4.1.2 第2课时 指数函数性质与图象的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教B版）

第2课时　指数函数性质与图象的应用 [课时跟踪检测] 1.若<，则实数a的取值范围是 (　　) A. B.(1，+∞) C.(-∞，1) D. 解析：选A　因为函数y=在R上为减函数，所以2a+1>8-2a，所以a>.故选A. 2.若f(x)=，x∈R，那么f(x)是 (　　) A.奇函数且在(0，+∞)上是增函数 B.偶函数且在(0，+∞)上是增函数 C.奇函数且在(0，+∞)上是减函数 D.偶函数且在(0，+∞)上是减函数 解析：选D　由x∈R且f(-x)=f(x)知f(x)是偶函数.当x>0时，f(x)=是减函数. 3.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是 (　　) A.(-∞，-2] B.[-2，0) C.(0，2] D.[2，+∞) 解析：选D　由题意得y=x(x-a)在区间(0，1)单调递减，所以x=≥1，解得a≥2.故选D. 4.若函数f(x)=(a>0且a≠1)，满足f(1)=，则f(x)的单调递减区间是 (　　) A.(-∞，2] B.[2，+∞) C.[-2，+∞) D.(-∞，-2] 解析：选B 　由f(1)=，得a2=，解得a=或a=-(舍去)，即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞，2]上单调递减，在[2，+∞)上单调递增，所以f(x)在(-∞，2]上单调递增，在[2，+∞)上单调递减. 5.函数f(x)=的值域为 (　　) A. B. C. D.[2，+∞) 解析：选C　令t=-x2+2x，则t=-(x-1)2+1≤1.因为y=在R上单调递减，所以y≥.故函数f(x)=的值域为.故选C. 6.已知函数f(x)=3-|x|，则使得f(2a)<f(a-1)成立的正实数a的取值范围是 (　　) A. B. C.(0，1) D. 解析：选A　由题意可知f(x)的定义域为R，且f(-x)=3-|-x|=3-|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数.当x>0时，f(x)=，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(x)>0，所以不等式f(2a)<f(a-1)成立，需|2a|>|a-1|，解得a<-1或a>.又a>0，所以a>，即正实数a的取值范围是. 7.已知f(x)=是定义域为R的减函数，则a的取值范围是 (　　) A. B. C.(1，+∞) D. 解析：选B　由题意，得故即a∈. 8.(5分)函数y=的定义域是　　　　.  解析：由题意得-8≥0，即≥8=23， ∴x-1≥3.解得x≥4. 答案：[4，+∞) 9.(5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数，则a=　　　　.  解析：设g(x)=a·2x-2-x.因为f(x)为偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)=0，解得a=1. 答案：1 10.(5分)若对于任意的实数x，不等式a+3x+9x>0恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.  解析：要使原不等式恒成立，即a>-3x-9x恒成立. 因为-9x-3x=-+，其中3x∈(0，+∞)，所以-9x-3x∈(-∞，0).因此a≥0. 答案：[0，+∞) 11.(5分)若函数f(x)=πx-π-x+2 025x，则不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0的解集为　　　　.  解析：由题可知f(x)的定义域为R，因为f(-x)=π-x-πx-2 025x=-(πx-π-x+2 025x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，所以不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0可化为f(x+1)≥f(4-2x)，因为y=πx，y=-π-x，y=2 025x在R上均为增函数，所以f(x)在R上为增函数，所以x+1≥4-2x，解得x≥1，故该不等式的解集为[1，+∞). 答案：[1，+∞) 12.(10分)设函数f(x)=，a是不为零的常数. (1)若f(3)=，求使f(x)≥4的x的取值范围；(4分) (2)当x∈[-1，2]时，f(x)的最大值是16，求a的值.(6分) 解：(1)由f(3)=得a=3.则不等式f(x)≥4可化为23x-10≥22，解得x≥4. 故x的取值范围是[4，+∞). (2)当a>0时，f(x)=2ax-10是增函数， 则22a-10=16，所以a=7. 当a<0时，f(x)=2ax-10是减函数， 则2-a-10=16，所以a=-14. 综上，a=-14或a=7. 13.(10分)已知函数f(x)=4x-2·-6中x∈[0，3]. (1)求函数f(x)的最大值和最小值；(6分) (2)若实数a满足f(x)-a≥0恒成立，求a的取值范围.(4分) 解：(1)由已知，得f(x)=(2x)2-4·2x-6(0≤x≤3).令t=2x，因为0≤x≤3，所以1≤t≤8. 令h(t)=t2-4t-6=(t-2)2-10(1≤t≤8). 当t∈[1，2]时，h(t)是减函数；当t∈(2，8]时，h(t)是增函数. 所以f(x)min=h(2)=-10，f(x)max=h(8)=26. (2)因为f(x)-a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立， 所以a≤f(x)min恒成立. 由(1)知f(x)min=-10，所以a≤-10. 故a的取值范围为(-∞，-10]. 14.(10分)若函数f(x)=(k+3)ax+3-b(a>0且a≠1)是指数函数. (1)求k，b的值；(3分) (2)求解不等式f(2x-7)>f(4x-3).(7分) 解：(1)∵f(x)=(k+3)ax+3-b(a>0且a≠1)是指数函数， ∴k+3=1且3-b=0， 解得k=-2，b=3. (2)由(1)得f(x)=ax(a>0且a≠1). 因为f(2x-7)>f(4x-3)， 所以a2x-7>a4x-3. ①当a>1时，f(x)=ax单调递增， 则不等式等价于2x-7>4x-3，解得x<-2； ②当0<a<1时，f(x)=ax单调递减，则不等式等价于2x-7<4x-3，解得x>-2. 综上，当a>1时，原不等式的解集为{x|x<-2}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x>-2}. 15.(15分)已知函数f(x)=·x3. (1)求f(x)的定义域；(3分) (2)讨论f(x)的奇偶性；(7分) (3)证明：f(x)>0.(5分) 解：(1)由题意得2x-1≠0，即x≠0， ∴f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞). (2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称. 令g(x)=+=，φ(x)=x3， 则f(x)=g(x)·φ(x). ∵g(-x)===-g(x)， φ(-x)=(-x)3=-x3=-φ(x)， ∴f(-x)=g(-x)·φ(-x) =[-g(x)]·[-φ(x)]=g(x)·φ(x)=f(x). ∴f(x)=·x3为偶函数. (3)证明：当x>0时，2x>1，∴2x-1>0， ∴+>0.∵x3>0，∴f(x)>0.由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立.故对于x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，恒有f(x)>0. 学科网（北京）股份有限公司 $