4.1.2 第1课时 指数函数的概念与图象-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第二册人教B版 4.1.2指数函数的性质与图象 第1课时 指数函数的概念与图象 例2若函数f代x)是指数函数，且f(2)= 学习目标 9,则f(x)= 1.理解指数函数的概念，了解对底数的 分析根据指数函数的定义进行解答. 限制条件的合理性， 2.掌握指数函数的性质和图象， B变式训练① 3.会应用指数函数的性质求指数型函数 已知函数y=(d-5a+5)d是指数函数，求 的定义域、值域 实数a的值. 要点精析 川要点1指数函数的概念 般地，函数y=d称为指数函数，其中 a为常数，a>0且a≠1. 思考为什么规定底数心0且a≠1？ 要点2指数函数的图象 例1函数y=(a-2)2d是指数函数，则 ( A.a=1或a=3 B.a=1 (0,1) (0,1 D.a心0且a≠1 --y=1 C.a=3 分析 判断函数是指数函数时需抓住 四点： a>1 0a<l (1)底数是大于0且不等于1的常数； 思考当两个指数函数的底数互为倒 (2)指数函数的自变量必须位于指数的 数时，它们的图象有什么关系？ 位置上； 例3（多选题）在同一平面直角坐标 (3)d的系数必须为1； 系中画出函数y=,y=x+a的图象，其中可能 (4)等号右边不是多项式，如y=d+1 正确的有（) (a心0且a≠1)不是指数函数 反思感悟指数函数的四个结构特征 是判断一个函数是否为指数函数的标准， 缺一不可 B 第四章指数函数、对数函数与幂函数。 例4求函数y=0.3的定义域、值域. : 分析函数y=a)(a>0且a≠1)与函数 f代x)的定义域相同，求与指数函数有关的函 数的值域时，要达到指数函数本身的要求， 并利用好指数函数的单调性 分析处理指数函数图象问题的策略： (1)抓住特殊，点：指数函数的图象过定 点(0,1). (2)巧用图象变换：函数图象的平移变 换（左右平移、上下平移) 反思感悟函数的图象是直观表示函 数的一种方法.函数的很多性质可以从图象 上直观得到.指数函数的图象通过平移、对 变式训练③ 称等变换可以得出一个新函数的图象，利 用函数的图象，能较便捷地解决一些函数 求函数)=号的定义域与值域。 性质的有关问题 B变式训练2 函数f(x)=4-4x2的零点个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 要点3求指数函数与其他函数复合所 得指数型函数的定义域、值域 例5求函数y=4-2+1的定义域、值域. 指数函数y=与yf(x)的复合方式主要 分析函数y=f(d)与函数y=d的定义 是y=a和y=fd). 域相同，值域转化为二次函数的值域来求 思考有关指数型函数求值域问题， 往往通过换元，设置一个中间变量.对y=孔d), 设t=心，利用复合函数的单调性进行计算， 需要注意中间变量t的取值范围， 学 5 高中数学必修第二册人教B版 反思感悟形如y=af)的函数的定义 域就是f(x)的定义域；形如y=af)的函数 数学文化 的值域，应先求出f(x)的值域，再由函数 例（多选题）高斯(Gauss)是德国 的单调性求出y=a)的值域.若a的取值范 著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其 围不确定，则需对a进行分类讨论。 名字命名的“高斯函数”为：设x∈R,用 y=八d)型的复合函数，求这类复合函数 [x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称 的值域，应先令t=,求出t的取值范围，： 、 为高斯函数.例如：[-2.3]=-3，[15.31]= 再结合y=f(t)确定yfd)的值域即可. 求函数的值域仍应坚持“定义域优先” 15.卫知两数号高Ge)-e], 的原则 则下列说法正确的有() A.G(x)是偶函数 B变式训练④ B.G(x)的值域是{-1，O) 已知函数f(x)=2-1,实数a,b满足 C.fx)是奇函数 f(a)=fb)(a<b),则2+2= D.f(x)在R上是增函数 6)学高中数学必修第二册人教B版 数学文化 ⊥‖【解析】16×27亏=72，从题中所给数码 知72可用算筹上‖川表示 4.1.2指数函数的性质与图象 第1课时指数函数的概念与图象 要点精析 (a-2)2=1, 例1C【解析】由指数函数的定义知a>0, a≠1， 解得a=3.故选C 例23【解析】由题意设f(x)=d(a>0且a≠1)，则 f2)=d-9,∴.a=3,.fx)=3 变式训练1 解：函数y=(a2-5a+5)a是指数函数， -5a+5=1, ∴.a>0, 解得a=-4. a≠1， 例3CD【解析】函数y=x+a单调递增，且a为直线y= x+a在y轴上的截距，又当a心l时，函数y=d单调递增， 当0<a<l时，函数y=单调递减，故选项C,D中的图 象符合条件.故选CD. 变式训练2 D【解析】令f代x)=0,得4-4x2,在同一平面直角坐 标系中分别作出=4，y=4x2的图象.观察可知，两个函 数图象有3个交点，故函数f(x)=4-4x2的零点个数为3. 故选D. 例4解：由-1≠0得x≠1，.函数的定义域为{≠1. 由0得y1,函数的值城为6>0且y≠小 变式训练3 解：令=Vr-22,则)=3 且=Vx2-2x+2=V(e-1)4I≥1. 又.V(x-1)+1>0恒成立， 定义城为xeR,值坡为ye0,号 例5解：函数的定义坡为R,2P2+12- 3 2>0，小当2上3，即x=-1时，y取得最小值，最 28 小值为，数的值为子 变式训练4 2【解析】当x<0时，0<2<1， fx)=1-2∈(0,1). 设fa)=fb)=t(a<b), 结合图象可知0<<1，且a<0,b>0, ∴.fa)=1-2"∈(0,1)，fb)=2-1∈(0,1). 由f代a)=fb)可得，1-2-2-1，则2+2=2. 变式训练4答图 数学文化 Bc【解折】6(-1--]-[名-0.6L)-) 石}-1，G(1)≠G(-1),G()不是偶函数，A错误。 2+,20,1+21,0c +2<1,fx)e3,当xe7,0 时，G(x)=(x)]=-1,当f)e0,时，Gx) [fx)]=0,.G(x)的值域是{-1,0B正确. f(x)的定义域为R,且f(-x)+(x)=号-2 号21=0，∴)为奇函数，C正确， + 12 y-2在R上单调递增，中2在R上单调递减， 分高-+女在R上单润谨减，即)在R 上是减函数，D错误.故选BC 第2课时指数函数的性质 要点精析 例1()B【解析】-05在R上是减函数，且> 1、1 3>4,a<b<c,故选B.