第6章 6.3 平面向量线性运算的应用(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

[关键能力·综合提升] 1．如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，求实数t的值． 解析　解法一　因为＝， 所以＝.设＝λ， 则＝＋＝＋λ ＝＋λ(＋) ＝＋λ ＝λ＋(1－λ). 又＝t＋， 所以t＋＝λ＋(1－λ)， 得解得t＝λ＝. 解法二　因为＝，所以＝， 所以＝t＋＝t＋， 因为B，P，N三点共线， 所以t＋＝1，所以t＝. 2．如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于点E，求证：E为线段BD的一个三等分点． 证明　设＝a，＝b，则＝－＝b－a，＝＋＝＋＝b＋a. 由题意知，A，E，F三点共线，B，D，E三点共线， 所以存在实数λ，μ，使＝λ，＝μ， 于是＝a＋λb，＝μb－μa. 由于＋＝， 所以(1－μ)a＋μb＝a＋λb. 因为a与b不共线， 所以解得 所以＝，即E为线段BD的一个三等分点(靠近点D). 3．在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小． 解析　由物理意义可知，两力F1，F2与重力G的合力为0. 作平行四边形ABCD． ＋＝，且||＝300(N)， ∠BAC＝30°，∠DAC＝60°， ∴||＝||·sin 30°＝×300＝150(N)， ||＝||·cos 30°＝×300＝150(N). 所以与铅垂线成30°的力的大小为150 N，另一力的大小为150 N． 4．如图，设四边形ABCD的两条对角线AC，BD的中点分别是E，F.求证：|AB－CD|≤EF≤(AB＋CD). 证明　∵＝＋＋，＝＋＋， ∴2＝(＋)＋(＋)＋(＋). ∵E，F分别是AC，BD的中点， ∴＋＝0，＋＝0， ∴＝(＋). ∵|||－|||≤|＋|≤||＋||， ∴|||－|||≤||≤(||＋||)， 即|AB－CD|≤EF≤(AB＋CD). 5．如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC；(2)D，M，B三点共线． 证明　如图，以E为原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系， 令||＝1， 则||＝1，||＝2， ∵CE⊥AB，而AD＝DC， ∴四边形AECD为正方形． ∴可求得各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0). (1)∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)， ＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)， ∴＝， ∴∥，即DE∥BC． (2)连接MB，MD． ∵M为EC的中点，∴M， ∴＝(－1，1)－＝， ＝(1，0)－＝. ∴＝－，∴∥. 又MD与MB有公共点M， ∴D，M，B三点共线． [核心价值·探索创新] 6．证明：三角形的三条中线交于一点． 证明　如图所示，设＝a，＝b，其中＝. 则＝a－b，＝a－b， ＝－a＋b， 设AD与BE交于G1， 且设＝λ，＝μ， 则＝λa－b，＝－a＋μb， 又因为＝＋＝a＋(μ－1)b， 所以，解之得λ＝μ＝，即＝， 再设AD与CF交于G2，同理可得＝， 故G1，G2点重合，即AD，BE，CF交于同一点． 7．如图，已知河水自西向东流速大小为|v0|＝1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2. (1)若此人朝正南方向游去，且|v1|＝ m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小； (2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|＝ m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小． 解析　如图，设＝v0，＝v1，＝v2， 则由题意知v2＝v0＋v1，||＝1， 根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形． (1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且||＝AC＝，如图所示， 则在Rt△OAC中，|v2|＝OC＝＝2， tan ∠AOC＝＝，又α＝∠AOC∈(0°，90°)， 所以α＝60°. 答：他实际前进方向与水流方向的夹角α为60°，v2的大小为2 m/s. (2)由题意知α＝∠OCB＝90°，且|v2|＝||＝，BC＝1，如图所示， 则在Rt△OBC中，|v1|＝OB＝ ＝2，tan ∠BOC＝＝，又∠BOC∈(0°，90°)，所以∠BOC＝30°，则β＝90°＋30°＝120°. 答：他游泳的方向与水流方向的夹角β为120°，v1的大小为2 m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $