B、C中至多有一个发生的概率． 15．小张、小胡两位小朋友玩游戏，两人轮流从装有编号为1，2，3，4，5的5个球的口袋中有放回的摸出一个小球，规定两人谁摸出的球的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局． (1)求两人平局的概率； (2)玩了几局游戏后，小胡提出“从袋中有放回地随机摸出一个小球，若他们这次摸出的数字之和为偶数，则小胡获胜，否则小张获胜．”，请问：这个规则是否对小胡有利？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3.1样本空间与事件&专题5.3.2 事件之间的关系与运算&5.3.3 古典概型 教学目标 1．理解随机试验、样本点、样本空间的定义，掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念。 2．掌握事件的包含、并、交、互斥、对立等关系与运算，理解各关系的含义及符号表示。 3．理解古典概型的特征（有限性、等可能性），掌握其概率计算公式，熟记概率的基本性质并能运用。 教学重难点 重点：随机事件相关概念；事件的关系与运算；古典概型的判定及概率计算；概率基本性质的应用。 难点：区分互斥事件与对立事件；古典概型中样本点个数的计数；概率基本性质的灵活运用。 知识点01 有限样本空间与随机事件 1.随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母表示. 随机试验具有以下特点: （1）试验可以在相同条件下重复进行; （2）试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 2.试验的样本点和样本空间 项目 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点 用表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验的样本空间 用表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有个可能结果 则称样本空间为有限样本空间 3.三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.在每次试验中,当且仅当中某个样本点出现时,称为事件发生 必然事件 作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件 不可能事件 空集不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件 【即学即练】 1．（多选）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（    ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有5个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 【答案】BC 【详解】样本空间中共有11个样本点，故A错误； 事件中有5个样本点，包括样本点6，故BC正确； 样本点中没有11，故D错误． 故选：BC. 2．下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【答案】C 【详解】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象； 选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是，事件冰水混合物的温度是不是必然现象； 选项C，三角形的内角和为，这个事件为必然现象； 选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象． 故选：C. 知识点02 事件的关系和运算 1.事件的包含关系 定义 一般地,若事件发生,则事件一定发生,我们就称事件包含事件(或事件包含于事件) 含义 发生导致发生 符号表示 (或) 图形表示 特殊情况 如果事件包含事件,事件也包含事件,即且,则称事件与事件相等,记作 2.并事件(或和事件) 定义 一般地,事件与事件至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件中,或者在事件中,我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件) 含义 与至少有一个发生 符号表示 (或) 图形表示 3.交事件(或积事件) 定义 一般地,事件与事件同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件中,也在事件中,我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件) 含义 与同时发生 符号表示 (或) 图形表示 4.互斥事件(或互不相容事件) 定义 一般地,如果事件与事件不能同时发生,也就是说是一个不可能事件,即,则称事件与事件互斥(或互不相容) 含义 与不能同时发生 符号表示 图形表示 5.对立事件 定义 一般地,如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件与事件互为对立.事件的对立事件记为 含义 与有且仅有一个发生 符号表示 , 图形表示 【即学即练】 1．打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 【答案】C 【详解】由题意，表示共击中0次，表示共击中1次， 所以表示打靶3次，其中“至多击中1次”，或“击中不超过1次”. 故选：C 2．某人打靶时连续射击三次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（    ） A．三次都没有中靶 B．三次都中靶 C．至多一次中靶 D．只有一次中靶 【答案】A 【详解】根据对立事件的概念，事件“至少一次中靶”的对立事件为“三次都没有中靶”. 故选：A 知识点03 古典概型 1.概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件的概率用表示. 2.古典概型 一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 3.古典概型概率公式 一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 【即学即练】 1．某学校为调查同学观看“9·3阅兵”的情况，从600名同学中抽取30人进行了解，则每名同学被抽到的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从600名同学中抽取30人进行了解，每名同学被抽到的概率为. 故选：D. 2．甲乙丙三位同学之间相互踢毽子．假设他们相互间传递毽子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，毽子传到丙处的概率为 ． 【答案】/0.375 【详解】设甲乙丙分别为，毽子由甲开始传，经过3次传递后的所有可能结果如树状图： 3次传递后的基本事件是种，毽子传到丙处的事件含有基本事件数是3种， 所以经过3次传递后，毽子传到丙处的概率. 故答案为：. 