4.2.3 第2课时 对数函数的性质与图象的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教B版）

4.2.3 第2课时 对数函数的性质与图象的应用 [课时跟踪检测] 1.若lg(2x-4)≤1，则x的取值范围是 (　　) A.(-∞，7] B.(2，7] C.[7，+∞) D.(2，+∞) 解析：选B　由lg(2x-4)≤1，得0<2x-4≤10，即2<x≤7，故选B. 2.若a=，b=log43，c=lo9，则它们大小关系正确的是 (　　) A.b>a>c B.a>b>c C.c>b>a D.a>c>b 解析：选B　a==>1，b=log43>log41=0，b=log43<log44=1，即0<b<1，c=lo9<lo1=0，所以a>b>c. 3.函数y=x+log2x(x≥1)的值域为 (　　) A.(1，+∞) B.(-∞，1) C.[1，+∞) D.[-1，+∞) 解析：选C　由于y=x和y=log2x在[1，+∞)上均是增函数，所以函数y=x+log2x(x≥1)在[1，+∞)上是增函数，所以函数的值域为[1，+∞). 4.(多选)下列各式正确的是 (　　) A.log0.50.4>log0.50.6 B.log23<log0.32 C.ln<lg D.lo3<lo 解析：选ACD　y=log0.5x为减函数，故log0.50.4>log0.50.6，A正确；而log0.32<0，log23>log22=1，B错误；由ln x与lg x的图象知C正确；lo3<0，lo>0，D正确. 5.若logm8.1<logn8.1<0，那么m，n满足的条件是 (　　) A.m>n>1 B.n>m>1 C.0<n<m<1 D.0<m<n<1 解析：选C　根据题意知m，n一定都是大于0且小于1的数，画出y=logmx，y=lognx的图象，如图，根据函数图象，当x>1时，底数越大，函数值越小，所以有0<n<m<1. 6.已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a，+∞)上单调递增，则a的取值范围是 (　　) A.[5，+∞) B.[2，+∞) C.(-∞，2] D.(-∞，-1] 解析：选A　由于f(x)=lg(x2-4x-5)在(a，+∞)上单调递增，而y=lg x在(0，+∞)上单调递增，函数y=x2-4x-5=(x-2)2-9在(2，+∞)上单调递增，所以所以a≥5，故a的取值范围是[5，+∞).故选A. 7.(多选)已知函数f(x)=ln，则 (　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)≥0 C.f(x)在(-2，2)上单调递减 D.f(x)在(2，+∞)上单调递增 解析：选ACD　要使得函数f(x)有意义， 则>0，解得x≠2且x≠-2， 所以f(x)的定义域关于原点对称， 且f(-x)+f(x)=ln+ln =ln 1=0，从而f(x)是奇函数，A正确； f(1)=ln<ln 1=0，B错误； 当x∈(-2，2)时，f(x)=ln =ln=ln(2-x)-ln(2+x)， y=ln(2-x)在(-2，2)上单调递减，y=ln(2+x)在(-2，2)上单调递增， 所以函数f(x)在(-2，2)上单调递减，C正确； 当x∈(2，+∞)时，f(x)=ln=ln =ln， y=1-在(2，+∞)上单调递增， 又y=ln x在(0，+∞)上单调递增， 所以函数f(x)在(2，+∞)上单调递增，D正确. 8.(多选)已知f(x)=log2(x2-mx+m+3)的定义域为D，值域为M，则 (　　) A.若D=R，则M≠R B.对任意m∈R，使得f(-5)=f(-7) C.对任意m∈R，f(x)的图象恒过一定点(1，2) D.若f(x)在(-∞，3)上单调递减，则m的取值范围是{6} 解析：选ACD　对于A，因为定义域为R，只需要x2-mx+m+3>0恒成立， 所以判别式(-m)2-4(m+3)<0，即-2<m<6， 所以真数x2-mx+m+3不能取遍所有正实数， 所以M≠R，故A正确； 对于B，若f(-5)=f(-7)， 即log2(25+5m+m+3)=log2(49+7m+m+3)， 化简log2(28+6m)=log2(52+8m)， 故解得m∈⌀，故B错误； 对于C，x2-mx+m+3=x2+3+m(1-x)， 因为与m无关，所以1-x=0，x=1， y=log24=2，故定点为(1，2)，故C正确； 对于D，若f(x)在(-∞，3)上单调递减， 只需要h(x)=x2-mx+m+3在(-∞，3)上单调递减， 且h(3)≥0，即解得 故m=6，故D正确. 9.