5.3.3 第2课时 古典概型的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教B版）

5.3.3 第2课时 古典概型的应用 [课时跟踪检测] 1.已知集合M={-1，0，1，-2}，从集合M中有放回地任取两元素作为点P的坐标，则点P落在坐标轴上的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　由已知得，样本点共有4×4=16个，其中落在坐标轴上的点为(-1，0)，(0，-1)，(0，0)，(1，0)，(0，1)，(-2，0)，(0，-2)，共7个，∴所求的概率为P=，故选B. 2.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，记录向上的点数，样本空间包含的样本点的个数为n=6×6=36.“向上的点数之差的绝对值等于2”包含的样本点有(1，3)，(3，1)，(2，4)，(4，2)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)，共8个，所以“向上的点数之差的绝对值等于2”的概率为P==. 3.已知集合A={(x，y)|x+y=8，x，y∈N+}，B={(x，y)|y>x+1}.从集合A中任取一个元素m，则m∈B的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　集合A中的元素有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(7，1)，共7个元素，其中属于集合B的有(1，7)，(2，6)，(3，5)，共3个元素，故“从集合A中任取一个元素m，则m∈B”的概率为. 4.已知圆周率π=3.141 592…，把圆周率通过四舍五入精确到0.1n(n=1，2，3，4，5)的近似值分别记为a1，a2，a3，a4，a5，若从a1，a2，a3，a4，a5中任取2个数字ai，aj(1≤i<j≤5)，则满足ai>aj的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析：选C　由题意可得a1=3.1，a2=3.14，a3=3.142，a4=3.141 6，a5=3.141 59，从a1，a2，a3，a4，a5中任取2个数字ai，aj(1≤i<j≤5)，结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)，共10种，其中满足ai>aj的有(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)，共3种，所以所求概率P=. 5.对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知M={1，3}，N={1，3，5，7，9}，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则log3(xy)为整数的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析：选C　由题意，知样本点总数n=2×5=10，log3(xy)为整数包含的样本点有(1，1)，(1，3)，(1，9)，(3，1)，(3，3)，(3，9)，共6个，∴log3(xy)为整数的概率为P==. 6.将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和n，则函数y=mx2-4nx+1在[1，+∞)上是增函数的概率是 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　由题意可知，m，n∈{1，2，3，4，5，6}.若函数y=mx2-4nx+1在[1，+∞)上是增函数，则-=≤1，即m≥2n.以(m，n)代表一个样本点，所有的样本点数为62=36个，满足m≥2n的样本点有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，共9个.由古典概型的概率公式可知，所求概率为P==. 7.已知一个正四面体的玩具，各面分别标有1，2，3，4中的一个数字，甲、乙两同学玩游戏，每人抛掷一次，朝下一面的数字和为奇数甲胜，否则乙胜，则甲胜的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　根据题意，每人抛掷一次，朝下一面的数字的所有情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种，其中朝下一面的数字和为奇数的情况有(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，3)，共8种.所以甲获胜的概率为=. 8.(多选)一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则 (　　) A.如果是不放回地抽取，那么“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件 B.如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率 C.如果是有放回地抽取，那么取出1个红球和1个白球的概率是 D.如果是有放回地抽取，那么至少取出一个红球的概率是 解析：选CD　不放回地抽取2个球包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况，所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误. 记2个红球分别为a，b，3个白球分别为1，2，3. 不放回地从中取2个球的样本空间Ω1={ab，a1，a2，a3，ba，b1，b2，b3，1a，1b，12，13，2a，2b，21，23，3a，3b，31，32}，共20种， 记事件A为“第1次取到红球”，事件B为“第2次取到红球”， 则A={ab，a1，a2，a3，ba，b1，b2，b3}，B={ab，ba，1a，1b，2a，2b，3a，3b}，所以P(A)=P(B)==，故B错误. 有放回地从中取2个球的样本空间Ω2={aa，ab，a1，a2，a3，ba，bb，b1，b2，b3，1a，1b，11，12，13，2a，2b，21，22，23，3a，3b，31，32，33}，共25种； 记事件C为“取出1个红球和1个白球”，则C={a1，a2，a3，b1，b2，b3，1a，1b，2a，2b，3a，3b}，所以P(C)=，故C正确. 记事件D为“取出2个白球”，D={11，12，13，21，22，23，31，32，33}，所以P(D)=，所以至少取出1个红球的概率为1-=，故D正确.故选CD. 9.(5分)如图，一个转盘被等分成9个扇形，转动该转盘，则箭头指向36的约数的概率为　　　　.  解析：由题意，得样本空间的样本点的个数为9.36的约数有1，2，3，4，6，9，共6个， 所以箭头指向36的约数的概率为P==. 答案： 10.(5分)若f(x)=2x-1(x=1，2，3，4，5，6)的值域构成集合A，g(x)=3x+1(x=1，2，3，4，5，6)的值域构成集合B.任取一实数a∈A∪B，则a∈A∩B的概率是　　　　.  解析：由已知，得A={1，2，4，8，16，32}，B={4，7，10，13，16，19}.所以A∪B={1，2，4，7，8，10，13，16，19，32}，A∩B={4，16}.所以所求概率P==. 答案： 11.(5分)已知集合A=，任取k∈A，则幂函数f(x)=xk为偶函数的概率为　　　　(结果用数值表示).  解析：要幂函数f(x)=xk为偶函数，则k=-2，2， 故使幂函数f(x)=xk为偶函数的概率为=. 答案： 12.(10分)在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4 的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个球，每个球被取出的可能性相等. (1)请列出所有可能的结果；(5分) (2)求取出的两个球的编号恰为相邻整数的概率；(3分) (3)求取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4的概率.(2分) 解：(1)从甲、乙两个盒子中各取出一个球，所有可能的结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种情况. (2)设“取出的两个球的编号恰为相邻整数”为事件A， 事件A的所有可能的结果为(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，共6种情况， ∴P(A)==. (3)设“取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4”为事件B， 事件B的所有可能的结果为(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共11种情况，∴P(B)=. 13.(15分)随着中国实施制造强国战略以来，中国制造逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制.某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标值的范围为[50，100]，经过数据处理后得到如图频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中质量指标值的平均数和中位数(结果精确到0.1)；(5分) (2)为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标值在[50，60)和[90，100]的两组中抽取2件产品，记至少有一件取自[50，60)的产品为事件A，求事件A的概率.(10分) 解：(1)设质量指标值的平均数为，中位数为a，则=55×0.15+65×0.25+75×0.3+85×0.2+95×0.1=73.5，因为区间[50，60)对应的频率为0.15，区间[60，70)对应的频率为0.25，区间[70，80)对应的频率为0.3，所以中位数a在区间[70，80)上，故0.4+(a-70)×0.03=0.5，解得a≈73.3. (2)样本中质量指标值在[50，60)的产品有40×10×0.015=6件，记为A，B，C，D，E，F，质量指标值在[90，100]的有40×10×0.01=4件，记为a，b，c，d，从这10件产品中选取2件产品的所有选取方法有AB，AC，AD，AE，AF，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，BD，BE，BF，Ba，Bb，Bc，Bd，CD，CE，CF，Ca，Cb，Cc，Cd，DE，DF，Da，Db，Dc，Dd，EF，Ea，Eb，Ec，Ed，Fa，Fb，Fc，Fd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共45种， 其中至少有一件取自[50，60)的产品有39种，则P(A)==. 学科网（北京）股份有限公司 $