4.2.3 第1课时 对数函数的概念、性质与图象-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

4.2.3　对数函数的性质与图象 第1课时　对数函数的概念、性质与图象 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.类比指数函数来学习对数函数，会求与对数函数有关的定义域问题. 2.初步掌握对数函数的性质和图象，类比指数函数研究对数函数的性质. 1.对数函数的定义 一般地，函数y=logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 2.对数函数的性质与图象 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 定义域为(0，+∞)，图象在y轴的右边 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x=1时，y=0 函数值的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 增函数 减函数 对称性 y=logax与y=lox的图象关于x轴对称 |微|点|助|解| (1)注意点：讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. (2)图象的特点：函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y=logax(a>0，且a≠1)的图象与y=lox(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y=0)对称. (3)底数对图象的影响：比较图象与y=1的交点，此时y=1与对数函数图象交点的坐标为(a，1).交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y=1由左向右看，底数a增大(如图). 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y=2log3x是对数函数. (　　) (2)函数y=log2x-1是对数函数. (　　) (3)y=log4是对数函数. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2.函数y=log2(x-2)的定义域是 (　　) A.(0，+∞) B.(1，+∞) C.(2，+∞) D.[4，+∞) 解析：选C　由题意知x-2>0，解得x>2. 3.若函数f(x)=2loga(2-x)+3(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则点P的坐标是　　　　.  解析：令2-x=1，即x=1，得y=2loga1+3=3，故点P的坐标为(1，3). 答案：(1，3) 题型(一)　对数函数的概念 [例1]　(1)下列函数是对数函数的是 (　　) A.y=lox2 B.y=log3(x-1) C.y=log(x+1)x D.y=logex (2)若函数f(x)=(a2+a-5)logax是以a为底数的对数函数，则f等于 (　　) A.3 B.-3 C.-log36 D.-log38 解析：(1)A，B不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；C不是对数函数，因为对数的底数不是常数；D是对数函数. (2)因为函数f(x) 为对数函数， 所以函数f(x)系数为1，即a2+a-5=1， 即a=2或-3. 因为对数函数底数大于0，所以a=2，f(x)=log2x，所以f=-3. 答案：(1)D　(2)B |思|维|建|模|　判断一个函数是对数函数的方法 　　[针对训练] 1.设f(x)=logax(a>0，且a≠1)，若f(2)=，则f= (　　) A.2 B.-2 C.- D. 答案：C 2.已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，则f=　　　　　　.  解析：设对数函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)， ∵f(x)的图象过点P(8，3)，∴3=loga8，∴a3=8，即a=2.∴f(x)=log2x.∴f=log2=log22-5=-5. 答案：-5 题型(二)　对数函数的图象及应用 [例2]　(1)函数y=|lg(x+1)|的图象是 (　　) (2)已知函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3，5)，则lg m+lg n的值是　　　　.  解析：(1)由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lg x的图象左移一个单位长度而得到，函数y=lg x的图象与x轴的交点是(1，0)，故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0，0)，即函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的公共点是(0，0)，显然四个选项只有A选项满足. (2)因为函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3，5)，故3-m=1，且n=5，则m=2，n=5.所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1. 答案：(1)A　(2)1 [变式拓展] 若例2(1)中的函数y=|lg(x+1)|变为y=f(x)=|log3x|，且f(a)>f(2)，则a的取值范围为　　　　　　　.  解析：作出函数f(x)的图象，如图所示.由于f(2)=f，故结合图象可知，当f(a)>f(2)时，a的取值范围为∪(2，+∞). 答案：∪(2，+∞) |思|维|建|模| 　　对数函数的底数a决定了图象的位置及变化趋势，在同一坐标系中画出多个对数函数图象时， (1)上下比较：在直线x=1的右侧.a>1时，a越大，图象越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图象越靠近x轴. (2)左右比较：比较图象与y=1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 　　[针对训练] 3.设a与b均为实数，a>0且a≠1，已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示，则a+2b的值为 (　　) A.6 　　　B.8 C.10 　　　D.12 解析：选C　令f(x)=y=loga(x+b)，由题图可知，f(0)=logab=2，f(-3)=loga(-3+b)=0，即解得故a+2b=2+4×2=10，故选C. 4.如图所示，曲线是对数函数y=logax的图象，已知a值取，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为 (　　) A. B. C. D. 解析：选A　法一：过点(0，1)作平行于x轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的坐标为(a1，1)，(a2，1)，(a3，1)，(a4，1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底数，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底数值依次由大到小，故选A. 法二：先排C1，C2底的顺序，底都大于1，当x>1时图低的底大，所以C1，C2对应的a值分别为.然后考虑C3，C4的底都小于1，当x>1时，底数越小，图象越靠近x轴，所以C3，C4对应的a值分别为. 综上，可得C1，C2，C3，C4的a值依次为. 题型(三)　与对数函数有关的定义域 [例3]　求下列函数的定义域. (1)f(x)=lg(x-2)+； (2)f(x)=log(x+1)(16-4x). 解：(1)要使函数有意义，需满足解得x>2且x≠3. ∴函数的定义域为(2，3)∪(3，+∞). (2)要使函数有意义，需满足 解得-1<x<0或0<x<4. ∴函数的定义域为(-1，0)∪(0，4). |思|维|建|模| 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负. (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 　　[针对训练] 5.求下列函数的定义域. (1)y=loga(3-x)+loga(3+x)； (2)y=log2(16-4x)； (3)y=loga[(x+3)(x-3)]. 解：(1)由 得-3<x<3. 故函数的定义域是{x|-3<x<3}. (2)由16-4x>0，得4x<16=42， 由指数函数的单调性得x<2. 故函数y=log2(16-4x)的定义域为{x|x<2}. (3)由(x+3)(x-3)>0， 解得x<-3或x>3. 故函数y=loga[(x+3)(x-3)]的定义域为{x|x<-3或x>3}. 学科网（北京）股份有限公司 $