第四章 指数函数、对数函数与幂函数（高效培优单元测试·强化卷）数学人教B版2019高一必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数单元测试卷·强化卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知幂函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】因为幂函数为偶函数，则， 即，解得或， 当时，函数为奇函数，不合乎题意； 当时，函数为偶函数，合乎题意. 故. 故选：A. 2．已知，，则（   ） A．9 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意，， 于是， 于是. 故选：D 3．若函数是奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 【答案】C 【详解】的定义域为，关于原点对称， 则，即，故，解得， 故选：C 4．已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为幂函数在上为增函数，所以，即， 又因为对数函数在上为增函数，所以， 综上所述，. 故选：D. 5．“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离高考还有236天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是；而把看作是每天“退步”率都是1%，高考时是．若“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约经过（    ）天（参考数据：，） A．100天 B．210天 C．225天 D．115天 【答案】D 【详解】设经过天后，“进步”的值是“退步”的值的10倍， 则，即. 故选：D. 6．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，又函数的值域为， 可得当时，， 需满足单调递增，且，得到，解得， 即实数的取值范围是， 故选：D 7．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】画出的函数图象如图：    不妨设，令，则结合和图象可知， 因，则， 则 则. 故选：D 8．已知函数，设，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，易知函数在和上分别单调递增， 所以， 又当时，， 因为， 则，，即，， 又，所以， 所以， 设，则，， 所以， 故选：C. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知非零实数a，b满足等式，则下列结论不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】 【详解】解法一：在同一直角坐标系中作出函数与的图象如图所示， 设，当时，结合图象可得，； 当时，结合图象可得，； 当时，结合图象可得，． 由此可知CD选项不可能； 解法二：由题意，等式两边同时取对数，得， 即，当时，显然成立； 当时，得，所以a，b同号且， 所以或，由此可知CD选项不可能； 故选：CD． 10．已知与的函数关系式为且，部分图象如图所示，则（    ） A．当时， B．且的值域为 C．的单调递减区间为 D．当为10，20，30时，分别对应，则 【答案】ACD 【详解】对于A，函数图象经过，可得，解得，故，当时，，故A正确； 对于B，因，而指数函数的值域为，故函数的值域为，故B错误； 对于C，由上分析，已得，则， 令，则由可得或， 而在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域上为增函数，可推得的单调递减区间为，故C正确； 对于D，依题意，由，可得，同理， 因，则，即，故D正确. 故选：ACD. 11．已知函数和的定义域都为是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．，使得 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为是奇函数，所以， 因为是偶函数，所以， 因为，所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为， 所以，即， 所以， 因为，， 所以，故B正确； 对于C，令，则， 即，此方程无解，故C错误； 对于D，因为， 所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．函数（其中为自然对数的底数）的反函数为，则 ． 【答案】1 【详解】因为为函数的反函数，所以. 所以，. 所以. 故答案为：1 13．已知函数的图象恒过定点，若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】由恒过定点，需使，解得，即点的坐标为， 因点也在一次函数的图象上，则， 又，则得， 由， 当且仅当时，即时等号成立， 即当时，取得最小值为9. 故答案为：9. 14．已知函数，且满足，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意，函数，化简得， 又，即， 又，即， 又，所以， 所以， 令，则 ， 因为，所以，，， 所以，所以， 所以， , 所以，所以函数单调递增， 则有，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．已知函数的最小值为， (1)求的值； (2)已知正实数均不等于1，且是方程的两个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）， 则函数的最小值为， 得到，又，则. （2）， 则的两根为， ， 即. 16．近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间年 0 1 2 3 4 年销售数量万片 100 150 225 337.5 506.25 (1)在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； (2)为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： ①②③ （i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； （ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：） 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）选择函数模型合适，理由见解析，； （ii）年 【分析】 【详解】（1） （2）（i）由散点图可知，年销售数量呈指数型增长， 故选择函数模型合适； 将分别代入， 得，解得， 所以， 当时，；当时，；当时，， 所以； （ii）令，则， 则， 所以预测该公司芯片的年销售数量在年会首次超过2000万片. 17．已知定义域是的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并用定义法予以证明； (3)设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在R上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）由为定义在上奇函数，可知， 即，解得． 经检验，符合题意， 故； （2）由单调递增可知在上为增函数，证明如下： 对于任意实数，不妨设， ， 递增，且，，，， 故在上为增函数． （3）由为奇函数得：，等价于． 又由在上为增函数得：，即； 因为，所以．原问题转化为在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 的取值范围是． 18．已知幂函数在上是严格增函数． (1)求的值； (2)设，求在上的最小值； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)最小值是 (3) 【分析】 【详解】（1）因为为幂函数，且在单调递增， 所以，解得. （2） 令，而函数在单调递增， 所以在单调递减，所以函数在单调递减， 又是增函数，根据复合函数单调性可知在单调递减， 所以当时，取得最小值. （3）令，因为，所以， 则不等式即，所以，， 所以， 又的对称轴为， 所以当时，取得最小值，+ 所以的取值范围是. 19．已知函数与满足对任意的，总存在，使得成立，则称是在区间D上的“m阶自伴函数”，当时，称为区间D上的“m阶自伴函数”. (1)若函数为区间上的“243阶自伴函数”，求实数b的值; (2)若是在区间上的“2阶自伴函数”，求实数a的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】 【详解】（1）因为函数为区间上的“243阶自伴函数”， 所以对任意，存在，使得成立， 所以对任意，存在，使得，即， 所以， 所以，解得b=2，即实数b的值为2. （2）当时，， 所以， 因为是的“2阶自伴函数”， 所以对任意，存在，使得成立， 因为，所以， 所以是在区间上值域的子集. 当时，， 令， 当时，在上单调递增， ， 所以，解得； 当时，， 所以，解得； 当时，， 所以，解得； 当时，在上单调递减， ， 所以，解得. 综上所述，实数a的取值范围为. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数单元测试卷·强化卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知幂函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D．或 2．已知，，则（   ） A．9 B．3 C． D． 3．若函数是奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 4．已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离高考还有236天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是；而把看作是每天“退步”率都是1%，高考时是．若“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约经过（    ）天（参考数据：，） A．100天 B．210天 C．225天 D．115天 6．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，设，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知非零实数a，b满足等式，则下列结论不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知与的函数关系式为且，部分图象如图所示，则（    ） A．当时， B．且的值域为 C．的单调递减区间为 D．当为10，20，30时，分别对应，则 11．已知函数和的定义域都为是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．，使得 D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．函数（其中为自然对数的底数）的反函数为，则 ． 13．已知函数的图象恒过定点，若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为 . 14．已知函数，且满足，则实数的取值范围为 . 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．已知函数的最小值为， (1)求的值； (2)已知正实数均不等于1，且是方程的两个根，求的值. 16．近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间年 0 1 2 3 4 年销售数量万片 100 150 225 337.5 506.25 (1)在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； (2)为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： ①②③ （i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； （ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：） 17．已知定义域是的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并用定义法予以证明； (3)设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 18．已知幂函数在上是严格增函数． (1)求的值； (2)设，求在上的最小值； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19．已知函数与满足对任意的，总存在，使得成立，则称是在区间D上的“m阶自伴函数”，当时，称为区间D上的“m阶自伴函数”. (1)若函数为区间上的“243阶自伴函数”，求实数b的值; (2)若是在区间上的“2阶自伴函数”，求实数a的取值范围. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $