4.2.3 第1课时 对数函数的概念与图象-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第二册人教B版 4.2.3对数函数的性质与图象 第1课时 对数函数的概念与图象 1og2(x+1). 学习目标 A.1个 B.2个 1.理解对数函数的概念，会判断一个函 C.3个 D.4个 数是不是对数函数 川要点2对数函数的图象及性质 2.初步掌握对数函数的图象与性质 3.掌握对数函数的定义域、值域的求法」 (1)明确图象位置：对数函数图象都在 y轴右侧，当x趋近于0时，函数图象会越 要点精析 来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交， 川要点1对数函数的概念 (2)强化分类意识：画对数函数图象之 前要对底数a的取值范围是a>1还是0<a<1 一般地，函数y=1ogx称为对数函数， 进行判断： 其中a是常数，a>0且a≠1. (3)牢记特殊点：对数函数y=logx(a> 思考一个函数是对数函数，需要满 0且a≠1)的图象经过点(1,0)，(a,1) 足几个条件呢？ 例1若函数y=2-5a+4+log2-x是对数 和日小 函数，则a= 思考底数互为倒数的两个对数函数 分析判断一个函数是对数函数的 的图象有什么关系？你能否得出y=f(x)与 方法： y=-f(x)的图象的位置关系呢？ 例2函数y=log(x+c) 系数 对数的系数为1 (a,c为常数，其中a>0且 底数 对数的底数大于零且不等于1 同时对数 a≠1)的图象如图4-2-1所 成立函数 示，则下列结论成立的是 真数 对数的真数仅有自变量x 图4-2-1 A.a>1,c>1 变式训练① B.a>1,0kc<1 下列函数表达式中，是对数函数的 C.0<a<1,c>1 有( D.0<a<1,0kc<1 ①y=log2;②y=logx(aeR)；③y=logr; 分析借助对数函数的图象，结合函数 ④y=lnx;⑤y=log.(x+2);⑥y=2log;⑦y= 图象平移的知识进行判断】 16) 学 第四章指数函数、对数函数与幂函数 反思感悟本题需要先作出基本函数 反思感悟对数型函数要满足真数大 (对数函数)的图象，再由平移变换作出函 于0、底数大于0且不等于1这两个条件， 数图象， 然后取交集即为定义域 变式训练2 B变式训练3 -x+6,x≤2， 若函数f八x)= (a>0且a≠ 函数y=V1ogo.5(4x2-3x)的定义域为 3+logx,x>2 1)的值域是[4，+∞)，则实数a的取值范 围是() A4,u,1 A0.2 B.(1,+0) B.-4,0U1 C.(1,2] D.(0,1) c4,ou刂 川要点3对数型函数的定义域、值域问题： D.4,0u,1 (1)求对数型函数的值域时，一般根据 例4求函数y=log1(3+2x-x2)的值域， 对数函数的定义及真数的取值范围求解， 分析 先弄清原函数是由哪些函数复 (2)求对数型函数的值域时，一定要注 合到一起的，然后按照求值域的方法进行 意定义域对它的影响，然后结合函数的单调 解答 性求解，当函数中含有参数时，需讨论参数 的取值范围. 例3求函数y=log2-)(-4x+8)的定义域. 分析借助对数函数的定义列出相应 的不等式 反思感悟求对数型函数的值域， 方面要抓住对数函数的定义域和单调性， 另一方面要抓住中间变量的取值范围， 学 高中数学必修第二册人教B版 故称对数表.后来改“假数”为“对数” 变式训练④ 例中国科学院院士吴文俊在研究中国 已知函数fx)=log(2+b-1)(a>0且a≠1) 古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用 的图象如图4-2-2所示，则a,b满足的 的方法概括为“出人相补原理”：一个图形 关系是( y 不论是平面的还是立体的，都可以切割成有 A.0<a<b<1 限多块，这有限多块经过移动再组合成另一 B.0<b<a<1 个图形，则后一图形的面积或体积保持不 C.0<b'<a<1 变.利用这个原理，解决下面问题：已知函 D.0ka'<b<1 图4-2-2 数f(x)满足f(4-x)=f(x),且当x∈[0,2] 数学文化 |-10g2(2-x),0≤x≤1， 时的解析式为f(x)= l0g2x,1<x≤2， 最早传入我国的对数著作是《比例与对 则函数y=f(x)在x∈[0,4]的图象与直线 数》，它是由波兰的穆尼斯(1611一1656) y=-1围成的封闭图形的面积是() 和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的. A.2 B.21og23 当时在1g2=0.3010中，2称为“真数”， C.4 D.41og23 0.3010称为“假数”，真数与假数对列成表， (18)学|(x+2y)(x-y)=2xy, x+2y>0, x>>0, ∴.x-y>0, 可得， (x+2y)(x-y)=2xy. x>0, >0, 由(x+2y)(x-y)=2xy可得，x2-y-2y2-0, 号20.解得2或1（含去）， lg子1oe2-log8i-3 例5B【解析】3=4=6>0，设1g34=1g4=lg6=k, lg3-点，le2苏lg6=2,小g24He3e6,即+分 a 2b c 当-2时，名6名改选B 例6解：由3=4=-c(c>0且c≠1)，得a=1ogc,b= o吧e,oo3.古loge4 又2+b-2,de3+hog4=ioe,2=2.即c-12. .c=2V3. 