(5分)已知a=2-0.1，b=log23，c=log410，则a，b，c的大小关系为　　　　.(按从大到小顺序排列)  解析：由a=2-0.1<20=1，c=log410=log2>b>log22=1，可得a，b，c的大小关系为c>b>a. 答案：c>b>a 10.(5分)关于x的不等式log3(3x-1)·log3<2的解集为　　　　.  解析：log3(3x-1)·log3=log3(3x-1)[log3(3x-1)-1]<2. 令log3(3x-1)=t，则t(t-1)<2， 解得-1<t<2. 则-1<log3(3x-1)<2， 解得x∈. 答案： 11.(5分)函数y=log0.4(-x2+3x+4)的最小值是　　　　.  解析：设t=-x2+3x+4=-+， 所以0<t≤. 因为y=log0.4t是减函数， 所以当t=时，函数取得最小值，最小值是log0.4=lo=-2. 答案：-2 12.(10分)已知函数f(x)=-2log2x+4，x∈[2，4]. (1)设t=log2x，x∈[2，4]，求t的最大值与最小值；(4分) (2)求f(x)的值域.(6分) 解：(1)因为函数t=log2x在区间[2，4]上是单调递增的， 所以当x=4时，tmax=log24=2， 当x=2时，tmin=log22=1. (2)令t=log2x，则f(x)=g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3，由(1)得t∈[1，2]， 因为函数g(t)在[1，2]上是增函数， 所以当t=1，即x=2时，f(x)min=3； 当t=2，即x=4时，f(x)max=4， 故f(x)的值域为[3，4]. 13.(15分)已知函数f(x)=log2(x2-ax+2)，a∈R. (1)当f(x)是偶函数时，求a的值并求函数的值域；(5分) (2)若函数f(x)在区间(2，3)上单调递增，求实数a的取值范围.(10分) 解：(1)由f(x)是偶函数可得f(-x)=f(x)， 即log2(x2-ax+2)=log2(x2+ax+2)，则x2-ax+2=x2+ax+2，即2ax=0恒成立， 所以a=0.经验证，a=0时，f(x)=log2(x2+2)为R上的偶函数，符合题意. 因为x2+2≥2，所以f(x)=log2(x2+2)≥log22=1，故函数f(x)的值域是[1，+∞). (2)因为函数f(x)在区间(2，3)上单调递增，且y=log2t为定义域上的增函数，所以t=x2-ax+2在(2，3)上单调递增，且x∈(2，3)时，x2-ax+2>0，根据二次函数的性质，可得解得a≤3.故实数a的取值范围为(-∞，3]. 14.(15分)已知函数f(x)=log2(x2-ax+1). (1)当a=1时，求f(x)的最小值；(5分) (2)若f(x)为偶函数，求a的值；(3分) (3)设g(x)=4x-2x+1，若对于任意x1∈(0，1)，存在x2∈[-1，1]，使得不等式f(x1)≥g(x2)成立，求a的取值范围.(7分) 解：(1)当a=1时，f(x)=log2(x2-x+1).由于x2-x+1=+>0恒成立， 所以函数f(x)的定义域为R. 又函数y=x2-x+1在上单调递减， 在上单调递增， 函数y=log2x为增函数， 所以函数f(x)在上单调递减， 在上单调递增. 故f(x)的最小值为f=log2=log23-2. (2)若f(x)为偶函数， 则f(x)=f(-x)， 所以log2(x2-ax+1)=log2(x2+ax+1)， 即x2-ax+1=x2+ax+1恒成立， 所以a=0.当a=0时，函数f(x)定义域为R， 满足f(x)=f(-x)，故a的值为0. (3)若对于任意x1∈(0，1)， 存在x2∈[-1，1]， 使得不等式f(x1)≥g(x2)成立， 则f(x1)≥g(x2)min恒成立.令t=2x， 当x∈[-1，1]时，t∈， 令G(t)=t2-2t，所以当t=1时， g(x)min=G(1)=-1， 所以f(x)≥-1在(0，1)上恒成立， 即log2(x2-ax+1)≥-1在(0，1)上恒成立， 则x2-ax+1≥在(0，1)上恒成立， 所以a≤x+在(0，1)上恒成立. 因为x+≥2=， 当且仅当x=，即x=时等号成立. 所以a≤， 即a的取值范围是(-∞，]. 学科网（北京）股份有限公司 $