4.5 增长速度的比较-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

4.5　增长速度的比较 知识层面 1.了解和体会函数模型在实际生活中的广泛应用．　2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，通过对三种函数模型性质的比较，能够建立恰当的数学模型解决实际问题． 素养层面 通过三种不同增长的函数模型差异的学习，培养逻辑推理素养；借助函数模型的应用，提升数学建模素养． 观察函数y＝x，y＝2x，y＝log2x在区间(0，＋∞)上的图象，思考以下几个问题： 问题1．三个函数在区间(0，＋∞)上的图象有什么特点？ 提示：三个函数在区间(0，＋∞)上的图象都是上升的，即单调递增． 问题2.当x趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？ 提示：三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢． 知识点一　平均变化率 我们已经知道，函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率为 ＝． 也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位．因此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢． [微提醒]　(1)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δf＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δf＝f(x1)－f(x2). 学生用书第36页 (2)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]. 知识点二　增长速度的比较 1．几类不同增长的函数模型 (1)一次函数模型 一次函数模型y＝kx(k＞0)的增长特点是线性增长(或直线增长)，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数级增长、爆炸式增长”． (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型 当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x＞1时，n越大其函数值的增长速度就越快． 2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上． 随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢． 因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax(a＞1，n＞0). [微提醒]　指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较 函数 性质　　 y＝ax(a＞1) y＝logax (a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的单调性 单调递增，且a越大，增长越快． 单调递增，且a越小，增长越快． 单调递增，且x＞1时，n越大增长越快． 增长速度 越来越快． 越来越慢． 越来越快． 图象的变化 随x的增大越来越陡． 随x的增大逐渐变缓． 随着n值的不同而不同． 1．下列函数增长速度最快的是(　　) A．y＝3x　　　　　　　　 B．y＝log3x C．y＝x3 D．y＝3x 答案：A 解析：结合函数y＝3x，y＝log3x，y＝x3，y＝3x的图象可知，随着x的增大，函数y＝3x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x3的增长速度，而y＝log3x的增长速度则会越来越慢，y＝3x的增长速度不变，故选A. 2．f(x)＝－2x＋1自变量每增加1个单位，函数值的变化情况为(　　) A．增加1个单位 B．减少1个单位 C．增加2个单位 D．减少2个单位 答案：D 解析：＝＝＝－2.故选D. 3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　) A．y＝2x－2 B．y＝ C．y＝log2x D．y＝(x2－1) 答案：D 解析：方法一　相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，二次函数曲线拟合程度最好．故选D. 方法二　比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D. 4．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的是________． 答案：y＝x2 解析：当x变大时，x比ln x增长得快，所以x2要比x ln x增长得快． 5．函数f(x)＝3x在区间[2，3]上的平均变化率为________． 答案：18 解析：因为＝＝，所以f(x)＝3x在[2，3]上的平均变化率为＝18. 学生用书第37页 题型一　平均变化率 例1　已知函数f(x)＝3x，g(x)＝log3x，h(x)＝x3，分别计算这三个函数在区间[3，4]上的平均变化率，并比较它们的大小． [思路点拨]　 →→ 解：＝＝＝2×33＝54， ＝＝＝log34－1， ＝＝＝37， 所以＞＞. 求函数y＝f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的步骤 第一步：求自变量的改变量Δx＝x2－x1； 第二步：求函数值的改变量Δf＝f(x2)－f(x1)； 第三步：求平均变化率＝＝.　　 对点练1.函数f(x)＝x3－ln x在区间[1，e]上的平均变化率是(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 答案：B 解析：因为f(e)－f(1)＝e3－1－1＝e3－2，所以函数f(x)在区间[1，e]上的平均变化率是.故选B. 题型二　几类函数模型的增长差异 例2　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A．y＝2 024x B．y＝x2 024 C．y＝log2 024x D．y＝2 024x (2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________． [思路点拨]　(1)由题意，指数函数增长速度最快． (2)→→ 答案：(1)A　(2)y2 解：(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．故选A. (2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化． 常见的函数模型及增长特点 1．线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． 2．指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． 3．对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． 4．幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． [注意]　三类函数增长速度的快慢，可以根据自变量改变1个单位时，函数值改变量的大小确定，如对于函数y＝2x，当x由1增加到2时，y由2增加到4(增加2个单位)，当x由2增加到3时，y由4增加到8(增加4个单元)，说明增长速度加快.　　 学生用书第38页 对点练2.分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况． 解：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6； 对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0. 由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y＝2x随着x的增长，函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢． 题型三　函数增长速度的比较 例3　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，比较f(6)，g(6)，f(2 024)，g(2 024)的大小． 解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以1<x1<2，9<x2<10， 所以x1<6<x2，2 024>x2， 从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)， 所以f(6)<g(6). 当x>x2时，f(x)>g(x)， 所以f(2 024)>g(2 024). 又因为g(2 024)>g(6)， 所以f(2 024)>g(2 024)>g(6)>f(6). 指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法 1．根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断． 2．根据图象判断指数函数、对数函数和二次函数的增长型时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数． 　　 对点练3.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出C1，C2分别对应的函数； (2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较． 解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当0<x<x1时，g(x)>f(x)； 当x1<x<x2时，f(x)>g(x)； 当x>x2时，g(x)>f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x). 1．下列函数中，随x的增大，y增长速度最快的是(　　) A．y＝1 B．y＝x C．y＝3x D．y＝log3x 答案：C 解析：结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象(图略)可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.故选C. 2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 答案：D 解析：将x＝0.50代入计算，可以排除A；将x＝2.01代入计算，可以排除B、C.故选D. 3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案：甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案． 答案：乙、甲、丙 解析：将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出． 4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________． 答案：f(x)>g(x) 解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)>g(x). 学科网（北京）股份有限公司 $