5.1.4用样本估计总体（题型专练）数学人教B版2019必修第二册

5.1.4用样本估计总体 题型一 总体取值规律的估计 1．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下： 数据 个数 800 1300 900 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（    ） A．91.16 B．85.23 C．84.73 D．79.97 2．（24-25高一下·四川资阳·期末）将一个总体分为，，三层，其个体数之比为.若，，三层的样本的平均数分别为20，30，40，则总体的平均数为 . 3．（24-25高二下·上海·期末）对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有 人能报考该专业． 题型二 总体集中趋势的估计 1．（25-26高一上·四川成都·开学考试）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（    ） A．众数是85 B．中位数是80 C．众数是21 D．中位数是12 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知甲、乙两名同学在高二的6次数学周测的成绩（单位：分）统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 B．若甲、乙成绩的平均数分别为，，则 C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 3．（24-25高一下·云南玉溪·期末）五一期间昆明蓝花楹盛开，吸引了很多游客，现随机采访了100名来欣赏蓝花楹的游客，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： (1)求样本数据的第50百分位数； (2)估计这100名游客的平均年龄（同一组中的数据用该组中的中点值代表）． 4．（24-25高一下·四川·期末）为深化共享单车监管工作，某市交通管理部门随机选取100名市民开展共享单车使用满意度问卷调查．按照百分制评分标准，将这100份问卷的结果分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]6组，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)估计本次问卷调查评分的众数和中位数； (2)估计本次问卷调查评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）． 5．（24-25高一下·福建福州·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在长二F遥二十运载火箭的托举下，圆满完成飞行任务．为发扬并传承中国航天精神，我市随机抽取600名学生进行航天知识竞赛并记录学生的成绩（满分100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求n的值； (2)求第70百分位数； (3)求这600名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 题型三 总体离散程度的估计 1．（2025·河北邯郸·一模）已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 2．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 3．（24-25高一下·山东青岛·期末）有一组样本数据，，，，的平均数为3，方差为3，则，，，，，3的方差为（   ） A．3 B． C． D． 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）从A队30人、B队20人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人.进行一轮答题竞赛.相关统计情况如下：A队答对题目数的平均数为2，方差为1.5；B队答对题目数的平均数为1.方差为0.4，则这5人答对题目数的方差为（    ） A．1.3 B．1.06 C．0.95 D．0.8 5．（24-25高一下·河北唐山·期末）某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为4.2小时，方差为1.96；高一女生锻炼时长平均为3.7小时，方差为1.91，高一年级男生女生人数之比为，则该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为 ．提示：． 6．（24-25高一下·湖南·期末）衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组25人，B组20人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8，B组的平均成绩为86.5分，方差为2，则在这次测试中全班学生成绩的方差为 . 7．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）据统计某市学生的男女生人数比为，为了调查该市学生每天睡眠时长的情况，按照男女生人数比用分层抽样的方法抽取样本．根据样本数据计算得男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，方差为2，女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，方差为1.9，则可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为 小时，方差为 ； 参考公式：分层抽样中，假设第一层有m个数，平均数为，方差为；第二层有y个数，平均数为，方差为．则样本方差． 题型四 总体估计中的求参数问题 1．（24-25高一下·安徽合肥·期末）一组数据按从小到大排列为：1，2，4，6，7，10，．这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．12 B．15 C．17 D．19 2．（多选）（24-25高一下·湖北·期末）一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（   ） A．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C．去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 D．去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 3．（2025高二·全国·专题练习）某校从高一年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，绘制成如下频率分布直方图，则频率分布直方图中a的值是 ．    4．（24-25高一上·全国·课后作业）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如图的统计图表（图1～图3），请根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度； （2）图2，3中的 ， ． 题型一 用统计方法助力决策问题 1．（2024高二上·云南·学业考试）学校从甲、乙两名射击运动员中推荐一人参加市中学生运动会，甲、乙两人参加测试的成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 经计算得：，，，. 根据上述信息，学校应推荐 参加市中学生运动会. 2．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）某公司打算招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 70 78 70 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是 . 3．（24-25高一下·河南开封·期末）某市通过简单随机抽样，获得了1000户居民用户的月均用电量数据，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.    (1)求直方图中x的值； (2)求在被调查的用户中，用电量落在区间内的用户数； (3)该市政府计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一个居民月均用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望的居民生活用电费用支出不受影响，将a定为是否合理？请说明理由. 4．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）某社区组织了以“奔向幸福，‘毽’步如飞”为主题的踢毽子比赛活动，初赛结束后有甲、乙两个代表队进入决赛，已知每队有5名队员，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀.下表是两队各队员的比赛成绩. 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲队 103 102 98 100 97 500 乙队 97 99 100 96 108 500 经统计发现两队5名队员踢毽子的总个数相等，按照比赛规则，两队获得并列第一. 学习统计知识后，我们可以通过考查数据中的其它信息作为参考，进行综合评定： (1)甲、乙两队的优秀率分别为_____________、________________； (2)甲队比赛数据的中位数为___________个；乙队比赛数据的中位数为__________个； (3)分别计算甲、乙两队比赛数据的方差； (4)根据以上信息，你认为综合评定哪一个队的成绩好？简述理由. 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵的产量的平均数分别为和，方差分别为和. （单位：kg） 60 50 40 60 70 80 80 80 90 90 （单位：kg） 40 60 60 80 80 50 80 80 70 100 (1)求品种的10棵桃树产量的第80百分位数； (2)求，，，； (3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由. 6．（24-25高一下·福建泉州·期末）某企业拟从甲、乙两家工厂中选择一家作为供货商，现从两家工厂生产的产品中各抽取100件，并测量其质量指标值（指标值越大，代表质量越高），测量结果统计如下： 质量指标值分组 频数 40 60 平均数 63 83 方差 6 16 乙工厂 (1)求的值，并估计甲工厂产品质量指标值的样本平均数和样本方差（频率分布直方图中，同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)结合统计学知识为该企业推荐一家供货商． 7．（24-25高一下·广西河池·期末）2025年NBA选秀大会，我国选手杨瀚森将参加选秀，为备战选秀，运动员参加了联合试训，其中甲、乙两位运动员开展了队内三分投篮对抗赛.在对抗赛中两人每轮投篮10次，共进行10轮，每轮命中的成绩（个数）如下： 甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10 乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8 (1)求甲运动员的样本数据第75百分位数； (2)分别计算这两位运动员10轮投篮成绩的平均数和方差； (3)根据第二问结果回答下列问题：甲、乙两位运动员谁的发挥更稳定，为什么？ 8．（24-25高一上·陕西·期末）甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击次，组委会从两人的成绩中各随机抽取次成绩（满分分），如下表所示： 甲射击成绩 乙射击成绩 (1)分别求出甲、乙两名运动员次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好? 9．（23-24高一上·全国·课后作业）为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如下图和下表所示（单位：mm）.        平均数 方差 完全符合要求的个数 A 20 0.026 2 B 20 5 根据测试得到的有关数据，试解答下列问题： (1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些； (2)计算出的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些； (3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由. 题型二 总体估计的综合问题 1．（24-25高一上·四川·开学考试）今年，夕夕一家5个人的年龄分别为（单位：周岁）：6，32，34，55，58与4年前相比，下列说法正确的是（　　） A．平均数变大，方差变大 B．平均数变大，方差不变 C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差不变 2．（24-25高一下·安徽六安·期末）某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（    ） A．168，35 B．168，20 C．169.6，35 D．169.6，20 3．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（    ） A．中位数不变 B．平均数不变 C．标准差不变 D．第三四分位数不变 4．（多选）（2025高一上·全国·专题练习）已知一组样本数据，下列说法正确的是（    ） A．该样本数据的60%分位数为 B．剔除某个数据：后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 C．若的平均数为2，方差为1，的平均数为6，方差为2，则的方差为5 D．若记录样本数据时，错把一个数据68写成88，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为1 5．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（    ） A．数据1， 3， 5， 7， 9， 11， 13的第60百分位数为7 B．若样本的平均数和方差分别为2和3， 则的平均数和方差分别为8和27 C．一组样本数据为7，12，13， 17，18，20，32，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 D．