变式训练4 子【解折】a=g4,b=lg4,∴-方og0- a b 1og 5-ogo 数学文化 例D【解析】由题意，不妨设当t=t时，y=0.25,当t仁 t2时，y0.1, 0.2=e六， 即 0.25=0.05+e0, 整理得 0.1=0.05+e六， 0.05=λe帝， 从而0.2=Ae治 0.05e帝，化简整理得e=4, 解得t2-t=20ln2≈14.故选D. 变式训练5 42【解折】lbgb+loga=号，ogb+ogb子， 15 gb-2或号 b>l,ogb<l,ogb=7,ab 又d-b“,.(b2=bb,即2b=b2,b=2,=4. 参考答案。 4.2.3对数函数的性质与图象 第1课时对数函数的概念与图象 要点精析 例14【解析】=log21x+2-5a+4是对数函数， 2a-1>0. 2a-1≠1，解得a=4. a2-5a+4=0. 变式训练1 B【解析】由于①中自变量出现在底数上，.①不是 对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1， ∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x+2), (x+1),∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中1ogx的系数 为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的 定义.故选B. 例2D【解析】由题图知函数单调递减，·0<a<1.当x= 1时，log.(x+c)=log(1+c)<0,即1+c>1,∴.c>0；当x=0 时，log(x+c)=logc>0,即c<1,.0<c<1.故选D. 变式训练2 C【解析】当x≤2时，-x+6≥4，当且仅当x=2时 取等号，满足值域为[4，+∞）. 依题意得，f(x)x>2}C[4,+∞).当0<a<1时， 1ogx<0,3+logx<3<4,不符合要求，.a>1,f(x)在(2， +∞)上单调递增，∴.(3+log2,+∞)C[4,+),则3+ 1og2≥4，解得1<a≤2，.实数a的取值范围是(1,2]. 故选C. -4x+8>0. <2, 例3解：由题意得2x-1>0,解得父2' 2x-1≠1. x≠1， 故函数y=oean(-4+8)的定义域为分，U (1,2). 变式训练3 A【解析】由题可知，1og5(4x2-3x)≥0，由对数函 数的单调性，可得0<4-3x≤1，解得-4≤0或< x≤1，y=Voe(4r3的定义拔为，0U 子，小故选A 例4解：令t=3+2x-x2,则t=-(x-1)2+4≤4，且y= 31 N 高中数学必修第二册人教B版 1og号t为减函数，og二(3+2x-x2)≥1og14=-2,即函 数y=log1(3+2-x2)的值域为[-2，+∞). 变式训练4 A【解析】由图象知，函数为增函数，a>1. 又当x=0时，-1<logb<0,.loga<logb<logl 而a心1，.0<a<b<1<a,故选A 数学文化 C【解析】由题意知，f(x)关于x=2对称， 「-l0g2(2-x),0≤x≤1， 而f(x)= log2x,1<x≤2， 且f0)=f(4)=-1,f2)=1,∴.在xe[0,4],fx, f(4-x)及y=-1的图象如图所示. 1=1 2f(4x) o f(x) 1=-1 例题答图 .将所围成的图形在x轴下半部分的阴影区域分成 两部分相补到x轴上半部分的阴影区域，可得到图中由x 轴、y轴、y=1、=4所围成的矩形的面积，函数yf(x) 在x∈[0,4]上的图象与直线y=-1围成的封闭图形的 面积为4.故选C 第2课时对数函数的性质 要点精析 例1(1)C【解析】0<041,341，log0.3<0,故选C. (2)解：①方法一：：对数函数y=logx在(0，+∞) 上是增函数，且子号，8子如号 方法二：kg子<0,1og号0，og子og号 2.log23>log.2-1=l0gs5>10g4,.log23>l0gs4. 变式训练1 D【解析】0<x<y<a<l,∴f(x)=logx在(0，+∞) 上为减函数，且0<xy<a2,log(y)>log=2,故选D. 例2(1，+∞)【解析】函数y=loga在(0，+∞) 上为减函数，.由log.72x<loga7(x-1), 32 2x>0, 得-1>0，解得>1，即x的取值范围是(1，+∞). 2x>x-1, 变式训练2 1【解析】x<,fx)=f2),由图象可知，1<x< 2<x2. .log2(x1-1)l=log2(x2-1)1,.∴.-1og2(x1-1)=log2(x2-1), 1.l6,即女女 f(x)=llog(x-1)川 2 1 2-i02345x -1F -2 ! 变式训练2答图 例3解：设t=-x2+2+1,则t仁-(x-1)2+2. y=ogt为减函数，且0<t≤2， ymog12=-1,即函数的值域为[-1，+∞). 由-x242+1>0,得1-V2<<1+V2. 易知t=-x2+2x+1在(1-V2,1]上单调递增，在 (1,1+V②)上单调递减，又y=log1t为减函数， .函数y=1og(-2+2x+1)的单调增区间为(1,1+ V2),单调减区间为(1-V2,1. 变式训练3 号，子]【解折】令(e)-m+4+8,对称轴为直 线=-2.y=og在(0，+o)上单调递增，则(x)= m mx2+4x+8在[-3，+∞）上单调递增， _2≤-3， m 解 t(-3)>0, 得me告，号引 例4号2【解标】九e)hat +b是奇函数， [f(0)=lnla+1l+b=0, (2)-tIna-lb=-R-2)--Int,