4.2.3 第2课时 对数函数的性质与图象应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

第2课时　对数函数的性质与图象应用 题型一　比较大小 例1　比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 2，ln 0.9； (2)loga5.1，loga5.9(a>0，a≠1)； (3)log67，log76； (4)log3π，log20.8. [思路点拨]　 解：(1)函数y＝ln x的底数为常数e(e>1)， 所以该函数在(0，＋∞)上是增函数， 又2>0.9，所以ln 2>ln 0.9. (2)当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数， 因为5.1<5.9，所以loga5.1>loga5.9. 当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 因为5.1<5.9，所以loga5.1<loga5.9. 综上，当0<a<1时，loga5.1>loga5.9；当a>1时，loga5.1<loga5.9. (3)因为log67>log66＝1，log76<log77＝1， 所以log67>log76. (4)因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0， 所以log3π>log20.8. 比较对数值大小时常用的三种方法　　　　　　　　　　　 　　 对点练1.(1)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π-2，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a (2)比较下列各组值的大小： ①log0.5，log0.6；②log1.51.6，log1.51.4； ③log0.57，log0.67；④log3π，log20.8. 答案：(1)C 解析：(1)a＝log2π>1，b＝logπ<0，c＝π-2∈(0，1)，所以a>c>b.故选C. (2)①因为函数y＝logx是减函数，且0.5<0.6， 所以log0.5>log0.6. ②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4， 所以log1.51.6>log1.51.4. ③因为0>log70.6>log70.5， 所以<， 即log0.67<log0.57. ④因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0， 所以log3π>log20.8. 题型二　解对数不等式 例2　(1)满足不等式log3x<1的x的取值集合为________； (2)根据下列各式，确定实数a的取值范围： ①log1.5(2a)>log1.5(a－1)； ②log0.5(a＋1)>log0.5(3－a). [思路点拨]　(1)利用函数y＝log3x的单调性求解． (2)利用单调性解不等式． 答案：(1){x|0<x<3} 解析：(1)因为log3x<1＝log33，所以x满足的条件为即0<x<3.所以x的取值集合为{x|0<x<3}． (2)①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数． 因为log1.5(2a)>log1.5(a－1)，所以解得a>1， 即实数a的取值范围为(1，＋∞). ②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)>log0.5(3－a)， 所以解得－1<a<1. 即实数a的取值范围为(－1，1). 学生用书第27页 两类对数不等式的解法 1．形如logaf(x)<logag(x)的不等式． (1)当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； (2)当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). 2．形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. (1)当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； (2)当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.　　 对点练2.(1)已知log0.72x<log0.7(x－1)，则x的取值范围为________________； (2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 答案：(1)(1，＋∞) 解析：(1)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，所以由log0.72x<log0.7(x－1)得 解得x>1，即x的取值范围是(1，＋∞). (2)loga(x－1)≥loga(3－x)， 当a>1时，有解得2≤x<3. 当0<a<1时，有解得1<x≤2. 综上可得， 当a>1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)； 当0<a<1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2]. 题型三　对数函数性质的综合应用 例3　已知a>0且a≠1，f(logax)＝. (1)求f(x)； (2)判断f(x)的单调性和奇偶性； (3)对于f(x)，当x∈(－1，1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)<0，求实数m的取值范围． [思路点拨]　(1)利用换元法求解析式，设t＝logax. (2)利用定义法判断函数的奇偶性． (3)由(2)的结论，求m的取值范围． 解：(1)令t＝logax(t∈R)， 则x＝at，且f(t)＝， 所以f(x)＝(ax－a－x)(x∈R). (2)因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)， 且x∈R，所以f(x)为奇函数． 当a>1时，ax－a－x 为增函数， 并且注意到>0， 所以这时f(x)为增函数； 当0<a<1时，类似可证f(x)为增函数． 所以f(x)在R上为增函数． (3)因为f(1－m)＋f(1－2m)<0，且f(x)为奇函数，所以f(1－m)<f(2m－1). 因为f(x)在(－1，1)上为增函数， 所以解之，得<m<1. 即实数m的取值范围是. 1．