6.1.1 向量的概念 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教B版）

6.1.1　向量的概念 [课时跟踪检测] 1.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题正确的是 (　　) A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 解析：选C　 由题意，速度、位移是向量，不能比较大小，故A、B错误.故选C. 2.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.向量与向量的长度相等 B.零向量与任意向量平行 C.零向量的方向是不确定的 D.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量 解析：选ABC　向量与向量方向相反，长度相等；零向量的方向是不确定的，它与任意向量都平行；方向为北偏西50°的向量与方向为南偏东50°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，故D不正确. 3.下列结论正确的是 (　　) A.若|a|>|b|，则a>b B.∠AOB的两条边都是向量 C.始点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量 D.向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上 解析：选C　A错误，向量不能比较大小.B错误，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量.C正确，相等向量的两个要素是大小相等、方向相同，与始点无关.D错误，共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量必须在同一直线上. 4.若||=||且=，则四边形ABCD的形状为 (　　) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 解析：选C　由=，知AB=CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形.又因为||=||，所以四边形ABCD为菱形. 5.(多选)给出下列四个条件，其中能使a∥b成立的条件是 (　　) A.a=b B.|a|=|b| C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0 解析：选ACD　对于A，若a=b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若|a|=|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若|a|=0或|b|=0，则a∥b. 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=120°，则以下说法正确的是 (　　) A.与相等的向量只有一个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模为模的倍 D.与不共线 解析：选ABC　A项，由相等向量的定义知，与相等的向量只有，故A正确；B项，因为AB=BC=CD=DA=AC，所以与的模相等的向量除外有9个，故B正确；C项，在Rt△ADO中，∠DAO=60°，则DO=DA，所以BD=DA，故C正确；D项，因为四边形ABCD是菱形，所以与共线，故D错误，选ABC. 7.(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中 (　　) A.向量的模相等 B.= C.向量共线 D.||+||=10 解析：选BC　==，||==2，A错误；||==，B正确； 向量共线，C正确； ||+||=2+3=5，D错误. 8.(5分)把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的始点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于　　　　.  解析：这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22-π·12=3π. 答案：3π 9.(5分)窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，则与相等的向量为　　　　　　　，的相反向量为　　　　　　.  解析：因为四边形EFGH为正方形，所以EF=FG=GH=HE，且EF∥HG.又E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，所以BF=FG=GC=HD=AE.所以与相等的向量有.的相反向量有. 答案：　 10.(5分)已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m=　　　　.  答案：0 11.(5分)已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，则||=　　　　　　.  解析：由题意知AC⊥BD，且∠ABD=30°.设AC与BD的交点为O， ∴在Rt△AOB中，||=||·cos 30°=2×=. ∴||=2||=2. 答案：2 12.(10分)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点. (1)作出向量；(4分) (2)求的模.(6分) 解：(1)作出向量，如图所示. (2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC=90°，BC=10米，CD=10米， 所以BD=10米.△ABD是直角三角形， 其中∠ABD=90°，AB=5米，BD=10米， 所以AD==5(米)， 所以||=5 米. 13.(10分)如图所示，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又=且=，求证：=. 证明：因为=， 所以||=||且AB∥DC. 所以四边形ABCD是平行四边形. 所以||=||且DA∥CB. 又因为与的方向相同， 所以=. 同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以=. 因为||=||，||=||， 所以||=||. 又与的方向相同，所以=. 学科网（北京）股份有限公司 $