6.3 平面向量线性运算的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

第六章平面向量初步 6.3平面向量线性运算的应用 效果评价 AB=a,AC-b,且AB:AC=3:2.设AM=a+ yb,则x:y= 1.已知四边形ABCD中，A(-1,0),: 7.已知在平面直角坐标系x0y中， B(3,2),C(2,0),D(0,-1),则四边形 P(3,1),P(-1,3),P,B,P三点共线， ABCD为() 且向量O与向量a=(1,-1)共线，若0P= A.平行四边形B.梯形 AOP+(1-入)OP2,求入的值. C.菱形 D.矩形 2.已知一条两岸平行的河流，河水的流 速为2ms,一艘小船以垂直于河岸方向 10ms的速度驶向对岸，则小船在静水中的 速度大小为（) A.10 m/s B.2V26 m/s C.4v6 m/s D.12 m/s 8.已知直线1经过点P=(x1,y),平行 3.(多选题)已知cm-号-号c, 于向量a=(o,y0),试用向量的方法求出直 线1. 则有() A网=}A店 B.PA'=1BA 3 C.BA'=3 BP D.BA'=3 PB 4 4.在△ABC中，已知20A+70B+30C= 0,则△ABC和△BCO面积之比为() A.6 BgC号 D.4 9.在平行四边形ABCD中，E和F分别 是AD和DC边的中点，BE和BF分别交AC 5.在平面上，物体从点A(-10,5)开始 于点G和点H,证明：G和H是AC的三等 做匀速直线运动，速度v=(3,-4),则5s后 分点 到达的点A'的坐标为() A.(5,-15) B.(-25,-25) C.(5,10) D.(-5,15) 6.在△ABC中，AM为∠A的平分线， 练(81 N 高中数学必修第二册人教B版 10.已知△ABC的三个顶点坐标分别为 A(x1,1),B(x,y2),C(x,y3),证明： 提开升练习 △4BC在锺心G的坐标为++，上+2+坦 11.如图所示，在正方形ABCD中，E为 3 3 AB的中点，F为CE的中点，则AF=() A是AE+好AD 4 B.4B+星40 C.2ABAD 第11题图 D.是G+分40 12.在平面直角坐标系x0y中，已知 A(1,0),B(0,1),点C在第一象限内， ∠40C=石，且0C=-2.若oC=A01w06, 则λ地的值是() A.V2 B.V2+1 C.V3 D.V3+1 82)练N 高中数学必修第二册人教B版 提升练习 1.号【解析】LA0C=45°，÷设C(x,-),则 0C=(x,-x.又A(-3,0),B(0,2),∴A0A+(1-A)0B =(-3入，2-2A).又0C=A0A+(1-A)0B, =-3入， -x=2-2λ， 12.解：(1)设BM=n,CNb,则AM=AC+CM= 36,BN=BC+CN=2a+b,AP=AAM=-Aa-3Ab,BP= uBnN=2μa+b,故BA=BP-AP=(入+2μ)a+(3A+地)b,而 B-BC+-2a+3动，由平面向量基本定理得小+2-2， 3λ+=3. 解得 (2)A(2,-2),B(5,2),C(-3,0),且M为BC 的中点，M(1,1).设P(x,y,又由(1)知AP=4PM, .(x-2,y+2)=4(1-x,1-y),. -2=41-),解得 y+2=4(1-y), 6 “点P的坐标为9，号 >“6.3平面向量线性运算的应用 效果评价 1.B【解析】A序=(4,2)，DC=(2,1),A序=2DC .该四边形ABCD为梯形.故选B. 2.B【解析】船的静水速度和 水速的和速度是航行速度，如图，小 船的静水速度大小是三角形的斜边， 即静水中小船的速度大小为√10+2 第2题答图 =V104=2V26(ms).故选B. 3.AC【解析】已知C立号C-}C弦，则有-}C成4 号专号动，得馆4风，产馆-4风+的，得 A店3，A官=3x4序)=子店，A,C正确.故选AC 90 4.A【解析】20A-50i+30C=-120,.2BA+3B乙 =-120.