解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数需注意的问题 (1)要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)>0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x>0. (2)判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性．首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断． 2．形如y＝logaf(x)的函数的单调性判断 首先要确保f(x)>0， 当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致． 当0<a<1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝(x)的单调性相反．　　 对点练3.已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值． 解：(1)由题意得解得－1<x<3， 所以函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)因为f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)] ＝loga(－x2＋2x＋3)＝loga[－(x－1)2＋4]， 若0<a<1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4. 所以loga4＝－2，a-2＝4. 又0<a<1，所以a＝. 若a>1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值． 综上可知，a＝. 易错一　忽略真数大于0致错 1．若函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2) C．(0，2) D．(1，＋∞) 学生用书第28页 答案：B [正解]　令u＝2－ax，因为a＞0，所以u是关于x的减函数．当x∈[0，1]时，umin＝2－a×1＝2－a.因为2－ax＞0在[0，1]上恒成立，所以umin ＞0，即2－a＞0，所以a＜2.在[0，1]上，随着x的增大，u＝2－ax逐渐减小，要使函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则y＝logau在其定义域上必须单调递增，故a＞1.综上可知1＜a＜2.故选B. [误区警示]　在解决真数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0.忽略这一点，会使所求参数的取值范围扩大，从而致误． 2．函数f(x)＝log2(x2－2x－3)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(3，＋∞) 答案：D 解析：函数f(x)＝log2(x2－2x－3)的单调递增区间，即为y＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)在满足y>0的条件下，函数y的增区间，再利用二次函数的性质可得，在满足y>0的条件下，函数y的增区间为(3，＋∞).即f(x)的增区间为(3，＋∞).故选D. 易错二　忽略对底数的讨论致错 3．函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________． 答案：2或 [正解]　(1)当a＞1时，函数y＝logax在[2，4]上单调递增，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2. (2)当0＜a＜1时，函数y＝logax在[2，4]上单调递减，所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.综上可知a＝2或. [误区警示]　在解决底数为参数的对数函数的问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般分底数大于1和底数大于0且小于1两种情况讨论．忽略底数a对函数y＝logax(a＞0，且a≠1)单调性的影响，就可能会出现漏解或错解． 4．已知关于x的不等式loga x>4x(a>0且a≠1)的解集为，则a＝(　　) A． B． C． D．2 答案：A 解析：若a>1时，由对数函数和指数函数图象可知：logax>4x不等式解集为空集．若0<a<1时，logax>4x(a>0且a≠1)，作y＝4x和y＝logax的图象如图所示． 因为不等式的解集为{x|0<x<}，设点A为两个函数图象的交点，则A(，2)，所以loga＝2，即a＝.故选A. 1．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则(　　) A．a>b>c　　　　　　 B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b 答案：A 解析：因为a＝log23.4>1，0<b＝log43.6<1，c＝log30.3<0，所以a>b>c，故选A. 2．若对数函数y＝log(a＋1)x(x>0)是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，－1)　 D．(0，1) 答案：B 解析：因为函数y＝log(a＋1)x在(0，＋∞)上是增函数，所以a＋1>1，则a>0.故选B. 学生用书第29页 3.(多选)已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(9，2)，则下列说法正确的是(　　) A．a＝2 B．函数f(x)为增函数 C．若x>3，则f(x)>1 D．若0<x1<x2，则>f() 答案：BC 解析：由loga9＝2，得a＝3，故A错误；f(x)＝log3x是增函数，故B正确；当x>3时，f(x)>f(3)＝1，故C正确；因为＝＝log3，f()＝log3，又0<x1<x2，所以<，所以log3<log3，即<f()，故D错误．故选BC. 4．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________． 答案：(1，2) 解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则即1＜a＜2；若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．综上，a的取值范围是(1，2). 学科网（北京）股份有限公司 $