第四章 专题微课 指、对函数图象与性质的综合 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教B版）

第四章 专题微课 指、对函数图象与性质的综合 [课时跟踪检测] 1.已知a=40.6，b=log38，c=ln 2，则 (　　) A.c<a<b 　B.a<c<b C.b<c<a 　D.c<b<a 解析：选D　因为a=40.6>40.5=2，所以a>2.因为log33<log38<log39，所以1<b<2.因为ln 1<ln 2<ln e，所以0<c<1.所以c<b<a. 2.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一平面直角坐标系中的图象大致是 (　　) 解析：选C　因为f(x)=1+log2x的图象是由y=log2x的图象向上平移一个单位得到的，过定点(1，1).g(x)=2-x+1=的图象是由y=的图象向右平移一个单位得到的，过定点(0，2).故只有C项中的图象符合. 3.已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是 (　　) A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) 解析：选B　若函数f(x)在R上单调递增，则需满足解得-1≤a≤0，即a的取值范围是[-1，0].故选B. 4.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是 (　　) A.[-1，2] B.[0，2] C.[1，+∞) D.[0，+∞) 解析：选D　f(x)≤2⇔或⇔0≤x≤1或x>1，故选D. 5.已知定义在R上的函数f(x)=e-x-mex(m∈R)是奇函数，设a=f(log32)，b=f(log53)，c=-f，则有 (　　) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a 解析：选D　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即f(0)=e-0-me0=0，解得m=1.所以f(x)=e-x-ex，所以f(x)在R上单调递减.又因为log323<log39=log533>log525=，所以b<c<a. 6.已知a，b∈R，那么log2a>log2b是<的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A　因为a>0，b>0，且y=log2x在(0，+∞)上单调递增，所以log2a>log2b⇒a>b>0，又y=在R上单调递减，所以<⇔a>b，a，b∈R，所以log2a>log2b⇒a>b>0，则<成立.当b<a<0时，不能得出log2a>log2b成立. 7.已知a，b，c为正实数，满足a+a2=b+4b=c+log2c=4，则实数a，b，c之间的大小关系为 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 解析：选C　由题意a=4-a2>0，解得1<a=<2，b=4-4b>0，解得0<b<1，设f(x)=x+log2x-4，则f(x)在定义域内单调递增，又f(2)=-1<0=f(c)=c+log2c-4，所以c>2，综上所述，实数a，b，c之间的大小关系为c>a>b. 8.(多选)已知函数f(x)=a+b的图象过原点，且无限接近直线y=1但又不与该直线相交，则 (　　) A.a+b=0 B.f(x)=-1 C.f(x)是偶函数 D.f(x)在(-∞，0]上单调递增 解析：选AC　函数f(x)=a+b的图象过原点，则a+b=0，即a+b=0，函数的图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交，故y=1是图象的一条渐近线，则b=1，a=-1， f(x)=+1，A正确，B错误；函数f(x)=+1，定义域为R，f(-x)=+1=-+1=f(x)，f(x)是偶函数，C正确；当x∈(-∞，0]时，f(x)=+1=-3x+1，所以f(x)在(-∞，0]上单调递减，D错误. 9.高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x的最大整数，例如[6.8]=6，[-4.1]=-5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数f(x)=log2(-x2+x+2)，则当x∈[0，1]时，[f(x)]的值域为 (　　) A.　　B.　　C.{1}　　D.{2} 解析：选C　由-x2+x+2>0，得(x+1)(x-2)<0，解得-1<x<2，则f(x)的定义域为{x|-1<x<2}，当x∈[0，1]时，令t=-x2+x+2，函数t=-x2+x+2在上单调递增，在上单调递减，又y=log2t在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的值域为，所以[f(x)]的值域为{1}. 10.(5分)已知函数f(x)的定义域为R，f(0)=1，=2，=2，=2，=2，…，=2(n∈N+).写出满足上述条件的一个函数：　　　　.  解析：例如f(x)=2x，则f(0)=1，且==2，所以f(x)=2x符合题意. 答案：f(x)=2x(答案不唯一) 11.(5分)甲、乙两人解关于x的方程2x+b·2-x+c=0，甲写错了常数b，得到的根为x=-2或x=log2，乙写错了常数c，得到的根为x=0或x=1，则原方程所有根的和是　　　　.  解析：设t=2x，由2x+b·2-x+c=0可得t++c=0，则t2+ct+b=0.对于甲，由于甲写错常数b，则常数c是正确的，由根与系数的关系可得-c=2-2+=，即c=-；对于乙，由于乙写错了常数c，则常数b是正确的，由根与系数的关系可得b=20·21=2.所以关于t的方程为t2-t+2=0，解得t=或t=4，即2x=或2x=4，解得x=-1或x=2.所以原方程所有根的和是-1+2=1. 答案：1 12.(5分)已知函数y=f(x)与y=ex的图象关于直线y=x对称，则f(x2-2x-8)的单调递增区间为　　　　　.  解析：由已知，得f(x)=ln x，所以f(x2-2x-8)的单调递增区间满足解得x>4. 答案：(4，+∞) 13.(15分)已知函数y=g(x)为偶函数，函数y=h(x)为奇函数，g(x)+h(x)=3x对任意实数x恒成立. (1)计算g(log32)，h的值；(8分) (2)试探究g(2x)与h(x)的关系，并证明你的结论.(7分) 解：(1)由g(x)+h(x)=3x得g(-x)+h(-x)=3-x， 因为y=g(x)为偶函数，y=h(x)为奇函数，则g(x)-h(x)=3-x， 即解得g(x)=，h(x)=， 所以g(log32)===， h=h==. (2)由(1)可知g(x)=，h(x)=， 探究结果：g(2x)=2h2(x)+1. 证明如下：因为g(2x)=，h2(x)==， 所以g(2x)=2h2(x)+1. 14.(15分)设函数f(x)=log2(2x)·log2. (1)解方程f(x)+6=0；(5分) (2)设不等式≤43x-2的解集为M，求函数f(x)(x∈M)的值域.(10分) 解：(1)f(x)=(log22+log2x)(log2x-log216)=(1+log2x)(log2x-4)=(log2x)2-3log2x-4.由f(x)+6=0得(log2x)2-3log2x+2=0，解得log2x=1或log2x=2.所以x=2或x=4.所以方程f(x)+6=0的解是x=2或x=4. (2)由≤43x-2得≤26x-4， 即x2+x≤6x-4， 解得1≤x≤4，即M={x|1≤x≤4}. 又f(x)=(log2x)2-3log2x-4， 令t=log2x，所以0≤t≤2，则g(t)=t2-3t-4=-为开口向上、对称轴为t=的抛物线.因为0≤t≤2，所以-≤g(t)≤-4.所以函数f(x)(x∈M)的值域为. 15.(15分)我们知道当a>0时，am+n=am·an对一切m，n∈R恒成立，某同学在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式21+1=21+21，带着好奇，他进一步对2m+n=2m+2n进行深入研究. (1)当m=2时，求n的值；(2分) (2)当m≤0时，求证：n是不存在的；(8分) (3)求证：只有一对正整数对(m，n)使得等式成立.(5分) 解：(1)当m=2时，22+n=22+2n，即3·2n=4， 所以n=log2. (2)证明：设t=2m，因为m≤0，所以t=2m∈(0，1].又t·2n=t+2n， 当m=0时，t=1，t·2n=t+2n不成立； 当m≠0时，t<1，由t·2n=t+2n可得2n=. 因为2n>0，t>0，t-1<0，所以2n=不成立.综上所述，当m≤0时，n是不存在的. (3)证明：由2m+n=2m+2n可得2n=. 当m，n均为正整数时，等号左侧为2的指数幂，故右侧也是2的指数幂， 所以2m-1=1，即m=1时符合题意，此时n=1. 所以只有一对正整数对(1，1)使得等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $