5.3.1样本空间与事件5.3.2事件之间的关系与运算5.3.3古典概型同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

5.3.1样本空间与事件 5.3.2事件之间的关系与运算 5.3.3古典概型 一、单选题 1．已知，，且，则（   ） A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 【详解】因为，所以,故选：B. 2．下列试验中符合古典概型研究的试验是（   ） A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 【详解】在选项A中，因为骰子各个面材质不一样，所以每一面出现的可能性是不均等的，故不是古典概型； 在选项B中，球的数量有限，且每次试验中，每个球被抽中的可能性相同，故B项是古典概型； 在选项C中，试验的结果是无穷的，故不是古典概型； 在选项D中，因为各环的大小不均等，不满足各个样本点出现的可能性相等，故不是古典概型.故选：B 3．“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生； B．至少有1名男生与全是女生； C．恰有1名男生与恰有2名男生； D．至少有1名男生与至少有1名女生． 【详解】对于A项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，故A项错误； 对于B项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，故B项错误； 对于C项，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，故C项正确； 对于D项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D项错误.故选：C. 4．如果事件，互斥，且事件，分别是，的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定不互斥 【详解】 由于事件与互斥，，则(为全集)，是必然事件.故选：. 5．在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择3种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（   ） A． B． C． D． 【详解】将刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃分别设为，，，，， 根据题意，该游客从中随机选择3种品尝的所有情况有，，，，，，，，，，共10种， 其中该游客选择了油炸糕和莜面品尝的，，，情况有3种， 故所求概率为.故选：B 6．已知，，是三种电子信息传递元件，第一次由元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，则第三次传递后，信息在元件中的概率是（   ） A． B． C． D． 【详解】依题意三次传递所有的传递方法有： ；；；； ；；；，则共有8种传递方法． 第三次传递后，信息在元件中的有两种情况，所以第三次传递后，信息在元件中的概率故选：B． 7．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【详解】画出树状图： 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为．故选：B. 8．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【详解】如下图，将七块三角形编号如下， 所以从七巧板的五块三角形中任意取出两块的基本事件为： ，， ，，，共有种， 将七巧板划分如下，被分成个全等的三角形，设正方形的面积为， 则编号的面积为，则编号的面积为， 编号的面积为， 任取两块板面积相等的基本事件为：. 从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为.故选：C. 二、多选题 9．某同学参加3次不同测试，用事件表示随机事件“第次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（   ） A．表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B．表示后两次测试成绩均不及格 C．表示三次测试成绩均及格 D．表示三次测试成绩均不及格 【详解】因为表示前两次测试成绩中至少有一次及格，故A错误； 因为表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格，所以表示后两次测试成绩均不及格，故B正确；表示同时发生，即表示三次测试成绩均及格，故C正确； 表示测试成绩均不及格，所以表示三次测试成绩均不及格，故D正确；故选：BCD. 10．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第i次抛掷的结果为正面向上”（其中，2），则有（    ） A．事件与事件不是对立事件 B．事件A与事件是互斥事件 C． D． 【详解】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正， 则事件A包含：正正，事件包含：正正，正反，事件包含：正正，反正． 对于A，事件和中都含有基本事件正正， 所以事件与事件不是对立事件，故A正确． 对于B，事件A与事件不是互斥事件，它们有可能同时发生，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D，，，所以，故D正确；故选：ACD 11．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，就是一条移动路线.从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】画出树状图，结合图形 结合树状图可知：， 对于选项A：可知，故A正确； 对于选项B： 均有，故B正确； 对于选项C：因为，不经过数字5的路线有9条，所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12．已知事件A与事件B互斥，如果，，那么 ． 【详解】由题意．故答案为：0.2. 13．从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字（不允许重复），则这两个数字的乘积是奇数的概率为 ． 【详解】从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字（不允许重复）一共有种， 要想乘积为奇数，则随机选取的两个数字均为奇数，一共有种，所以概率为. 14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，1，3，3，乙的卡片上分别标有数字2，2，4，4，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则甲在第一轮比赛中得1分的概率为 ，甲的总得分为1的概率为 . 