4.3 指数函数与对数函数的关系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

4.3　指数函数与对数函数的关系 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系. 2.会求简单函数的反函数.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题. 逐点清(一)　反函数的概念 [多维理解] 1.反函数的定义 一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的反函数.此时，称y=f(x)存在反函数. 2.反函数的记法 函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x). |微|点|助|解| (1)反函数图象的关系 ①同底的指数函数与对数函数互为反函数. ②互为反函数的两个函数图象关于y=x对称. (2)判定存在反函数的方法 ①用定义：若函数y=f(x)值域中任意一个y的值，在定义域中有唯一的x与之对应，则此函数的反函数存在，否则，反函数不存在. ②用单调性：若函数y=f(x)在定义域上单调，则它的反函数存在. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任意一个函数都有反函数. (　　) (2)y=2x与y=log3x互为反函数. (　　) (3)若函数y=f(x)是单调函数，则y=f(x)一定存在反函数. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2.函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞，1] B.[2，+∞) C.(-∞，1]∪[2，+∞) D.[1，2) 解析：选C　因为二次函数f(x) =x2-2ax-3不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(-∞，a]或[a，+∞)上是单调函数，而已知函数f(x)在区间[1，2]上存在反函数，所以[1，2]⊆(-∞，a]或[1，2]⊆[a，+∞)，即a≤1或a≥2.故选C. 3.判定下列函数的反函数是否存在. (1) x 1 2 3 4 5 g(x) -1 0 1 -2 5 (2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点A，B，C. 解：(1)因为对g(x)的值域{-1，0，1，-2，5}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此g(x)的反函数g-1(x)存在. (2)由y=f(x)的图象知，当y=1时，与之对应的x=-1或x=3，即与y=1对应的x的值不唯一，所以此函数的反函数不存在. 逐点清(二)　求反函数 [多维理解] 1.求反函数的两种方法 (1)用y表示出x，然后写出反函数的形式； (2)x，y先互换，然后用x表示出y即可. 2.求反函数的注意点 (1)求反函数时，要先确定原函数的值域. (2)求出反函数后要注明反函数的定义域. [微点练明] 1.已知函数f(x)=log5x，f-1(x)是f(x)的反函数，则f(1)+f-1(1)= (　　) A.10　　　　 B.8　　　　 C.5　　　　 D.2 解析：选C　因为函数f(x)=log5x，所以f-1(x)=5x，所以f(1)=log51=0， f-1(1)=51=5，即f(1)+f-1(1)=5. 2.若函数y=f(x)=1+3-x的反函数为y=g(x)，则g(10)等于 (　　) A.2 B.-2 C.3 D.-1 解析：选B　由y=1+3-x得x=-log3(y-1)，又3-x>0，∴y=1+3-x>1，∴g(x)=-log3(x-1)(x>1)，∴g(10)=-2. 3.求下列函数的反函数： (1)f(x)=+1(x≥0)； (2)f(x)=(x≠1). 解：(1)令y=+1，x≥0， ∴y≥1且x=(y-1)2. ∴f(x)=+1(x≥0)的反函数为f-1(x)=(x-1)2，x∈[1，+∞). (2)令y==，∴y=2+. ∴y≠2且x=. ∴f(x)=(x≠1)的反函数为f-1(x)=，x∈(-∞，2)∪(2，+∞). 逐点清(三)　互为反函数的图象与性质的应用　 [多维理解] 1.反函数的性质 (1)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同，y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同，y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称. (2)如果y=f(x)是单调函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定存在.此时，如果y=f(x)是增函数，则y=f-1(x)也是增函数；如果y=f(x)是减函数，则y=f-1(x)也是减函数. 2.指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数. (2)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称. |微|点|助|解| (1) 原函数与反函数定义域与值域的关系. (2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致. (3)互为反函数的图象关于直线y=x对称；图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数，所以若点(a，b)在函数y=f(x)的图象上，则点(b，a)必在其反函数y=f-1(x)的图象上. [微点练明] 1.(多选)已知函数f(x)在定义域上是增函数，且f(1)=-1，若f(x)的反函数为f-1(x)，则 (　　) A.f-1(-1)=1 B.f-1(x)在定义域上是增函数 C.f-1(-1)=-1 D.f-1(x)在定义域上是减函数 解析：选AB　因为f(1)=-1，且f(x)在定义域上是增函数，所以由反函数的定义及性质可知，f-1(-1)=1，f-1(x)在定义域上是增函数，所以A、B正确，C、D错误. 2.若函数y=f(x)的图象位于第一、二象限，则它的反函数y=f-1(x)的图象位于 (　　) A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第二、三象限 D.第一、四象限 解析：选D　结合函数与反函数的图象关于直线y=x对称，即可得出反函数的图象位于第一、四象限. 3.函数f(x)与函数g(x)互为反函数，若f(x)=且x∈(0，+∞)，则函数g(x)的定义域为 (　　) A.(0，+∞) B.R C.(0，1) D.(1，+∞) 解析：选C　∵当x∈(0，+∞)时，∈(0，1)， ∴函数f(x)=，x∈(0，+∞)的值域为(0，1)，又f(x)与g(x)互为反函数，故g(x)的定义域为(0，1). 4.已知函数y=f(x)的图象与y=log2(x+a)的图象关于直线y=x对称，且满足f(1)+f(2)=2，则a= (　　) A.4 B.2 C.1 D.-1 解析：选B　函数y=f(x)的图象与y=log2(x+a)的图象关于直线y=x对称，所以点(f(1)，1)，(f(2)，2)在函数y=log2(x+a)的图象上，所以所以所以f(1)+f(2)+2a=6，又f(1)+f(2)=2，所以2+2a=6，所以a=2. 学科网（北京）股份有限公司 $