知识点04 概率的基本性质 一般地,概率具有如下性质: 性质1:对任意的事件,都有 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即. 性质3:如果事件与事件互斥,那么 如果事件两两互斥,那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即 性质4:如果事件和事件互为对立事件,那么 性质5:如果,那么. 性质6:设是一个随机试验中的两个事件,我们有 【即学即练】 1．已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 即，解得. 故选：B 2．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据概率公式计算可得，，； 由概率的加法公式可知，代入计算可得 故选：D 题型01 样本空间与样本点表示 【例1】从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件P：这两点的距离不大于该正方形的边长，则事件P包含的样本点的个数为 ． 【答案】8 【详解】两点距离不大于正方形的边长的线段有：OC，OA，OB，OD，AB，BC，CD，DA，样本点个数为8. 故答案为：8 【例2】体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标有号码0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球．记“摇到的球的号码小于6”为事件，则事件包含的样本点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由题意可知，事件,共个样本点. 故选：C. 【变式1-1】高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】从A，B，C，D，E五人中选两人， 不同的选法有：， 所以样本空间中样本点的个数为10． 故选：B. 【变式1-2】某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表： 学生 在职人员 退休人员 满意 75 y 78 不满意 5 z 12 若，，基本事件用表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数． 【答案】样本空间，个数为9． 【详解】由表可知学生人数为80，退休人员人数为90， 所以在职人员人数为（人），即， 因为，， 所以样本空间，样本点的个数为9. 【变式1-3】做试验“从，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，为第1次取到的数字，为第2次取到的数字”． (1)写出这个试验的样本空间； (2)写出这个试验样本点的总数； (3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点． 【答案】(1)答案见解析 (2)6 (3)， 【分析】 【详解】（1）这个试验的样本空间． （2）易知这个试验的样本点的总数是6． （3）“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点为：，. 题型02 随机事件的判断 【例3】给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 【例4】下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【答案】D 【详解】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意； 对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意； 对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意； 对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意. 故选：D. 【变式2-1】下列事件是随机事件的是（ ） ①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数在定义域上是增函数． A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】C 【详解】由于①是物理学定律，从而是必然事件； 由于根据自由落体的相关理论，自由下落的物体做匀加速直线运动，故③是不可能事件； 而明天的天气是不确定的，故②可能发生也可能不发生； 函数在定义域上是增函数当且仅当，所以④可能发生也可能不发生. 根据随机事件的定义，知是随机事件的是②④. 故选：C. 【变式2-2】在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有2件是次品 C．3件都是次品 D．至少有1件是正品 【答案】D 【详解】因为12件产品中，只有2件是次品，从中取3件，其中必定至少有1件是正品. 故选：D 【变式2-3】判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子． （1）明天太阳升起； （2）明天上海局部地区下雨； （3）明年小明又大一岁； （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯． 【答案】确定性现象，随机现象，确定性现象，随机现象，举例见解析. 【详解】（1）明天太阳升起是确定性现象； （2）明天上海局部地区下雨是随机现象； （3）明年小明又大一岁是确定性现象. （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯是随机现象. 如：导体通电时发热、抛一块石头下落都是确定性现象； 掷一枚硬币出现正面、某人射击一次中靶、一个电影院某天的上座率超过50%都是随机现象. 题型03 事件间的关系及运算 【例5】某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】连续射击两次，基本事件有A：“两次都中靶”，B：“两次都没中靶”，C：“第一次中靶且第二次没中靶”，D：“第一次没中靶且第二次中靶”. 事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D， 所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【例6】（多选）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】事件A表示表示“两次都投中”；事件B表示“两次都未投中”； 事件C表示“恰有一次投中”；事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”， A：事件A表示表示“两次都投中”，事件D表示“至少有一次投中”，故，故A正确； B：事件B和事件D是对立事件，故，故B正确； C：事件表示“两次都投中”或“两次都未投中”， 而事件表示“两次都未投中”、 “两次都投中”或“恰有一次投中”，故C错误； D：事件表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，故D正确. 故选：ABD. 【变式3-1】向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是 ． 