数据1，2，4，6，7的方差为 6．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本平均数； (2)试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 7．（24-25高一下·山东聊城·期末）某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）； (2)从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差. 8．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）为推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识宣传活动，举办“网络防骗”知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图计算样本成绩的80%分位数； (3)若总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数样本方差分别为：m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则.已知在的平均数是65，方差是6，在的平均数是75，方差是3，求这两组样本的总平均数和总方差. 1．（2025高一上·全国·专题练习）设样本数据，，…，的平均数为，标准差为s，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（    ） A．1 B． C．4 D． 2．（24-25高一下·湖北黄石·期末）为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)请根据样本数据估计，全校学生一周内的校志愿者活动平均时长为多少？ (3)学校现在准备对志愿者活动时长排在前10%的学生授予“志愿活动模范之星”的荣誉称号，根据样本数据估计，志愿者活动时长最少为多少分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”？ 3．（25-26高一上·全国·单元测试）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的21%，95%分位数． (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他9个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，78，77，89，且这10个数据的平均数，记这10个数据的方差为s²，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比． (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统．把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的，新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 参考数据：，，． 4．（24-25高一下·安徽合肥·期末）新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 5．（25-26高一上·全国·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 6．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.4用样本估计总体 题型一 总体取值规律的估计 1．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下： 数据 个数 800 1300 900 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（    ） A．91.16 B．85.23 C．84.73 D．79.97 【答案】B 【分析】直接计算平均数即可. 【详解】由题可知：样本平均数为， 所以估计这4万个数据的平均数约为. 故选：B 2．（24-25高一下·四川资阳·期末）将一个总体分为，，三层，其个体数之比为.若，，三层的样本的平均数分别为20，30，40，则总体的平均数为 . 【答案】 【分析】结合分层抽样的概念即可求解. 【详解】由题意可知样本的平均数为. 所以总体的平均数为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海·期末）对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有 人能报考该专业． 【答案】 【分析】先求得视力在0.9以上的频率，再根据频数、频率、样本容量的关系即可求得答案． 【详解】由频率分布直方图知：视力在0.9以上的频率为， 所以该班学生中能报专业的最多人数为． 故答案为：20. 题型二 总体集中趋势的估计 1．（25-26高一上·四川成都·开学考试）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（    ） A．众数是85 B．中位数是80 C．众数是21 D．中位数是12 【答案】A 【分析】按照众数与中位数这两个概念进行求解即可 【详解】从统计图中知，85分出现的次数最多，故众数是85； 把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数， 而，故中位数是； 故只有选项A正确； 故选：A． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知甲、乙两名同学在高二的6次数学周测的成绩（单位：分）统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 B．若甲、乙成绩的平均数分别为，，则 C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【答案】A 【分析】由折线图甲乙同学成绩的分布情况结合统计相关知识即可作出判断. 【详解】对于A：由折线图可知，甲的中位数大于90，乙同学的中位数小于90， 所以甲的中位数大于乙的中位数，故A错误； 对于B，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，B正确； 对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确； 对于D，由折线图可知，甲成绩波动性小于乙成绩的波动性， 所以甲成绩比乙成绩稳定，D正确. 故选：A． 3．（24-25高一下·云南玉溪·期末）五一期间昆明蓝花楹盛开，吸引了很多游客，现随机采访了100名来欣赏蓝花楹的游客，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： (1)求样本数据的第50百分位数； (2)估计这100名游客的平均年龄（同一组中的数据用该组中的中点值代表）． 【答案】(1) (2)50岁 【分析】（1）根据频率分布直方图百分位数定义列式计算求解； （2）根据频率分布直方图平均数定义列式计算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 样本中数据落在的频率为， 设第50百分位数为，易得位于50和60之间， 则有：，解得． （2）设100名游客的平均年龄为，由图可知， ， 故这100名游客的平均年龄约为50岁． 