【详解】设样本空间为，甲在第一轮比赛中得1分为事件A， 在第一轮比赛中，甲、乙两人所选卡片上的数字可能为（1，2），（1，4），（3，2），（3，4），即 只有一种情况（3，2）满足甲在第一轮比赛中得1分，即， 所以甲在第一轮比赛中得1分的概率为. 甲的总得分可能为0，1，2.由于对称性，不妨固定乙四轮所选卡片上的数字依次为（2，2，4，4），甲四轮所选卡片上的数字有种排序方法. 若甲的总得分为0，则甲四轮所选卡片上的数字依次为（1，1，3，3）； 若甲的总得分为2，则甲四轮所选卡片上的数字依次为（3，3，1，1）. 故甲的总得分为0，2的概率均为，甲的总得分为1的概率为.故答案为：；. 四、解答题 15．从①命中8环的概率为0.22；②命中6环以下（含6环）的概率为0.12这两个条件中任选一个补充到下面题目中的横线处，并解答. 已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.56，命中7环的概率为0.12，___________. (1)求甲射击一次，命中不足8环的概率； (2)求甲射击一次，至少命中7环的概率. 【详解】（1）选择①. （1）记“甲射击一次，命中不足7环”为事件A，“射击一次，命中7环”为事件B， 则，， 由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件. 由题意知“甲射击一次，命中不足8环”为事件， 由互斥事件的概率加法公式，得. 所以甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22. 选择②.， 记“甲射击一次，命中7环”为事件A，“甲射击一次，命中6环以下（含6环）”为事件B，“甲射击一次，至少命中7环”为事件C. “甲射击一次，命中不足8环”为事件， 由于事件A与事件B为互斥事件，则， 所以甲射击一次，命中不足8环的概率为0.24. （2）选择①.方法一：记“甲射击一次，命中8环”为事件C，“甲射击一次，命中9环以上（含9环）”为事件D， 则“甲射击一次，至少命中7环”为事件，.又事件B，C，D两两互斥， 所以.所以甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9. 方法二：因为“甲射击一次，至少命中7环”为事件，所以. 所以甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9. 选择②. 记 “甲射击一次，命中6环以下（含6环）”为事件B，“甲射击一次，至少命中7环”为事件C. 事件B与事件C为对立事件，所以.所以甲射击一次，至少命中7环的概率为0.88. 16．某次联欢会上设有一个抽奖游戏抽奖箱中共有16个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表－等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项．其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖．从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为，小华同学获得一次摸奖机会． （1）求他不能中奖的概率； （2）若该同学中一等奖或二等奖的概率是，试计算黄球的个数． 【详解】解：（1）设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为，，，，它们是彼此互斥事件． 由题意得，． 由对立事件的概率公式得． ∴不能中奖的概率为； （2）∵，又， ∴．又， ∴． ∴中三等奖的概率为，因此黄球的个数为个． 17．抽取某车床生产的8个零件，编号为，，…，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品． (1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2个，求至少包含一个直径为1.48的零件的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率． 【详解】（1）由所给数据可知，一等品零件共有5个，非一等品有3个，直径分别为1.48，1.47，1.53，编号分别为，，， 则从中随机有放回地依次抽取2个，样本空间，共9个样本点， 其中不包含的有4个样本点，故至少包含一个直径为1.48的零件的概率为． （2）一等品零件的编号为，，，，，从这5个一等品零件中不放回地依次随机抽取2个，样本空间 ，共20个样本点． 设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件B，则，共8个样本点． 所以． 18．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数和35分位数； (2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率. 【详解】（1）解：因各组的频率之和为1， 所以成绩在区间内的频率； 所以平均分； 众数的估计值是； 设分位数为，因为的频率为，的频率为，的频率为， 所以，所以，解得； （2）解：设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间内”， 由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有：人， 记这4名学生分别为； 成绩在区间内的学生有人， 记这2名学生分别为； 则从这6人中任选2人的基本事件为： , ，共15种， 事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为：,，共9种， 所以.故所求事件的概率为：. 19．、两人在玩一个商业模拟游戏.现在游戏进行到了最后一轮，暂时领先3分.接下来可以掷两颗骰子，如果两颗骰子的点数都是偶数，则“投资”失败，“投资”的分值记为0分，游戏结束；否则，可以进行“投资”，他可以选择其中一个点数为奇数的骰子，将其点数作为“投资”的分值.“投资”结束后，该游戏结束.、两人中分值较高者获胜，若分值相同，则两人打平. (1)求获胜的概率； (2)若在掷骰子之前可以对的“投资”行为进行干扰，他可以选择以下两种方式之一：①让的分值直接减1；②当掷出骰子后，将点数较大的骰子变为1点，另一个不变（如果掷出的两颗骰子点数相同，则将其中一个变为1点）.为了使自己获胜的概率更大，会选择哪种方式进行干扰?说明理由. 【详解】（1）获胜的概率即为输的概率； 掷两颗骰子，掷第一颗骰子有6种点数，掷第二颗骰子有6种点数， 所以掷两颗骰子共有36种不同的结果；两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均为1的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数且奇数为1的概率为， 所以输的概率为；所以获胜的概率； （2）应选择②，理由如下： 选择①： 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均小于5的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数且奇数小于5的的概率为， 所以输的概率为；所以获胜的概率； 选择②： 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数， 即改后输， 所以两颗骰子的点数都是奇数且改后输的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数时， 即改后输， 所以两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数改后输的概率为，所以输的概率为； 所以获胜的概率；故为了使自己获胜的概率更大，会选择②方式进行干扰. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.1样本空间与事件 5.3.2事件之间的关系与运算 5.3.3古典概型 一、单选题 1．已知，，且，则（   ） A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 2．下列试验中符合古典概型研究的试验是（   ） A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 3．“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生； B．至少有1名男生与全是女生； C．恰有1名男生与恰有2名男生； D．至少有1名男生与至少有1名女生． 4．如果事件，互斥，且事件，分别是，的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定不互斥 5．在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择3种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（   ） A． B． C． D． 6．已知，，是三种电子信息传递元件，第一次由元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，则第三次传递后，信息在元件中的概率是（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 8．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某同学参加3次不同测试，用事件表示随机事件“第次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（   ） A．表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B．表示后两次测试成绩均不及格 C．表示三次测试成绩均及格 D．表示三次测试成绩均不及格 10．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第i次抛掷的结果为正面向上”（其中，2），则有（    ） A．事件与事件不是对立事件 B．事件A与事件是互斥事件 C． D． 11．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，就是一条移动路线.从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知事件A与事件B互斥，如果，，那么 ． 13．从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字（不允许重复），则这两个数字的乘积是奇数的概率为 ． 14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，1，3，3，乙的卡片上分别标有数字2，2，4，4，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则甲在第一轮比赛中得1分的概率为 ，甲的总得分为1的概率为 . 四、解答题 15．从①命中8环的概率为0.22；②命中6环以下（含6环）的概率为0.12这两个条件中任选一个补充到下面题目中的横线处，并解答. 已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.56，命中7环的概率为0.12，___________. (1)求甲射击一次，命中不足8环的概率； (2)求甲射击一次，至少命中7环的概率. 16．某次联欢会上设有一个抽奖游戏抽奖箱中共有16个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表－等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项．其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖．从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为，小华同学获得一次摸奖机会． （1）求他不能中奖的概率； （2）若该同学中一等奖或二等奖的概率是，试计算黄球的个数． 17．抽取某车床生产的8个零件，编号为，，…，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品． (1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2个，求至少包含一个直径为1.48的零件的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率． 18．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数和35分位数； (2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率. 19．、两人在玩一个商业模拟游戏.现在游戏进行到了最后一轮，暂时领先3分.接下来可以掷两颗骰子，如果两颗骰子的点数都是偶数，则“投资”失败，“投资”的分值记为0分，游戏结束；否则，可以进行“投资”，他可以选择其中一个点数为奇数的骰子，将其点数作为“投资”的分值.“投资”结束后，该游戏结束.、两人中分值较高者获胜，若分值相同，则两人打平. (1)求获胜的概率； (2)若在掷骰子之前可以对的“投资”行为进行干扰，他可以选择以下两种方式之一：①让的分值直接减1；②当掷出骰子后，将点数较大的骰子变为1点，另一个不变（如果掷出的两颗骰子点数相同，则将其中一个变为1点）.为了使自己获胜的概率更大，会选择哪种方式进行干扰?说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $