4.1.1 实数指数幂及其运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

　指数函数、对数函数与幂函数 4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算[教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解n次方根、根式的概念.　　　　 2.能正确运用根式运算性质化简求值. 3.掌握根式与分数指数幂的互化. 4.掌握有理数指数幂的运算性质. 逐点清(一)　根式 [多维理解] 1.a的n次方根 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn=a，则x称为a的n次方根. 2.根式的意义和性质 (1)当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数. (2)根式的性质： ①()n=a.② = |微|点|助|解| (1)对于()n=a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如=-3， =3，而()4没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n=；当a<0且n为奇数时，()n=；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序. [微点练明] 1.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.=3 B.16的4次方根是±2 C.=±3 D.=|x+y| 解析：选BD　负数的3次方根是一个负数，=-3，故A错误；16的4次方根有两个，为±2，故B正确；=3，故C错误；是非负数，所以=|x+y|，故D正确. 2.已知a<b，且ab≠0，化简二次根式的正确结果是 (　　) A.-a B.-a C.a D.a 解析：选A　∵有意义，∴-a3b>0，∴a3b<0.又∵a<b，∴a<0，b>0，∴=-a. 3.已知a<1，则+= (　　) A.-1 B.1 C.2a-1 D.1-2a 解析：选B　因为a<1，所以+=|a-1|+a=1-a+a=1. 4.若1<a<2，则+的化简结果是 (　　) A.1 B.-1 C.3-2a D.2a-3 解析：选C　由1<a<2，得2-a>0，所以+=1-a+|2-a|=1-a+2-a=3-2a. 逐点清(二)　分数指数幂 [多维理解] 相关概念 正分数 指数幂 当a>0时，规定==()m= 负分数 指数幂 当a>0时，规定=(n，m∈N+) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 |微|点|助|解| (1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数. [微点练明] 1.化简的结果是 (　　) A. B. C. D.x6 解析：选A　利用分数指数幂与根式的互化可得=. 2.若有意义，则x的取值范围是 (　　) A.(-∞，+∞) B.∪ C. D. 解析：选D　因为=， 所以1-2x>0，解得x<. 3.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (　　) A.-= B.=(y>0) C.=(x>0) D.=(x<0) 解析：选BC　-=-，A错误；==(y>0)，B正确；==(x>0)，C正确；==(x<0)，D错误.故选BC. 4.把根式化为分数指数幂，把分数指数幂化为根式(式中字母均为正实数). (1)；(2)；(3)(a+b；(4). 解：(1)=. (2)=2. (3)(a+b=. (4)=(x3+y. 逐点清(三)　指数幂的运算 1.有理数指数幂的运算法则 (1)asat=as+t(s，t∈Q)； (2)(as)t=ast(s，t∈Q)； (3)(ab)s=asbs(s∈Q). 2.实数指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数.有理数指数幂的运算法则对于无理数指数幂同样适用.因此当a>0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义.对任意实数s和t，类似前述有理数指数幂的运算法则仍然成立. [例1]　计算与化简： (1)-++-3-1； (2)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)； (3)2÷4 ×3； (4)·(a>0，b>0). 解：(1)原式=(0.33+(44+-=-+43+2-=. (2)原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c) =-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1=-ac-1=-. (3)原式=2÷(·)·(3) =·3=. (4)原式=····=a0b0=. |思|维|建|模| 1.利用指数幂的运算法则化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序. (2)在明确根指数的奇偶数(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算. (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示. 2.化简指数幂常用技巧 (1)=(ab≠0). (2)a==(式子有意义). (3)1的代换，如1=a-1a，1=等. 　　[针对训练] 1.化简(a，b为正数)的结果是 (　　) A. B.ab C. D.a2b 解析：选C　原式==·=，故选C. 2.计算与化简： (1)+-10( -2)-1+(-)0； (2)(z-1)·(x>0，y>0，z>0). 解：(1)原式=·+- +1=+-10(+2)+1 =+10-10-20+1=-. (2)原式=(z-1)·(z-1) =z-1=xz-2. 逐点清(四)　指数幂运算中的条件求值 [例2]　已知+=3，求下列各式的值： (1)a+a-1； (2)a2+a-2； (3). 解：(1)将+=3两边平方， 得a+a-1+2=9，即a+a-1=7. (2)将a+a-1=7两边平方，可得a2+a-2+2=49，∴a2+a-2=47. (3)∵+=()3+()3=(+)(a-·+a-1)=3(a+a-1-1)=3(7-1)=18，而a2+a-2=47，∴原式===3. |思|维|建|模| (1)对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式进行适当变形，构造出能用已知条件表示的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值. (2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a>0，b>0)： ①a±2+b=(±)2； ②(+)(-)=a-b； ③+=(+)(a-+b)； ④-=(-)(a++b). [针对训练] 3.已知a2x=+1，则= (　　) A.2-1 B.2-2 C.2+1 D.+1 解析：选A　令ax=t，则t2=+1，所以===t2+t-2-1=+1+-1=+1+-1-1=2-1. 学科网（北京）股份有限公司 $