【答案】 【详解】设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”“点数为2或4或6”， 则. 故答案为：. 【变式3-2】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，事件A包含于事件D，故A正确； 对于B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确； 对于C，至少有一次击中飞机包含两种情况： 两次都击中飞机和恰有一次击中飞机，故，故C正确； 对于D，由于，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确． 故选：ABC 【变式3-3】（多选）如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A. 由题意得， “甲元件正常”， “乙、丙元件同时故障”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”，故表示电路是通路. B. “甲、乙元件同时故障”，“甲原件和乙原件至少有一个正常”， “乙、丙元件同时故障”，“乙原件和丙原件至少有一个正常”，不能得到甲原件一定正常，故不能表示电路是通路. C. “甲元件正常”， “乙元件正常”， “丙元件正常”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”，故表示电路是通路. D. “甲、乙元件均正常”， “甲、丙元件均正常”， 故表示电路是通路. 故选：ACD. （1）事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系； （2）进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. 题型04 互斥事件与对立事件的判断 【例7】不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（    ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】6张卡片中一次性任意取出2张卡片的情况有：“2张都是红色”、“2张都是蓝色”、“2张都是绿色”、“1张红色和1张蓝色”、“1张红色和1张绿色”、“1张蓝色和1张绿色”. “2张卡片都不是红色”与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片恰有1张是红色” 与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片至少有1张是红色”与“2张卡片都为红色”不是互斥事件； “2张卡片至多一张为红色” 与“2张卡片都为红色” 是对立事件. 所以事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为2. 故选：. 【例8】（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于2”；“点数大于2”；“点数大于5”；“点数为奇数”.则下列说法正确的有（    ） A． B．，为对立事件 C．与互斥 D． 【答案】BD 【详解】对于A，“点数大于2”“点数大于5”“点数大于2”，故A错误； 对于B，点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，即为对立事件，故B正确； 对于C，点数为奇数与点数大于2可能同时发生，即与不是互斥事件，故C错误； 对于D，点数为奇数与点数大于5不可能同时发生，故，故D正确. 故选：BD. 【变式4-1】（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：“所有样本空间”，“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”，则（    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【答案】ABC 【详解】由题知与不可能同时发生，所以与互斥，A正确； 事件包含基本事件，事件包含基本事件， 因此，，B正确； 事件包含基本事件，故，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，不互为对立事件，D错误． 故选：ABC 【变式4-2】已知事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，则和（    ） A．是对立事件 B．不是互斥事件 C．互斥但不是对立事件 D．是不可能事件 【答案】C 【详解】事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”， 所以事件和事件不会同时发生，是互斥事件， 因为3粒种子可能只发芽1粒， 所以事件和事件可以都不发生，则和不是对立事件. 故选：C 【变式4-3】记“抛掷一颗骰子，向上的点数是4，5，6”为事件，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2”为事件，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3”为事件， “抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3，4”为事件，下列判断正确的有 （    ）个 ①与互斥； ②与对立； ③与对立； ④与互斥； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】抛掷一颗骰子，向上的点数可能为，，，，，， 对①②，则事件与不可能同时发生，也可以都不发生，故与互斥，但是不对立，故①正确，②错误； 对③，事件与不可能同时发生，但是与一定有一个会发生，故与对立，故③正确； 对④，事件与可以同时发生，如出现点，事件与事件均发生，故与不互斥，故④错误； 故正确只有①③共个. 故选：B 设事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合; ②若事件件与对立,则集合且. 题型05 古典概型的计算 【例9】从字母,,,,中不放回依次取两个字母，则取到字母的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从这5个字母中不放回依次取2个字母，属于有序选取，则 第一次取字母，有5种选择，由于不放回，第二次取字母，有4种选择. 因此，基本事件总数为：. 第一次取到，对应基本事件：，有4种选择； 第二次取到，对应基本事件：，有4种选择； 因此，“取到字母”包含的基本事件数为：. 根据古典概型的概率公式有. 故选：B 【例10】一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】 【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 【变式5-1】若，则函数有零点的概率为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记为样本点，则总体样本空间，共有25个样本点， ①当时，，函数有零点，则， 所以满足函数有零点的样本点有共4个； ②当时，若函数有零点，则，即， 所以满足函数有零点的样本点有，共7个， 记“函数有零点的概率”为事件A， 则， 故选：D 【变式5-2】在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是 . 【答案】. 【详解】因为不超过11的素数有2，3，5，7，11五个数， 从中选取两个不同的数的样本点有， 共10个； 其中和为偶数的样本点有， 共6个； 所以和为偶数的概率为. 故答案为： 【变式5-3】已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共5个.若从中抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到红球或蓝球的概率是. (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这5个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5.现从盒中一次性任取两球，设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于7则甲胜，否则乙胜.试从获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平. 【答案】(1)2,1,2； (2)不公平 【分析】 【详解】（1）设盒中红球个，黄球个，则篮球（）个， 由题意：. 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,2. （2）红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5. 因为从盒中一次性任取两球，有共10个样本点， 根据规则，甲获胜的样本点有：，共6个样本点， 所以甲获胜的概率为， 从而乙获胜的概率为：. 因为，所以这个游戏不公平. 计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A所包含的样本点个数; ③代入公式求出概率. 题型06 有放回和无放回的概率问题 【例11】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分别记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以. 故选：C 【例12】一个袋子中有 个红球， 个白球，球的大小和质地相同 (1)若 ， ，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第一次和第二次都取到白球的概率. (2)若 ，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是 ，求 的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设2个红球为，3个白球为，依次取出2个球的样本空间， 共20种， 设第一次和第二次都取到白球为事件，则共6种， 所以； （2）有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为， 先取白球再取红球的概率为；先取红球再取白球的概率为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以 的最大值为. 【变式6-1】现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 方式①：有放回依次抽取两球，那么每次抽球都有6种可能，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、红3），（红3、绿3），（绿3、红3），（绿3、绿3），共12个. 所以； 方式②：不放回依次抽取两球，那么第一次有 6 种，第二次有 5 种，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、绿3），（绿3、红3），共10个. 所以； 方式③：按颜色等比例分层抽取两球，那么第一次从红球中抽一个（3 种），第二次从绿球中抽一个（3 种），顺序可能固定为红→绿，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、绿3），（红3、绿2），（红3、绿3），共3个，所以； 所以. 故选：D. 【变式6-2】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 【变式6-3】某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数,且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖． (1)求两种规则下获得二等奖的概率； (2)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由． 【答案】(1) (2)两种规则的获奖概率一样大，理由见解析 【详解】（1）据题意，两次抽取小球的所有可能结果为： 记规则一获得二等奖为事件，记规则二获得二等奖为事件， 事件包含五个样本点，故， 事件包含五个样本点，故． 所以两种规则下获得二等奖的概率均为. （2）两种规则的获奖概率一样大．理由如下： 记规则一获得一、二、三等奖分别为事件 由(1)可知事件包含两个样本点，所以 事件包含,共12个样本点，所以 由(1)知， 所以规则一的获奖概率为 记规则二下获得一、二、三等奖分别为事件 事件包含两个样本点，； 事件包含，共十二个样本点，； 由(1)知， 所以规则二的获奖概率. 所以两种规则的获奖概率一样大． 题型07 互斥事件的概率求法 【例13】已知随机事件A，B，A和互斥，且，则 . 【答案】/ 【详解】因为和互斥，所以， 所以，解得， 故答案为：. 【例14】（多选）已知事件两两互斥，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A选项，因为事件互斥，所以，故，A错误； BC选项，因为事件两两互斥，， 所以，B正确，C错误； D选项，，D正确. 故选：BD. 【变式7-1】某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为 【答案】/ 【详解】设事件甲加入理科学社为，事件甲加入十三月音乐社为， 由已知，，， 事件甲同时加入两个社团可表示为， 事件甲只加入其中一个社团可表示为， 且事件，互斥， 所以， 故答案为：. 【变式7-2】某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为 . 【答案】 【详解】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况： ①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故答案为：. 【变式7-3】某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表： 医生人数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z 若派出医生不超过2人的概率为0.56，则 ，若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，则 . 