4．（24-25高一下·四川·期末）为深化共享单车监管工作，某市交通管理部门随机选取100名市民开展共享单车使用满意度问卷调查．按照百分制评分标准，将这100份问卷的结果分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]6组，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)估计本次问卷调查评分的众数和中位数； (2)估计本次问卷调查评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）． 【答案】(1)75，75 (2)74 【分析】由频率分步直方图计算众数，中位数，平均数计算方法可得答案. 【详解】（1）众数为． ∵，解得． 设中位数为，则前3组频率之和为， 又前4组频率之和为， ∴中位数在第4组，由，可得，故中位数为75； （2）平均数为． 5．（24-25高一下·福建福州·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在长二F遥二十运载火箭的托举下，圆满完成飞行任务．为发扬并传承中国航天精神，我市随机抽取600名学生进行航天知识竞赛并记录学生的成绩（满分100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求n的值； (2)求第70百分位数； (3)求这600名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用频率和为1即可求解； （2）利用百分位数的定义求解即可； （3）利有平均数的定义求解即可. 【详解】（1）由，得； （2）设第70百分位数为，则，解得； （3）这600名学生成绩的平均数为. 题型三 总体离散程度的估计 1．（2025·河北邯郸·一模）已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 【答案】B 【分析】首先计算总体平均数，再代入总体方差公式，即可求解. 【详解】由条件可知，总体平均数， 设组数据的平均数为，方差为，组数据的平均数是，方差是， 所以所有数据的总体方差， . 故选：B 2．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【答案】C 【分析】根据甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，根据中位数，平均数，极差和数据的波动性，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图， 对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于， 所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确； 对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学， 其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确； 对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差， 由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确； 对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性， 所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确. 故选：C. 3．（24-25高一下·山东青岛·期末）有一组样本数据，，，，的平均数为3，方差为3，则，，，，，3的方差为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】按照方差的公式计算即可. 【详解】由题可知：， 所以. 故选：C 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）从A队30人、B队20人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人.进行一轮答题竞赛.相关统计情况如下：A队答对题目数的平均数为2，方差为1.5；B队答对题目数的平均数为1.方差为0.4，则这5人答对题目数的方差为（    ） A．1.3 B．1.06 C．0.95 D．0.8 【答案】A 【分析】先求得整体平均数，然后根据总方差的计算公式求得正确答案. 【详解】显然抽取A队3人，B队2人，整体平均数， 故总方差. 故选：A 5．（24-25高一下·河北唐山·期末）某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为4.2小时，方差为1.96；高一女生锻炼时长平均为3.7小时，方差为1.91，高一年级男生女生人数之比为，则该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为 ．提示：． 【答案】2 【分析】根据给定条件，求出该校高一学生每周平均锻炼时长，再利用方差公式计算出方差. 【详解】高一男生、女生锻炼时长平均数为，方差分别为， 则该校高一学生每周锻炼时长的平均数， 所以该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为. 故答案为：2 6．（24-25高一下·湖南·期末）衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组25人，B组20人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8，B组的平均成绩为86.5分，方差为2，则在这次测试中全班学生成绩的方差为 . 【答案】/ 【分析】利用分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】设，，，，，， 则全班学生成绩的平均数为， 全班学生成绩的方差为， 故答案为： 7．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）据统计某市学生的男女生人数比为，为了调查该市学生每天睡眠时长的情况，按照男女生人数比用分层抽样的方法抽取样本．根据样本数据计算得男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，方差为2，女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，方差为1.9，则可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为 小时，方差为 ； 参考公式：分层抽样中，假设第一层有m个数，平均数为，方差为；第二层有y个数，平均数为，方差为．则样本方差． 【答案】 【分析】对于平均数，根据分层抽样中各层人数比例与各层平数来计算总体平均数； 对于方差，利用给定的分层抽样方差公式进行计算. 【详解】该市学生的男女生人数比为，设男生人数为，女生人数为， 男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，故个男生睡眠时长为小时； 女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，故个女生睡眠时长为小时， 则该市学生每天睡眠时长的平均数为（小时）； 由题干可得，，，，，， 代入公式得， . 故答案为：；. 题型四 总体估计中的求参数问题 1．（24-25高一下·安徽合肥·期末）一组数据按从小到大排列为：1，2，4，6，7，10，．这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．12 B．15 C．17 D．19 【答案】D 【分析】根据百分位数的计算规则，算出第60百分位数，再算出平均数，列出关于的等式，计算得出的值. 【详解】位置，根据百分位数的计算规则，第60百分位数是第5个数据，即7， 因为这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，所以， 解得. 故选：D 2．（多选）（24-25高一下·湖北·期末）一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（   ） A．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C．去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 D．去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 【答案】ACD 【分析】AC选项，可举出实例；B选项，由方差的意义可得；D选项，当平均数和中位数相等时，掉样本数据中的中位数后，其方差为，D错误. 【详解】对于 A，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 去掉最大值和最小值后，新数据为，其平均数为， 一般情况下， 例如数据，其平均数为， 去掉1和10后，新数据的平均数为，不相等，故A选项错误； 对于B，方差反映数据的离散程度，原数据中最大值和最小值会使数据的离散程度较大， 去掉最大值和最小值后，数据相对更加集中，根据方差的意义，新数据的方差会小于原方差，故B选项正确； 对于C，去掉最小值后，新数据的方差不一定小于原方差，故C选项错误， 下面举出例子，设这5个互不相等的数据为0,0.1,0.2,0.3,4， 则它们的平均数为， 方差为， 去掉最小值0后，新数据为0.1,0.2,0.3,4，其平均数为， 其方差为， ，C错误； 对于 D，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 方差为， 中位数是将数据排序后位于中间位置的数，当去掉中位数后， 剩下的4个数其平均数为， 所以当时，其方差为， 其方差会大于原方差，故D错误. 故选：ACD 3．（2025高二·全国·专题练习）某校从高一年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，绘制成如下频率分布直方图，则频率分布直方图中a的值是 ．    【答案】0.020 【分析】根据频率之和等于1求解可得. 【详解】由图可知，，解得. 故答案为：． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如图的统计图表（图1～图3），请根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度； （2）图2，3中的 ， ． 【答案】 36 60 14 【分析】（1）根据扇形统计图求出“统计与概率”所占的百分比，再乘以可得答案； （2）先求出“数与代数”的总课时，减去“数与式”与“函数的”课时可求出，根据条形统计图可求出 【详解】（1）由扇形统计图可知“统计与概率”所在扇形的圆心角为； （2）由图1和图2可知，由图3知． 故答案为：①36，②60，③14 题型一 用统计方法助力决策问题 1．（2024高二上·云南·学业考试）学校从甲、乙两名射击运动员中推荐一人参加市中学生运动会，甲、乙两人参加测试的成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 经计算得：，，，. 根据上述信息，学校应推荐 参加市中学生运动会. 【答案】甲 【分析】根据甲、乙两人平均成绩和方差的大小以及方差的意义可得出结论. 【详解】因为，， 所以两人平均水平相当，但甲发挥较为稳定，故学校应推荐甲参加市中学生运动会. 故答案为：甲. 2．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）某公司打算招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 70 78 70 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是 . 【答案】乙 【分析】根据题目所给比例计算三位应聘者得总成绩即可得到结论. 【详解】由题，对于甲，他的总成绩如下： , 对于乙，他的总成绩：, 对于丙，他的总成绩：, 比较三者总成绩，乙的成绩最高。 故答案为：乙 3．（24-25高一下·河南开封·期末）某市通过简单随机抽样，获得了1000户居民用户的月均用电量数据，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.    (1)求直方图中x的值； (2)求在被调查的用户中，用电量落在区间内的用户数； (3)该市政府计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一个居民月均用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望的居民生活用电费用支出不受影响，将a定为是否合理？请说明理由. 【答案】(1) (2)600 (3)合理，理由见解析 【分析】（1）根据频率和为1，列式计算求出参数； （2）先计算频率再计算用户数； （3）应用频率分布直方图列式计算频率结合已知说明理由. 【详解】（1）根据频率和为1，可知 ，计算得：； （2）； （3）， 合理，样本的第80百分位数接近于250，由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差， 在实际决策中，只要临界值近似为第80百分位数即可，为了实际中操作方便， 可以建议市政府把月均用电量标准定为. 4．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）某社区组织了以“奔向幸福，‘毽’步如飞”为主题的踢毽子比赛活动，初赛结束后有甲、乙两个代表队进入决赛，已知每队有5名队员，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀.下表是两队各队员的比赛成绩. 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲队 103 102 98 100 97 500 乙队 97 99 100 96 108 500 经统计发现两队5名队员踢毽子的总个数相等，按照比赛规则，两队获得并列第一. 学习统计知识后，我们可以通过考查数据中的其它信息作为参考，进行综合评定： (1)甲、乙两队的优秀率分别为_____________、________________； (2)甲队比赛数据的中位数为___________个；乙队比赛数据的中位数为__________个； (3)分别计算甲、乙两队比赛数据的方差； (4)根据以上信息，你认为综合评定哪一个队的成绩好？简述理由. 