4.5增长速度的比较教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦“增长速度的比较”，核心知识点包括指数函数、对数函数、一次函数的增长差异及平均变化率。通过投资方案选择情境导入，前承函数性质与基本初等函数，后启函数模型应用，构建知识衔接支架。 此资料以核心素养为导向，通过情境激疑、任务驱动（如函数图像比较、平均变化率计算）培养逻辑推理与数学抽象，采用讨论法结合导学案、数学卡片等教具，实例丰富（如投资回报分析、函数图像增长趋势观察），分层评价任务明确，能提升学生探究能力，便于教师落实教学目标与过程性评价。

课题 4.5增长速度的比较 学校 课型 新授 授课人 时间 课时 教材 学生 分析 本节内容之前教材先安排学习了函数的性质以及基本初等函数，本节内容是增长速度的比较，在此之后是研究函数模型的应用，因此，从内容上看，本节是对前面所学习的几种基本初等函数从增长速度方面来进行比较；从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步巩固和深化；同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础，即根据增长速度的快慢来决定使用哪一种类型的函数来建模．因此，本节内容既是基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用． 学生在前面已经学习过函数的概念、指数函数、对数函数以及幂函数，对基本函数的图像与性质有了较明确的把握， 明确了结合函数图像分析函数性质及函数值变化的基本分析方法，但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长速度变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难， 特别是应用平均变化率分析函数的变化趋势可能尤为抽象，不好理解． 教学 目标 1.能从教材实例中归纳出函数增加快慢的概念，指数函数，一次函数，对数函数三种增长速度的差异； 2.能从教材实例中理解“线性增长”等术语的现实含义； 3.能从实际例子中计算函数的平均变化率，能利用平均变化率分析函数值增长速度的大小。 核心 素养 逻辑推理：三种函数描述增长速度的差异 数学抽象：函数的平均变化率 重点 难点 教学重点：用平均变化率理解函数的增长速度 教学难点：比较指数函数、对数函数、幂函数的增长速度 教法 教具 讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，通过交流与合作，共同解决抽象、运算和逻辑推理中的问题，并配备导学案，数学卡片和尺规等教具。 评价 任务 评价任务1检测目标1、2的达成 评价任务2检测目标2、3的达成 评价任务3检测目标1、2、3的综合达成 评价 量规 评价要点 评价标准 评价层级 不达标预判与 补救措施 1.课堂参与度； 2.知识的掌握程度； 3.小组合作能力。 1.小组参与度高，与组员积极合作交流，并正确得出结论；主动表达自己的观点和上台展示自己的成果且正确；思路清晰、知识梳理合理。 2.评价任务对题率达到80%及以上。 优秀 预判： 措施： 1.基本能参与小组合作讨论与交流；主动表达自己的观点，但不全面，知识梳理基本全面。 2.评价任务对题率达到60%以上。 达标 1.不参与小组合作，不主动表达观点；提问回答不全面；知识点理解不透，梳理不到位，缺少层次。 2. 评价任务对题率低于60%。 不达标 教 学 活 动 设 计 环节1：情景导入，展示目标 设计意图与反思 导语 同学们,如果你现在手里有一笔资金可以用于投资,现在有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报是这样的:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案?为了解决这个问题,让我们一起开始今天的探究吧! 情境激疑，引入新课！ 环节2：任务一：平均变化率 设计意图与反思 教师 活动 问题1：如图,请分别计算两个函数在x=1和x=2处的函数值,你能判断两个函数在区间[1,2]上函数值增加的快慢吗? 提示：第一个f(1)=1,f(2)=,第二个f(1)=1,f(2)= 8,显然第二个f(2)- f(1)大,函数值增加的快. 知识梳理函数y=f(x)从x1到x2(x1≠x2)的平均变化率 (1)定义式:=. (2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)意义:刻画函数值在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上变化的快慢. (4)平均变化率的几何意义: 设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线y=f(x)上任意不同的两点, 函数y=f(x)的平均变化率= =为直线AB的斜率,如图所示. 注意点: Δx是变量x2在x1处的改变量,且x2是x1附近的任意一点,即Δx=x2-x1≠0,但Δx可以为正,也可以为负. 例1.(1)在x=1附近,取Δx=0.3,下列四个函数中,平均变化率最大的是 (　　) A.y=x B.y=x2 C.y=x3 D.y= (2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速率分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系(由大到小)为　　　　.  反思感悟　 求平均变化率的主要步骤 (1)求 Δy=f(x2)-f(x1). (2)求Δx=x2-x1. (3)求平均变化率=. 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务1，并进行自我评价. 评价任务1. 1.已知函数f(x)=x2在x0与x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx与x0之间的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系是(　　) A.k1<k2 B.k1>k2 C.k1=k2 D.无法确定 2.如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况,下列说法正确的是 (　　) A.在0到t0范围内,甲的平均速率大于乙的平均速率 B.在0到t0范围内,甲的平均速率小于乙的平均速率 C.在t0到t1范围内,甲的平均速率大于乙的平均速率 D.在t0到t1范围内,甲的平均速率小于乙的平均速率 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节3：任务二：几种常见函数模型的增长差异的比较 设计意图与反思 教师 活动 问题2：你能根据函数y=2x,y=log2x,y=2x的图象,看出这三个函数图象的变化情况吗?函数的增长速度又如何? 提示：(1)y=2x随x的增大逐渐变“陡峭”; (2)y=log2x随x的增大逐渐变 “平缓”; (3)y=2x随x的增大匀速上升. y=2x的增长速度快于y=2x,y=2x的增长速度快于y=log2x. 知识梳理三种常见函数模型的增长差异 　　函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0) 在(0,+∞)上 的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡峭” 随x的增大逐渐变“平缓” 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度;总存在一个x0,当x>x0时,恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax 总结反思 不同函数增长速度的比较方法 (1)计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率. (2)判断随着x的变化图象逐渐变“陡峭”还是变“平缓”. 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务2，并进行自我评价. 评价任务2. 1.下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是( ) A．y＝x2 B．y＝log2x C．y＝2x D．y＝2x 2．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10．2)，则应选用________作为函数模型． 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节4：任务三：师生共研，走素养之路 设计意图与反思 教师 活动 类型一 几种常见函数模型的增长差异的比较 例1.f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是 (　　) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 规律总结：常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. (2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓. (4)幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间. 类型二 指数函数、对数函数与一次、二次函数模型的比较 例2.函数f(x)=2x(x≥0)和g(x)=x2(x≥0)的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数; (2)求点A,B的坐标; (3)结合函数图象,判断f(3),g(3),f(2 024),g(2 024)的大小. 通过典型例题和题型分类培养学生的逻辑推理、数学抽象和数学运算等素养。 反思感悟　 指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断. (2)根据图象判断指数函数、对数函数和二次函数的增长速度时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象变“陡峭”的函数是指数函数;图象趋于“平缓”的函数是对数函数. 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务3，并进行自我评价. 评价任务3. 1.已知x∈(10,+∞),下列函数中,函数值随x的增大而增大,且函数值增长速度最快的是 (　　) A.y=10ex B.y=10lnx3 C.y=x10 D.y=10·2x 2.函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)指出曲线C1,C2分别对应题中哪一个函数; (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较). 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节5：板书设计与课堂小结 设计意图与反思 1.学生根据教师的板书内容自主归纳总结本节课学习的主要内容，可以利用口头描述，也可以用思维导图或知识架构图来归纳，并展示； 2.教师适时补充完善板书内容和学生的知识总结，帮助学生构建知识体系和知识网络。 培养学生的语言表达概括能力； 同时加深对知识的构建和理解。 环节6：训练巩固评价提升 设计意图与反思 1.函数y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是 (　　) A.2 B.2x C.2+Δx D.2+(Δx)2 2.下列函数中,y随x的增大增长速度最快的是 (　　) A.y=×3x B.y=100 ln x C.y=x100 D.y=100·2x 3.如果函数y=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a的值为 (　　) A.-3 B.2 C.3 D.-2 4.一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=5t2+mt,且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s,则实数m的值为 (　　) A.2 B.1 C.-1 D.6 5.函数f(x)=lox与g(x)=在区间(0,+∞)上的衰减情况为 (　　) A.f(x)的衰减速度越来越慢, g(x)的衰减速度越来越快 B.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢 C.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢 D.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快 6.已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为　　　　.  7.函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化率中,在x=　　　　附近的平均变化率最大.  8.已知函数f(x)=2x2+3,g(x)=2x2+x,h(x)=2x2-x,分别计算这三个函数在区间[2,3]上的平均变化率,并比较它们的大小. 9.某产品近日开始上市,通过市场调查,得到该产品每1件的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下: 上市时间x/天 4 10 36 市场价y/元 90 51 90 (1)根据表中数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系,并简要说明你选取的理由. ①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=alogbx; (2)利用你选取的函数,求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格. 针对本节学习目标，通过检测便于教师及时了解学生的目标达成情况，也便于查缺补漏，评价量化。 环节7：回扣目标 设计意图与反思 1.请大家回看本节学习目标，通过这节课的学习，你达到目标了吗？ 2.学生对照学习目标，在自我评价表中自评 3.根据课堂检测情况，教师对学生进行最后综合评价。 结合前面量规和过程性评价给学生进行量化。 环节8：迁移应用及作业设计 设计意图与反思 1.(多选)在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示.下列说法,其中正确的是 (　　) A. 前5 min温度增加的速度越来越快 B. B.前5 min温度增加的速度越来越慢 C.5 min以后温度保持匀速增加 D.5 min以后温度保持不变 2.下列函数中,在区间[2,4]上的平均变化率最大的是 (　　) A.y= B.y=x3 C.y=2x D.y=x 3.(多选)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的信息,其中正确的是 (　　) A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h B.骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动 C.骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者 D.骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样 4.已知函数y=x3-2的图象上一点(1,-1)及邻近一点(1+Δx,-1+Δy),则等于 (　　) A.3 B.3+(Δx)2 C.3+3Δx D.3+3Δx+(Δx)2 5.已知函数f(x)=x2,g(x)=3x,h(x)=ln x,这三个函数在区间[a,a+1](a>1)上的平均变化率由大到小的顺序为　　　　　　.  6.某公司对营销人员有如下规定: ①年销售额x(万元)在8万元以下,没有奖金;②年销售额x(万元)在[8,64]内时,奖金为y万元,且y=logax(a>0且a≠1),y∈[3,6],且年销售额越大,奖金越多;③年销售额x(万元)超过64万元,按年销售额的10%发奖金. (1)求y关于x的函数解析式; (2)若某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元),求年销售额x所在的范围. 因材施教，分层练习，让每名学生各有所学，体验学习的快乐。 . . 学科网（北京）股份有限公司 $