【答案】 / / 【详解】由派出医生不超过2人的概率为，得，， 由派出医生最多4人的概率为，得，， 由派出医生最少3人的概率为，得，. 故答案为：；. 题型08 对立事件的概率求法 【例15】设是一个随机试验中的两个事件，且，则 【答案】 【详解】因为， 因为互斥， 所以 ， 解得，所以 故答案为：. 【例16】某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 【变式8-1】设随机事件A，满足，，则（    ） A．0.4 B．0.35 C．0.25 D．0.1 【答案】D 【详解】注意到，，则， 又， 则. 故选：D 【变式8-2】黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记事件 为“选择景点 ”，事件 为“选择景点 ”， 则事件为“两个景点都不选”，事件为“两个景点都选”. 由题意得， 由得，， ∴. 故选：B. 【变式8-3】现有相同的哪吒玩偶和相同的敖丙玩偶足够多，有甲、乙、丙三个小朋友，每人去拿1个或2个玩偶，假设每种不同拿取方式是等可能的，则至少有一个小朋友拿到哪吒玩偶的概率为 . 【答案】 【详解】如果每个人拿1个玩偶，可以是哪吒或敖丙，如果拿2个玩偶，可以是：两个哪吒，两个敖丙，一个哪吒和一个敖丙共5种不同的拿法， 故甲、乙、丙三个小朋友，每人去拿1个或2个玩偶共有种不同的拿法， 甲、乙、丙三个小朋友没有拿哪吒的拿法有， 所以甲、乙、丙三个小朋友没有拿哪吒的概率为， 所以甲、乙、丙三个小朋友至少有一个小朋友拿到哪吒玩偶的概率为. 故答案为：. 题型09 概率的基本性质的应用 【例17】已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，. 故选：A 【例18】设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 又 所以. 故. 故选：D. 【变式9-1】甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲、乙两个元件互相不影响，故事件相互独立， ， . 故选：A 【变式9-2】已知事件和是一个随机试验中的两个事件，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 又，则，而， 所以. 故选：A 【变式9-3】设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 【答案】 【详解】由，得，解得， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 一、单选题 1．以下事件是随机事件的是（    ） A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯 C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根 【答案】B 【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意； B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意； C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意； D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意． 故选：B． 2．从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（   ） A．“取出的是白球” B．“取出的是黄球” C．“取出的是红球” D．“取出的不是红球” 【答案】D 【详解】从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，结果有“取出的是红球”， “取出的是白球” 和“取出的是黄球”，故与事件“取出的是红球”互为对立事件的是“取出的不是红球”. 故选：D. 3．已知且，则为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 其中偶数有，所以为偶数的概率为． 故选：B． 4．已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，. 故选：D 5．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机， 另一种是两枚炮弹都击中飞机，即发生，必发生，因此，A正确； 对于B，显然事件是事件的对立事件，因此，B正确； 对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此，C正确； 对于D，包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”， 因此，D错误. 故选：D 6．某人有把钥匙，其中把能打开门．现随机地取把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将能打开门的两把钥匙记为和，不能打开门的两把钥匙记为和， 记事件“第二次才能打开门”，表示开门两次事件的样本点，和表示第一次和第二次取到的钥匙记号， 则将不能开门的钥匙立即扔掉且开门两次的事件的总样本空间为： 共12个样本点， 则共4个样本点， 所以如果将不能开门的钥匙立即扔掉，第二次才能打开门的概率为. 如果试过的钥匙不扔掉且开门两次的事件的总样本空间为： 共16个样本点， 则共4个样本点， 所以如果试过的钥匙不扔掉，第二次才能打开门的概率为， 则. 故选：B. 7．某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（   ） A．规则一，规则二 B．规则一，规则三 C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三 【答案】B 【详解】对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的； 对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑、黑， 则随机取出个球的所有可能的情况有 （红，红），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（黑，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以甲发球的可能性为，不公平； 对于规则三，记个红球分别为红、红、红，则随机取出个球所有可能的情况有 （红，红），（红，红），（红，黑），（红，红），（红，黑），（红，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为，是公平的. 因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三. 故选：B. 二、多选题 8．某人从装有3个白球和2个红球的袋中随机取出2个球，事件表示取出的2个球都是白球，事件表示取出的2个球都是红球，事件表示取出的2个球中至少有1个白球，事件表示取出的2个球中至少有1个红球，则下列事件是对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【详解】由题意可知与是互斥事件，但不是对立事件， 与是对立事件，与是对立事件， 与不是互斥事件，即与不是对立事件. 