专题4.2.1 对数运算（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

专题4.2.1对数运算 教学目标 1．理解对数的概念，能区分常用对数（）与自然对数（） 2．掌握指数与对数的互化规则（且时，） 3．熟记对数性质（等）和恒等式，能正确运用 教学重难点 1．重点：指数与对数的互化；对数的概念及基本性质 2．难点：对数恒等式的理解与应用 知识点01对数的概念 一般地，如果且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 【即学即练】 1．有下列说法: ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④=-5成立. 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据对数的概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】①零和负数没有对数，显然正确； ②错误，如(-1)2=1，不能写成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数，故正确； ④错误，没有意义. 故正确命题是①③. 故选：. 【点睛】本题考查对数的概念和定义，属简单题. 2．思辨解析，在题目后的（ ）内正确的填“正确”，错误的填“错误”． （1）是与N的乘积．( ) （2）可化为．( ) （3）对数运算的实质是求幂指数．( ) （4）在中，实数m的取值范围是．( ) 【答案】 错误 错误 正确 正确 【详解】（1）根据对数的定义得不是与N的乘积．故（1）错误； （2）由对数的定义中，需底数大于0且底数不等于1，真数大于0，故（2）错误； （3）根据对数的定义知对数运算的实质是求幂指数．故（3）正确； （4）由解得，所以实数m的取值范围是．故（4）正确. 故答案为：错误；错误；正确；正确. 知识点02指数与对数的互化 当时，. 【即学即练】 已知，则 ． 【答案】 【详解】。 故答案为：. 知识点03对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 【即学即练】 已知函数，则 . 【答案】 【详解】因为函数，且， 所以， 故答案为：. 知识点04对数恒等式 （1） 且；（2）且 【即学即练】 1．计算： ． 【答案】4 【详解】由题意可知：. 故答案为：4. 2．计算下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)8； (2)0. 【分析】 【详解】（1）. （2）. 题型01对数有意义的条件 【例1】使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 【例2】若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D 【变式1-1】已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 故选：B 【变式1-2】使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使式子有意义，则，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查对数式的概念，掌握对数式的定义是解题关键，在对数式中有，且． 【变式1-3】对数有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】要使对数有意义， 则，即，解得：或. 故的取值范围是：. 故答案为：. 先明确对数中，底数需满足且，真数需满足；再根据题目给出的具体对数表达式（如含未知数的真数或底数），分别列出关于和的不等式，联立求解不等式组，得到未知数的取值范围，即为对数有意义的条件 题型02对数式与指数式的互化 【例3】（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确. 故选：AD 【例4】若（，且），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由对数的概念知，故，即. 故选：A. 【变式2-1】已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 【变式2-2】将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 【变式2-3】已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，又因为， 所以， 故选：B. 题型03对数求值 【例5】已知函数，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】由函数可知， 所以. 故选：A. 【例6】已知函数，则 . 【答案】3 【详解】. 故答案为：3. 【变式3-1】求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】（1）根据指数式与对数式的相互转化,即可求得答案; （2）根据指数式与对数式的相互转化,即可求得答案; （3）根据指数式与对数式的相互转化,即可求得答案; （4）根据指数式与对数式的相互转化,即可求得答案; 【详解】（1）根据指数式与对数式的相互转化, , . （2）根据指数式与对数式的相互转化, , . （3）根据指数式与对数式的相互转化, , . （4）根据指数式与对数式的相互转化, , . 【点睛】本题主要考查指数式与对数式的相互转化,考查了计算能力,属于基础题. 【变式3-2】“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】当时，，则，故充分性成立； 当时，，则，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 【变式3-3】已知函数，则的值为 . 【答案】2 【详解】函数，， 所以. 故答案为：2 题型04利用对数的定义解方程 【例7】方程的解 【答案】 【详解】由，则，解得. 故答案为：. 【例8】求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【答案】(1) (2)9 (3)2 【详解】（1）由，得； （2）由，得，所以； （3）因为，所以，所以. 【变式4-1】方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，解得或， 由，得，则，解得，所以方程的解集为. 故选：D. 【变式4-2】方程的实数解为 ． 【答案】 【详解】方程，化为：，整理得， 解得或（舍去），则，所以所求实数解为. 故答案为： 【变式4-3】求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 先依据指数与对数互化规则（且时，），将对数方程转化为指数方程；再结合对数性质（真数且、底数且），列出对应限制条件；最后解指数方程并验证解是否满足限制条件，符合条件的即为方程的解。 题型05对数恒等式的应用 【例9】计算： . 【答案】3 【详解】解：. 故答案为：3. 【例10】函数（），则﹐则a=（      ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为时，， 所以，则， 解得：. 故选：A. 【变式5-1】已知函数，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【详解】. 【点睛】本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的值选择合适的解析式来计算，本题属于基础题. 【变式5-2】设函数，则 . 【答案】3 【详解】，，所以. 故答案为：3 【变式5-3】已知函数则 . 【答案】 【详解】， ，. 故答案为： 1．在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 2．已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，又因为， 所以，所以， 则. 故选：B. 3．若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】B 【详解】由题知，解得. 故选：B. 4．已知为上的奇函数，当时，，则（  ） A．