设B克=2B,B=3BC,D1=E,Bd=6Bd,: △ABC的面积是△BEF面积的 6,△BOC的面积是 △BOF面积的 3,△B0F的面积是△BDF面积的 1 6 △B0F的面积是△BEF面积的子△B0C的面积是 △BEF面积的6△ABC的面积是△B0C面积的6倍， 故选A. 5.A【解析】设A'(x,y),则始点和5s后到达的 点A'之间是运动的向量，.AA=(x,y)-(-10,5)= (+10,y-5).又AA=5v=(15,-20),.(x,y)=(5,-15). 故选A. 6.2:3【解析】如图，取AB上靠近点B的三等分点， 记为点D,连接DC.AB:AC-3:2,Md=号A,Ai =AC,AM所在直线为△ADC的中线，.AM=A(Ad+ A心)=A子A序+AC.又：B=B+a=-A店+子M店+M心 =号-lM亦+a元.成-C+M-心+号存+A心 子M应+(0-1)A心.B丽与C成共线， A=号，=号+心-号+心，即=子， 3 =5，x=2:3. B 第6题答图 7.解：设0P=(x,y),则由OP与向量a共线知x+ y=0,于是0P=(x,-x).若0P=A0P+(1-A)0P,则有 (x,-x)=入(3,1)+(1-入)(-1,3)=(4入-1,3-2入)，即 [4M-1,4-1+3-2A-0,解得入=-1. 3-2λ=-x, 8.解：设点P在直线l上，坐标为(x,y),PP= (x1-x,y1-y）· 又Pp∥a,.(x1-x)yo-o(y1-y)-0,整理得xyo-x0y xyt01=0. 9.证明：点G在BE上，AG=(1-x)AB+xA立=(1- x)A序+之Ad.A衣=A店+Ad,AG和A供线，AG-kAC, 1k,受k,=号，6是4C的一个三等分点， 同理H是AC的一个三等分点 10.证明：设E是BC边的中点，F是AB边的中点， .点G在CF上， A元-(1-x)AC+产(1-x)AC+号A应 A应（国店+M心，A花和A共线， 心M应，即1x=冬，青夸，=号 .GB+GC-2GE.AC-2CE...GB+GC+CA-0. G=(x,y),.GA=(x-x,y-y). Gi=(-t,2-y）,GC=(-t,-y), G+Gi+GC=(x+w+x-3x,y+y+y3-3y)=(0,0). 'x+x2+x3=3x,y1+y2+y3=3y, 点G的坐标为++也，yy 3 3 提升练习 1.D【解析】根据题意，得AAC+4正)，又 AC-AB+AD.AE-2AB.AF-AR+AD+2AB =子AB+AD.故选D 12.D【解析】由题意，知0A=(1,0),0B=(0,1). 设C(x,y),则0C=(x,y). 0C=λ0A+w0B,.(x,y)=入(1,0)+地(0,1)= x=入 (入，)，… y 又∠A0C-石，0C=2,A=2cos石=V3,u= 2sin石-l,入=V3+1.故选D, "阶段性练习卷（四） 1.A【解析】由题知AD=AC+CD=AC+}BC-AC+ 参考答案。 号元-A)=-号AB+号AC.故选A 2.A【解析】2a+b=(4,2),c∥2a+b,.4入=2， A子，故选A 3.B【解析】当a与b方向相反时，la+b1的最小值 为5.故选B. 4.D【解析】由向量加法的三角 形法则和相等向量CD=AF,BF= CE,可得BA+CD+EF-BA+AF+ EF=BF+EF=CE+EF-CF,故选D. 第4题答图 5.C【解析】由题意，可得a+2b-5e,2a-b=5e2,.当 且仅当e,与e2共线时，两向量共线.故选C 6.D【解析】如图所示，：AM=2AB+1AC, 4+好4-县店+好C, 即子(a-A店)=(AC-A), 即子BM-4MC,BW=}MC, BN=WC1,IBM-IBC1, 2a+b D 第6题答图 第7题答图 7.ACD【解析】如图，由题意，BC=AC-AB=(2a+ b)-2a=b,故C错误；又1BC=2,Ib1=2,A错误； AB=2al=2lal=2,lal=l,B正确；设BC的中点为D, 则AB+AC=2AD,且AD⊥BC,而2AD=2a+(2a+b)= 4a+b,(4a+b)1BC,D错误.故选ACD. 8.AC【解析】如图，根据三角 形中线性质和平行四边形法则， AE=A店+BE=AB+分BC=AB+ 2AC-AB)=ABMC,A正确； 第8题答图 91