故选：BC. 9．连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是（   ） A．事件“”的概率为 B．事件“m是奇数”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“m是奇数”与“”互为互斥事件 【答案】BD 【详解】连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数有： ， ， ， ， ， ，共36种； 对于A，事件“”所包含的基本事件为： ，共8个， 所以事件“”的概率为，即A错误， 对于B，事件“是奇数”的共有18个， 因此事件“是奇数”的概率为，可得B正确， 对于C，易知的所有取值为， 当时，可知事件“”与“”可以同时发生， 因此C错误， 对于D，若，则，此时是偶数， 因此“是奇数”与“”不可能同时发生， 互为互斥事件，可得D正确， 故选：BD. 10．某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【答案】BD 【详解】A选项，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种情况，分别为A，B，C，D， 其中有3种情况满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误； B选项，乙同学仅随机选择两个选项，共有6种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，其中能得4分的情况有3种，为AB，AD，BD， 故乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为，B正确； C选项，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 其中得分的情况有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为， 由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为， ，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误； D选项，丁同学选择至少一个选项，共有15种情况， 分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 能得2分的情况为A，B，D，故能得2分的概率为， 能得4分的情况为AB，AD，BD，故能得4分的概率为， 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 故选：BD 三、填空题 11．据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从3名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为 . 【答案】 【详解】设3名男生为，2名女生为， 则任选2人有：，10种情况， 其中至少有1名男生有：，9种情况， 则至少有1名男生的概率为， 故答案为： 12．某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为，出现Y性状的概率为，X，Y两种性状都不出现的概率为，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为 ． 【答案】/0.1 【详解】设该家族某成员出现X性状为事件A，出现Y性状为事件B， 则X，Y两种性状都不出现为，两种性状都出现为， 由题，，， 所以， 又， 所以． 故答案为：. 四、解答题 13．从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张．设A：抽出红桃，B：抽出黑桃，C：抽出红色牌，D：抽出黑色牌，E：抽出的牌点数为5的倍数，F：抽出的牌点数大于9，G：抽出黑桃10．讨论： (1)A与B的关系； (2)C与D的关系； (3)B与D的关系； (4)E与F的关系； (5)B、F、G之间的关系． 【答案】(1)是互斥事件，不是对立事件； (2)既是互斥事件，又是对立事件； (3)； (4)； (5) 【分析】 【详解】（1）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生，所以A与B是互斥事件， 但不能保证其中必有一个发生，因为可能抽出“方块”或“梅花”，所以事件A与B不是对立事件， 所以A与B是互斥事件，不是对立事件； （2）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张,“抽出红色牌”和“抽出黑色牌”是不可能同时发生，且其中必有一个发生， 所以C与D既是互斥事件，又是对立事件； （3）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张，抽出的是黑桃，一定是黑色牌， 但抽出的是黑色牌，不一定是黑桃，有可能是梅花， 所以事件B发生时，事件D一定发生，而事件D发生时，事件B不一定发生， 所以； （4）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张，抽出的牌点数大于9，即牌点数为10，一定是5的倍数， 而抽出的牌点数为5的倍数，可能牌的点数为5，也可能是10， 所以事件F发生时，事件E一定发生，而事件E发生时，事件F不一定发生， 所以； （5）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张， 若抽出的是黑桃，且牌点数大于9，则抽出的一定是黑桃10， 所以 14．一个袋子中存大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球，设事件A=“第一次摸到红球”，事件B=“第二次摸到黑球”，C=“摸到的两个球恰为一个红球一个白球”． (1)分别求事件、、发生的概率； (2)求事件A、B、C中至多有一个发生的概率． 【答案】(1)， ， ； (2). 【分析】 【详解】（1）样本空间，共有12个基本事件； 事件，共有6个样本点， 所以， 事件，共有3个样本点，所以， 事件，共有4个样本点，所以． （2）事件中至多有一个发生的情况有，共有8种， 所以． 15．小张、小胡两位小朋友玩游戏，两人轮流从装有编号为1，2，3，4，5的5个球的口袋中有放回的摸出一个小球，规定两人谁摸出的球的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局． (1)求两人平局的概率； (2)玩了几局游戏后，小胡提出“从袋中有放回地随机摸出一个小球，若他们这次摸出的数字之和为偶数，则小胡获胜，否则小张获胜．”，请问：这个规则是否对小胡有利？ 【答案】(1) (2)是 【分析】 【详解】（1）两人有放回的摸出一个小球， 总的情况有：， ， ，共25种情况， 其中两人平局的情况有：，共5种情况， 所以两人平局的概率为. （2）由（1）知，两人有放回地摸出一个小球，共25种情况， 小胡获胜的情况有：，共13种情况， 则小张获胜的情况有12种情况， 所以小胡获胜概率为，则小张获胜的概率为， 显然，这个规则对小胡有利. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $