4.2.2 对数运算法则-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

4.2.2　对数运算法则 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解对数的运算性质，能熟练运用对数的运算性质化简求值. 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 1.对数的运算性质 若a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN； (2)logaMα=αlogaM； (3)loga=logaM-logaN. |微|点|助|解| (1)法则的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(-3)×(-5)]有意义，但log2(-3)与log2(-5)都没有意义. 2.对数运算中的常用结论 已知a>0，且a≠1. (1)loga=logaM-1=-logaM(M>0)； (2)loga=loga=logaM(M>0，n，p∈N+，p，n>1)； (3)推广：logaN1+logaN2+…+logaNk=loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N+，N1，N2，…，Nk均大于0). 3.换底公式 (1)对数换底公式 logab=(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1). (2)推论 ①logab·logba=1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). ②logab·logbc·logca=1(a>0，b>0，c>0，且a，b，c≠1). (3)lobs=logab(a>0，且a≠1，t≠0，b>0). |微|点|助|解| (1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. (2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab=，logab=. 基础落实训练 1.计算log84+log82等于 (　　) A.log86 B.8 C.6 D.1 解析：选D　log84+log82=log88=1. 2.已知lg 3=a，lg 7=b，则lg 的值为 (　　) A.a-b2 B.a-2b C. D. 解析：选B　∵lg 3=a，lg 7=b，∴lg =lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b. 3.计算log92×log43= (　　) A.4 B.2 C. D. 解析：选D　log92×log43=×=×=. 4.若lg 3=a，lg 2=b，用a，b表示log43=　　　　.  解析：log43===. 答案： 题型(一)　对数运算法则的应用 [例1]　计算： (1)2(lg )2+lg ×lg 5+； (2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2； (3). 解：(1)原式=lg ×(2lg +lg 5)+=lg ×(lg 2+lg 5)+(1-lg )=lg +1-lg =1. (2)法一：原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3. 法二：原式=2lg 5+2lg 2+(1-lg 2)(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+1-(lg 2)2+(lg 2)2=2+1=3. (3)分子=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2 =3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2) =3lg 5+3lg 2=3(lg 5+lg 2)=3. 分母=lg 6+2-lg =lg 6+2-lg =lg 6+2-lg 6+2=4.故原式=. 　　|思|维|建|模| 利用对数运算法则化简与求值的原则和方法 (1)基本原则： ①正用或逆用运算法则，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). [针对训练] 1.已知lg 2=a，lg 3=b，则lg =　　　　.(用含a，b的代数式表示)  解析：lg=lg 12-lg 5=lg(3×22)-(1-lg 2) =lg 3+lg 22-1+lg 2=lg 3+3lg 2-1=b+3a-1. 答案：b+3a-1 2.计算：(1)log3(27×92)； (2)； (3)log535-2log5+log57-log51.8. 解：(1)法一：log3(27×92)=log327+log392=log333+log334=3log33+4log33=3+4=7. 法二：log3(27×92)=log3(33×34)=log337=7log33=7. (2)原式===. (3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2log55=2. 题型(二)　换底公式的应用 [例2]　已知log37=a，2b=3，试用a，b表示log1456. 解：因为2b=3，所以b=log23，即log32=. 所以log1456== ===. [变式拓展] 1.本例条件不变，试用a，b表示log2898. 解：log2898== == =. 2.若把本例中条件“2b=3”变为3b=2，其他条件不变，则结论又如何呢? 解：因为3b=2， 所以b=log32.又a=log37， 所以log1456= ==. |思|维|建|模| 利用换底公式计算、化简的常用方法 (1)先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底. (2)一次性地换为常用对数，再化简、通分、求值. (3)将式子中的对数的底数及真数改为幂的形式，然后利用变形lobn=logab进行化简、计算. 　　[针对训练] 3.已知log1227=a，用a表示出log616. 解：由log1227=a，得==a， ∴lg 2=lg 3. ∴log616== ==. 4.计算(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258)的值. 解：法一：原式=· =· =log25×3log52 =13log25×=13. 法二：原式= = =×=13. 法三：原式=(log253+lo52+lo51)·(log52+lo22+lo23) =(log52+log52+log52)=log25×3log52 =×3=13. 题型(三)　对数运算的综合应用 [例3]　(1)已知32x=43y=126，求+的值. (2)已知正实数a，b满足ln a+ln b=ln(a+9b)，求+的最小值. 解：(1)因为32x=43y=126， 所以2x=log3126=6log312， 解得x=3log312=12； 由3y=log4126=6log412， 解得y=2log412=log212， 所以+=+ =3log12+2log122=log12(3×22)=log1212=1. (2)由ln a+ln b=ln(a+9b) 可得ln(ab)=ln(a+9b)， 即ab=a+9b， 所以ab=a+9b≥2， 解得ab≥36， 当且仅当a=18，b=2时，等号成立. 又+= ==1-≥， 当且仅当a=18，b=2时，等号成立， 所以+的最小值为. |思|维|建|模| 　　带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则.要整体把握对数式的结构特征，灵活进行指数式与对数式的互化. 　　[针对训练] 5.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-，则a=　　　　.  解析：根据题意有-=-，即3loga2-=-.设t=loga2(a>1)，则t>0，故3t-=-，解得t=(舍负)，所以loga2=，所以=2，解得a=64. 答案：64 6.已知a>b>1，且logab+logba=，ab=ba，求a的值. 解：∵a>b>1，且logab+logba=，即+logba=，∴设logba=t，则t>1.∴t+=， 解得t=2或t=(舍去)，即logba=2. ∴a=b2. ∵ab=ba，∴(b2)b=b2b=， ∴2b=b2，解得b=2或b=0(舍去)，∴a=4. 学科网（北京）股份有限公司 $