-3 B．3 C．-2 D．2 【答案】B 【详解】由题可知：函数为上的奇函数，所以， 又当时，，则， 所以. 故选：B 5．已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D. 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数幂运算法则，可得. 再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以. 已知，根据对数与指数的关系，可得. 同理，因为，所以. 将和代入中计算结果 把，代入可得：. 故选：D. 7．已知，，，，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以，， 又，所以， 又，所以，所以. 故选：C 8．已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】设，则， ∵，即，整理得， 注意到，则， 解得，即. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式与对数式的互化、指数的运算. 9．下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：若，则，故D错误. 故选：AB. 10．下列结论中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】选项A：由可得：，则，故A错误， 选项B：由可得：，则，故B错误， 选项C：由可得，则，故C正确， 选项D：由可得：，则，故D正确， 故选：CD． 11．已知指数函数且经过点，则 【答案】 【详解】由题设且，，可得， 所以. 故答案为： 12．已知是奇函数，且，则 ． 【答案】3 【详解】由题意得， 所以， 故答案为：3． 13．已知，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，则， 所以. 故答案为：. 14．将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，得. （2）由，得. （3）由，得. 15．求下列各式中的的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因，所以， 所以. 16．求方程的实数解． 【答案】. 【详解】令，则原方程可化为， 解得或（舍去），即，所以． 17．已知实数满足且，，求实数的值． 【答案】或 【详解】因为且，则①， 由得，②， 由得，③， 联立①②③解得或， 当时，解得； 当时，解得． 综上所述，或. 18．已知，试比较x，y，z的大小． 【答案】． 【详解】解：由， 得，，即； 同理，． ∵，， ∴． 又，， ∴，∴． 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2.1对数运算 教学目标 1．理解对数的概念，能区分常用对数（）与自然对数（） 2．掌握指数与对数的互化规则（且时，） 3．熟记对数性质（等）和恒等式，能正确运用 教学重难点 1．重点：指数与对数的互化；对数的概念及基本性质 2．难点：对数恒等式的理解与应用 知识点01对数的概念 一般地，如果且________)，那么数叫做以为底的________，记作，其中叫做对数的________，叫做________． 常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为________.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为________. 【即学即练】 1．有下列说法: ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④=-5成立. 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．思辨解析，在题目后的（ ）内正确的填“正确”，错误的填“错误”． （1）是与N的乘积．( ) （2）可化为．( ) （3）对数运算的实质是求幂指数．( ) （4）在中，实数m的取值范围是．( ) 知识点02指数与对数的互化 当时，________. 【即学即练】 已知，则 ． 知识点03对数的性质 （1）________；（2）________；（3）________和________没有对数． 【即学即练】 已知函数，则 . 知识点04对数恒等式 （1） ________且；（2）________且 【即学即练】 1．计算： ． 2．计算下列各式： (1)； (2). 题型01对数有意义的条件 【例1】使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】对数有意义，那么的取值范围是 ． 先明确对数中，底数需满足且，真数需满足；再根据题目给出的具体对数表达式（如含未知数的真数或底数），分别列出关于和的不等式，联立求解不等式组，得到未知数的取值范围，即为对数有意义的条件 题型02对数式与指数式的互化 【例3】（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例4】若（，且），则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【变式2-2】将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-3】已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型03对数求值 【例5】已知函数，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 【例6】已知函数，则 . 【变式3-1】求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）. 【变式3-2】“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式3-3】已知函数，则的值为 . 题型04利用对数的定义解方程 【例7】方程的解 【例8】求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【变式4-1】方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】方程的实数解为 ． 【变式4-3】求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 先依据指数与对数互化规则（且时，），将对数方程转化为指数方程；再结合对数性质（真数且、底数且），列出对应限制条件；最后解指数方程并验证解是否满足限制条件，符合条件的即为方程的解。 题型05对数恒等式的应用 【例9】计算： . 【例10】函数（），则﹐则a=（      ） A．4 B．2 C． D． 【变式5-1】已知函数，则（    ） A． B．4 C． D． 【变式5-2】设函数，则 . 【变式5-3】已知函数则 . 1．在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 3．若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 4．已知为上的奇函数，当时，，则（  ） A．-3 B．3 C．-2 D．2 5．已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，，，，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 9．下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．下列结论中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知指数函数且经过点，则 12．已知是奇函数，且，则 ． 13．已知，则 . 14．将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 15．求下列各式中的的值. (1)； (2). 16．求方程的实数解． 17．已知实数满足且，，求实数的值． 18．已知，试比较x，y，z的大小． 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $