5.1.4 用样本估计总体 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教B版）

5.1.4　用样本估计总体 [课时跟踪检测] 1.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B.数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C.数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D.数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定 解析：选ACD　由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故B不正确，A、C、D正确. 2.为了解某地区1 500名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17~18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图.根据图示，估计该地区高三男生中体重在[56.5，64.5)kg的学生人数是 (　　) A.390 B.510 C.600 D.660 解析：选C　由题意得体重在[56.5，64.5)kg的学生频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，其人数为1 500×0.4=600. 3.已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图.若甲组数据的中位数为a，乙组数据的75%分位数为b，则a+b的值是 (　　) 甲 乙 9　8　7 9　7　5 6　4　3 　　　2 0 1 2 3 5　7　8 1　1　3 0　2　 0　1　 A.37 B.38 C.39 D.40 解析：选D　甲组数据从小到大排列为7，8，9，15，17，19，23，24，26，32，共10个数据，所以中位数为=18，所以a=18.乙组数据从小到大排列为5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，共10个数据，又75%×10=7.5，所以乙组数据的75%分位数为22，所以b=22，所以a+b=18+22=40. 4.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.估计这次测试数学成绩的平均分为 (　　) A.50 B.60 C.72 D.80 解析：选C　利用组中值估算学生的平均分为45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72. 5.某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额(单位：百元)情况，得到了如图所示的茎叶图(其中茎表示十位数，叶表示个位数)，关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是 (　　) A.甲、乙两家商店营业额的极差相同 B.甲、乙两家商店营业额的中位数相同 C.从营业额超过3 000元的天数所占比例来看，甲商店较高 D.甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差 解析：选C　甲商店营业额的极差为10，乙商店营业额的极差为8，故A错误； 甲商店营业额的中位数为32，乙商店营业额的中位数为30，故B错误； 甲商店营业额超过3 000元的天数为3，乙商店营业额超过3 000元的天数为2，故从营业额超过3 000元的天数所占比例来看，甲商店较高，故C正确； 甲商店营业额的平均数为=32，乙商店营业额的平均数为=30，故甲商店营业额的方差=×[(27-32)2+(28-32)2+(32-32)2+(36-32)2+(37-32)2]=16.4， 乙商店营业额的方差=×[(26-30)2+(28-30)2+(30-30)2+(32-30)2+(34-30)2]=8，>，故甲商店营业额的方差大于乙商店营业额的方差，故D错误. 6.(多选)在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列说法正确的是 (　　) A.成绩在[70，80)分的考生人数最多 B.不及格的考生人数为1 000 C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5分 D.考生竞赛成绩的中位数约为75分 解析：选ABC　由频率分布直方图可知，成绩在[70，80)分的考生人数最多，所以A正确；不及格的人数为4 000×(0.01+0.015)×10=1 000，所以B正确；平均分约为(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5(分)，所以C正确；设中位数约为x0分，因为(0.01+0.015+0.02)×10=0.45<0.5，(0.01+0.015+0.02+0.03)×10=0.75>0.5，所以0.45+(x0-70)×0.03=0.5，解得x0≈71.7，所以D错误. 7.(5分)某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1 000户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户.依据这些数据，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是　　　　.  解析：由题意，得普通家庭中拥有3套或3套以上住房的大约为99 000×=5 000户， 高收入家庭中拥有3套或3套以上住房的大约为1 000×=700户. 所以该地拥有3套或3套以上住房的家庭共约有5 000+700=5 700户. 故估计该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占的比例为×100%=5.7%. 答案：5.7% 8.(5分)某果园有苹果树100棵，为了估计该果园的苹果总产量，小王先按长势把苹果树分成了A，B，C三个级别，其中A级30棵，B级60棵，C级10棵，然后从A，B，C三个级别的苹果树中分别随机抽取了3棵、6棵、1棵，测出其产量，制成了如下统计表.小李看了这个统计表后马上正确估计出了该果园的苹果总产量，那么小李的估计值是　　　　kg.  苹果树长势 A级 B级 C级 随机抽取棵数 3 6 1 所抽取果树的平均产量/kg 80 75 70 解析：由题表各等级苹果树的平均产量可估算果园的苹果总产量为(80×3+75×6+70×1)×10=7 600 kg. 答案：7 600 9.(5分)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a=　　　　.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为　　　　.  解析：因为频率分布直方图中各矩形的面积之和为1，所以10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1，解得a=0.030.由题图可知身高在[120，150]内的学生人数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60，其中身高在[140，150]内的学生人数为10，所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数为×10=3. 答案：0.030　3 10.(5分)如图是某班学生在一次数学考试中的成绩的频率分布直方图.根据直方图估计其成绩的众数是　　　　，中位数是　　　　，平均数是　　　　.  解析：由频率分布直方图可知，其众数为=75.设中位数为x，由题图知0.01×10+0.02×10+(x-70)×0.03=0.5，所以x≈76.7. 平均数为(55×0.01+65×0.02+75×0.03+85×0.025+95×0.015)×10=76.5. 答案：75　76.7　76.5 11.(10分)2025年“五一”假期，全国国内出游3.14亿人次，同比增长6.4%，这一数据反映了民众出行意愿高涨，折射出我国内需市场的活力.某景点为提升服务水平，对部分游客发起满意度调查，满意度采用百分制，统计结果绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值，并估计满意度得分在75分及以上所占的百分比；(4分) (2)估计满意度得分的中位数和平均数(同一组中数据用该组区间的中点值作代表).(6分) 解：(1)由频率分布直方图可知10×a+10×0.03+10×0.04+10×0.02=1，解得a=0.01， 满意度得分在75分及以上所占的百分比为+0.4+0.2=0.75. (2)法一：因为满意度在[60，80)内的频率为0.1+0.3=0.4，满意度在[60，90)内的频率为0.1+0.3+0.4=0.8，所以中位数在[80，90)内，设中位数为x，则有0.4+(x-80)×0.04=0.5， 解得x=82.5，所以满意度得分的中位数为82.5， 满意度得分的平均数为65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82. 法二：因为满意度在[60，80)内的频率为0.1+0.3=0.4，满意度在[60，90)内的频率为0.1+0.3+0.4=0.8，所以中位数在[80，90)内，由80+10×=82.5，可得中位数为82.5， 满意度得分的平均数为65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82. 12.(15分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值；(3分) (2)估计样本成绩的中位数；(4分) (3)已知落在[50，60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60，70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2.(8分) 解：(1)∵每组小矩形的面积之和为1， ∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，解得a=0.030. ∴频率分布直方图中a的值为0.030. (2)中位数即50%分位数，成绩落在[40，70)内的频率为(0.005+0.010+0.020)×10=0.35， 落在[40，80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，故中位数落在[70，80)内. 设中位数为m，则0.35+(m-70)×0.030=0.50，解得m=75，故中位数为75. (3)由题图可知，成绩在[50，60)的市民人数为100×0.1=10， 成绩在[60，70)的市民人数为100×0.2=20， 故==62， s2===37. ∴两组成绩的总平均数是62，总方差是37. 学科网（北京）股份有限公司 $