【答案】(1)60%，40%； (2)100；99； (3)；18 (4)甲队的成绩好，理由见解析 【分析】（1）根据甲队和乙队每人踢100个以上(含100)的人数，除以总人数，即可求出甲乙两队的优秀率； （2）根据中位数的定义先把数据从小到大排列，找出最中间的数即可； （3）根据平均数的计算公式先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可； （4）分别从甲和乙的优秀率、中位数、方差，进行比较，即可得出答案. 【详解】（1）甲队的优秀率为：， 乙队的优秀率为：. 故答案为：；. （2）甲队5名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为：97，98，100，102，103， 所以甲队比赛数据的中位数为100； 乙队5名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为：96，97，99，100，108， 所以乙队比赛数据的中位数为99. 故答案为：100；99. （3）甲、乙两队比赛数据的平均数均为（个） . . （4）综合评定甲队的成绩好，理由如下： 因为甲队的优秀率比乙队高；甲队的中位数比乙队大；甲队的方差比乙队低，比较稳定，综合评定甲队比较好. 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵的产量的平均数分别为和，方差分别为和. （单位：kg） 60 50 40 60 70 80 80 80 90 90 （单位：kg） 40 60 60 80 80 50 80 80 70 100 (1)求品种的10棵桃树产量的第80百分位数； (2)求，，，； (3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由. 【答案】(1) (2)；；； (3)选种品种，理由见解析. 【分析】（1）根据百分数知识即可求解； （2）根据平均数和方差公式求解即可求解； （3）比较平均值和方差的大小即可求解. 【详解】（1）由题意将品种的棵桃树产量从小到大排列为：，，，，，，，，，； 且，则第百分位数为第位和第位数的平均数：. 故品种的棵桃树产量的第百分位数为. （2）由题意可得， 则 ； ， . （3）种植品种，因为，但是，所以品种产量较稳定. 6．（24-25高一下·福建泉州·期末）某企业拟从甲、乙两家工厂中选择一家作为供货商，现从两家工厂生产的产品中各抽取100件，并测量其质量指标值（指标值越大，代表质量越高），测量结果统计如下： 质量指标值分组 频数 40 60 平均数 63 83 方差 6 16 乙工厂 (1)求的值，并估计甲工厂产品质量指标值的样本平均数和样本方差（频率分布直方图中，同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)结合统计学知识为该企业推荐一家供货商． 【答案】(1)，样本平均数75，样本方差129； (2)建议选择乙工厂生产的产品. 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1，可计算出，再利用平均数和方差公式计算即可； （2）利用公式计算出乙工厂生产的产品质量指标平均数和方差，与甲工厂生产的产品质量指标数据比较大小，即可得出结论. 【详解】（1）因为，所以， 所以甲工厂生产的产品质量指标平均数为 ， 方差为. （2）乙工厂生产的产品质量指标平均数为， 方差为， 所以， 以样本估计总体，甲、乙两家工厂产品的质量指标平均数相当，但乙工厂生产的产品质量指标值方差比较小，产品质量比较稳定， 故建议选择乙工厂生产的产品． 7．（24-25高一下·广西河池·期末）2025年NBA选秀大会，我国选手杨瀚森将参加选秀，为备战选秀，运动员参加了联合试训，其中甲、乙两位运动员开展了队内三分投篮对抗赛.在对抗赛中两人每轮投篮10次，共进行10轮，每轮命中的成绩（个数）如下： 甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10 乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8 (1)求甲运动员的样本数据第75百分位数； (2)分别计算这两位运动员10轮投篮成绩的平均数和方差； (3)根据第二问结果回答下列问题：甲、乙两位运动员谁的发挥更稳定，为什么？ 【答案】(1)9 (2)甲的平均数为7，方差为4.6，乙的平均数为7，方差为1.2 (3)乙发挥的更加稳定，理由见解析 【分析】（1）根据百分位数的计算公式即可求解， （2）由平均数和方差的计算公式即可求解，， （3）根据方差的大小即可比较作答. 【详解】（1）甲运动员的成绩从小到大排列为， ，故甲运动员的样本数据第75百分位数为9， （2）甲的平均数为， 方差为 乙的平均数为 方差为 （3）由（2）知：， 故乙发挥的更加稳定. 8．（24-25高一上·陕西·期末）甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击次，组委会从两人的成绩中各随机抽取次成绩（满分分），如下表所示： 甲射击成绩 乙射击成绩 (1)分别求出甲、乙两名运动员次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好? 【答案】(1)平均数均为，甲成绩方差为，乙成绩方差为 (2)甲运动员的射击成绩更好 【分析】（1）根据平均数和方差求法直接求解即可； （2）对比平均数和方差即可得到结论. 【详解】（1）甲运动员次射击成绩的平均数为； 乙运动员次射击成绩的平均数为； 甲运动员次射击成绩的方差为； 乙运动员次射击成绩的方差为； （2）甲、乙两名运动员的平均成绩相同，方差， 甲运动员的射击成绩更稳定，即甲运动员射击成绩更好. 9．（23-24高一上·全国·课后作业）为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如下图和下表所示（单位：mm）.        平均数 方差 完全符合要求的个数 A 20 0.026 2 B 20 5 根据测试得到的有关数据，试解答下列问题： (1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些； (2)计算出的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些； (3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由. 【答案】(1)B的成绩好些. (2)0.008，B的成绩好些 (3)可选派A去参赛，理由见解析 【分析】（1）从B同学完全符合要求的个数比A同学完全符合要求的个数多得到答案； （2）利用方差计算公式得到，与比较后得到结论； （3）A的成绩后来逐渐稳定，误差小，从而选A去参赛. 【详解】（1）因为A、B两位同学成绩的平均数相同，且B同学完全符合要求的个数比A同学完全符合要求的个数多，由此认为B的成绩好些； （2）∵， 且， ∴. 故在平均数相同的情况下，B的波动性小， ∴B的成绩好些； （3） 从题图中折线图走势可知，尽管A的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，可选派A去参赛． 题型二 总体估计的综合问题 1．（24-25高一上·四川·开学考试）今年，夕夕一家5个人的年龄分别为（单位：周岁）：6，32，34，55，58与4年前相比，下列说法正确的是（　　） A．平均数变大，方差变大 B．平均数变大，方差不变 C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差不变 【答案】B 【分析】根据平均数和方差计算公式分别计算即可. 【详解】4年前一家五口的岁数分别为2，28，30，51，54， 平均数为， 方差为； 今年一家五口的岁数分别为6，32，34，55，58 平均数为， 方差为； 则平均数变大，方差不变. 故选：B. 2．（24-25高一下·安徽六安·期末）某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（    ） A．168，35 B．168，20 C．169.6，35 D．169.6，20 【答案】A 【分析】先得到样本中的男生和女生人数，进而利用平均数和整体方差的求解公式进行计算. 【详解】男学生和女学生人数比例为， 故样本中男生人数为人，女生人数为人， 样本的平均数为， 样本的方差为. 故选：A. 3．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（    ） A．中位数不变 B．平均数不变 C．标准差不变 D．第三四分位数不变 【答案】AD 【分析】根据中位数、平均数、标准差及分位数的定义，对应原数据和去掉12和45后的数据做分析对比，即可得. 【详解】将原数据按从小到大的顺序排列为12，16，22，24，25，31，33，35，45，其中位数为25， 平均数是， 方差是， 由，得原数据的25%分位数是第3个数22， 由，得原数据的75%分位数是第7个数33． 将原数据去掉12和45，得16，22，24，25，31，33，35，其中位数为25， 平均数是， 方差是， 由，得新数据的25%分位数是第2个数22， 由，得新数据的75%分位数是第6个数33， 故中位数和25%，75%分位数不变， 又四分位数为25%，50%，75%分位数，50%分位数为中位数，故四分位数不变， 平均数与方差改变，即平均数与标准差改变． 故选：AD 4．（多选）（2025高一上·全国·专题练习）已知一组样本数据，下列说法正确的是（    ） A．该样本数据的60%分位数为 B．剔除某个数据：后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 C．若的平均数为2，方差为1，的平均数为6，方差为2，则的方差为5 D．若记录样本数据时，错把一个数据68写成88，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为1 【答案】BD 【分析】利用百分位数定义，极差公式，分层样本求总体的方差公式，平均数定义即可得解. 【详解】对于A，由于，所以样本数据的60%分位数为，因为，所以不一定等于．A错误； 对于B，若剔除某个数据，则得到新样本数据的极差等于原样本数据的极差；若剔除或，则得到新样本数据的极差小于原样本数据的极差.B正确； 对于C，设的平均数为，方差为，则，，所以的方差为.C错误； 对于D，假设未被误写的19个数据之和为，则，， 所以.D正确； 故选：BD. 5．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（    ） A．数据1， 3， 5， 7， 9， 11， 13的第60百分位数为7 B．若样本的平均数和方差分别为2和3， 则的平均数和方差分别为8和27 C．一组样本数据为7，12，13， 17，18，20，32，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 D．数据1，2，4，6，7的方差为 【答案】BD 【分析】对于A，根据百分位数的定义计算即得，对于B，利用平均数与方差的性质易得；对于C，通过计算该组数据的均值为17，考虑去掉17这个数据后均值不变即可判断，对于D，利用均值与方差计算公式计算即得. 【详解】对于A，因，则这组数据的第60百分位数为第5个数9，故A错误； 对于B，因样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数为，方差为，故B正确； 对于C，因样本数据7，12，13， 17，18，20，32的平均数为， 若去掉这个数据，则新的一组数据的平均数也是17，故C错误； 对于D，数据1，2，4，6，7的平均数为， 则方差为，故D正确. 故选：BD. 6．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本平均数； (2)试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 【答案】(1)，平均数为74分 (2)60分的同学的成绩没有进入到范围，80分的同学的成绩进入到范围了． 【分析】（1）由面积和为1可计算的值，由每组长方形中点值乘以频率可得平均数； （2）由方差的计算公式计算方差，再判断即可. 【详解】（1）由题意知，解得；     所以该次测试分数的平均数的为： (分)． （2）由频率分布直方图知 ， (分)，       (分)，(分)    ， 故得分为60分的同学的成绩没有进入到内，得分为80分的同学的成绩进入到了内． 即：得分为60分的同学的成绩没有进入到范围，得分为80分的同学的成绩进入到范围了. 7．（24-25高一下·山东聊城·期末）某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）； (2)从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差. 【答案】(1)，中位数为99分， (2)平均数为124分，方差为36 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再确定中位数所在区间，列式求解. （2）求出，利用分层抽样平均数、方差公式列式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图知，，解得； 由，， 得这400名学生数学成绩的中位数，由，得， 所以估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数为99分. （2）依题意，，解得， 设这6名学生的数学成绩分别为，，，，，136， 由这6名学生的数学成绩的平均数为126分，得， 解得，因此； 设，，，，的方差为，由这6名学生的数学成绩的方差为50， 得，解得， 所以所求学生数学成绩的平均数为124分，方差为36. 8．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）为推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识宣传活动，举办“网络防骗”知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图计算样本成绩的80%分位数； (3)若总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数样本方差分别为：m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则.已知在的平均数是65，方差是6，在的平均数是75，方差是3，求这两组样本的总平均数和总方差. 【答案】(1) (2)86 (3)， 【分析】（1）根据频率分布直方图中 所有矩形块面积和为1，列式计算得解； （2）根据百分位数定义利用频率分布直方图计算可得结果； （3）代入总体平均数和总体方差公式，即可求解. 【详解】（1）由，解得. （2）由题，成绩在的频率为， 在的频率为， 所以样本成绩的80%分位数在内，设样本成绩的80%分位数为， 则，解得， 所以样本成绩的80%分位数为86. （3）频率为，样本量，的频率为，样本量， 所以两组样本的总体平均数， 两组样本的总方差. 1．（2025高一上·全国·专题练习）设样本数据，，…，的平均数为，标准差为s，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据平均数与标准差的性质，结合已知条件可得，然后根据二次函数与指数函数的性质求解最大值． 【详解】样本数据，，…，的平均数为，标准差为， 则样本数据，，…，的平均数为，标准差为， 依题意有，得． 由，知在上单调递增， 当时，取到最小值， 所以， 即当时，取得最大值4． 故选：C． 2．（24-25高一下·湖北黄石·期末）为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)请根据样本数据估计，全校学生一周内的校志愿者活动平均时长为多少？ (3)学校现在准备对志愿者活动时长排在前10%的学生授予“志愿活动模范之星”的荣誉称号，根据样本数据估计，志愿者活动时长最少为多少分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”？ 【答案】(1)， (2) (3)325分钟 【分析】（1）由频率分布直方图的面积特征结合题意计算可得； （2）由频率分布直方图中平均数的计算可得； （3）由频率分布直方图计算第90百分位数可得. 【详解】（1）由图知：，， ， ，，， 由于，则； （2）平均时长为 分钟； （3）由题目可知即求样本数据的第90百分位数，由（1）可知 ，， 故第90百分位数落在第六组，由， 可算出第六组小长方形的高为， 假设第90百分位数为x，则有， 解得，故最少需要325分钟. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的21%，95%分位数． (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他9个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，78，77，89，且这10个数据的平均数，记这10个数据的方差为s²，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比． (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统．把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的，新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差． 参考数据：，，． 【答案】(1)76和95.5 (2) (3)27． 【分析】（1）先将所有用户评分按从小到大排列，再根据百分位数的定义求解； （2）根据平均数的计算公式求出丢失的数据，再计算方差，根据评分范围求解“A级”用户所占的百分比 （3）先列出新老系统各自的平均数和方差，再根据两组数据合并后的平均数与方差公式求解. 【详解】（1）将所有用户评分按从小到大排列 由题表可知这40个用户评分按从小到大排列如下：63，66，72，73，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，80，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，86，86，88，88，89，89，91，92，93，95，96，97． 因为，， 所以这40个用户评分的21%，95%分位数分别为第9个数据、第38个和第39个数据的平均数，分别为76，， 据此估计该地区所有用户评分的21%，95%分位数分别为76和95.5． （2）设丢失的数据为m，则， 解得． 所以． 由题意知评分在，即内的满意度等级为“A级”， 所以10个样本数据中评分在内的有5个， 故可估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比为． （3）设老系统的平均数与方差分别为，，新系统的平均数与方差分别为，，新老系统所有评分的平均数与方差分别为，，由题意知，，，． 因为老系统的总数据占两个系统所有数据总和的， 所以新老系统所有评分的平均数， 方差， 即新老系统所有评分的方差为27． 4．（24-25高一下·安徽合肥·期末）新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1及频率、频数的关系求解. （2）根据频率分布直方图求第70百分位数可得； （3）根据方差的求法，方差转化为，进而可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得物理测试成绩在的频率为 ， 频数为， 所以1800名学生中物理测试成绩在内的频数为270，补全频率分布直方图如图所示． （2）易得前两段频率之和为，前三段频率之和， 则有 满足，所以（分） （3）成绩在的频数为270人，， 成绩在的频数为540人，， 所以的学生成绩的平均值为， 由方差公式知，， 所以该班成绩的方差为： 所以的最大值为． 5．（25-26高一上·全国·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)，平均数约为74 (2)6人 (3)，36 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数的计算公式计算平均数即可； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【详解】（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得， 解得， 样本成绩的平均数约为． （2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 6．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 【答案】(1)数学、英语竞赛前10名分数的平均数分别为140、140；标准差分别为； (2)（i）正确的英语竞赛前10名分数的标准差为； （ii），，证明见解析. 【分析】（1）根据茎叶图给出的数据，利用平均数、标准差公式直接计算；（2）（i）由数学平均分的差异说明该同学正确的成绩应该是数学比英语多10分，找到可能的数据，利用标准差验证；（ii）给定线性转换公式，并验证. 【详解】（1）设数学、英语竞赛前10名的平均分分别为、，标准差分别为、， 则， ， （2）（i）因为正确的数学竞赛前名的平均分为，所以正确总分比错误的总分多了分， 所以该同学数学成绩与英语成绩相差分，由茎叶图，可能是英语132分数学142分统计反了；也可能是英语134分数学144分统计反了； 若英语132分数学142分，则； 若英语134分数学144分，则； 所以是英语132分数学142分统计反了. 所以英语正确的平均分， 英语正确分数的标准差； （ii）设转换公式为，则， 所以，将代入， 得，所以，， 即满足要求的线性转换公式为：，下面证明 因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是，标准差为， 则转换后的平均分； 因为， 所以转换后的标准差， 即转换公式满足条件得证. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $