4.6 函数的应用(二) 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教B版）

4.6　函数的应用(二) [课时跟踪检测] 1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是 (　　) A.y=2x B.y=2x-1 C.y=2x D.y=2x+1 解析：选D　分裂一次后由2个变成2×2=22个，分裂两次后变成4×2=23个，…，分裂x次后变成y=2x+1个. 2.有一组实验数据如下表所示： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 则能体现这些数据关系的函数模型是 (　　) A.u=log2t B.u=2t-2 C.u= D.u=2t-2 解析：选C　可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示. 由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t=3时，2t-2=23-2=6，排除选项B.故选C. 3.某市的房价(均价)经过6年时间从12 000元/m2增加到了48 000元/m2，则这6年间平均每年的增长率是 (　　) A.600元 B.50% C.-1 D.+1 解析：选C　设6年间平均年增长率为x，则有12 000(1+x)6=48 000，解得x=-1. 4.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/mL，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车 (　　) A.6 B.5 C.4 D.3 解析：选C　设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则60(1-25%)x<20，∴<，当x=3时，=>；当x=4时，=<；结合选项可知他至少经过4个小时才能驾驶汽车.故选C. 5.(2025·北京高考)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位：小时)，其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加 (　　) A.2小时 B.4小时 C.20小时 D.40小时 解析：选B　设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3， 由题意，T1=klog2106=6klog210， T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210)， T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210)， 因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20，所以k=2， 所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4， 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时. 6.已知一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于 (　　) A.lg B.lg C. D. 解析：选C　由题意得a(1-8%)t=，所以0.92t=0.5.两边取对数得lg 0.92t=lg 0.5.所以tlg 0.92=lg 0.5.故t=. 7.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则 (　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 解析：选ACD　因为Lp=20×lg随着p的增大而增大，且∈[60，90]，∈[50，60]，所以≥，所以p1≥p2，故A正确；由Lp=20×lg，得p=p01，因为=40，所以p3=p01=100p0，故C正确；假设p2>10p3，则p01>10p01，所以1>10，所以->20，由题中表格数据知不可能成立，故B错误；因为==1≥1，所以p1≤100p2，故D正确.故选ACD. 8.(5分)已知某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt，其中N0，λ为正常数.由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为　　　　.  解析：因为N=N0e-λt，所以=e-λt，两边取以e为底的对数，所以t=-ln. 答案：t=-ln 9.(5分)某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y=ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k=　　　　，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为　　　　.  解析：由题意知，当t=时，y=2，即2=，所以k=2ln 2，所以y=e2tln 2.当t=5时，y=e2×5×ln 2=210=1 024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024. 答案：2ln 2　1 024 10.(5分)衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为　　　　.  解析：由已知得a=a·e-50k，即e-50k==.所以a=·a=(e-50k·a=e-75k·a，所以t=75. 答案：75 11.(5分)“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t=-144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数.则当N=40时，t=　　　　　.(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)  解析：当N=40时，t=-144lg=-144lg =-144(lg 5-2lg 3)=-144(1-lg 2-2lg 3)≈36.72. 答案：36.72 12.(10分)我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量. (1)计算当燕子静止时的耗氧量是多少个单位?(5分) (2)当一只燕子的耗氧量是40个单位时，它的飞行速度是多少?(5分) 解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v=0，代入题中公式，可得0=5log2，解得O=10. 所以当燕子静止时的耗氧量是10个单位. (2)将耗氧量O=40代入题中公式， 得v=5log2=5log24=10(m/s). 所以当一只燕子的耗氧量是40个单位时，它的飞行速度是10 m/s. 13.(10分)某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为f(x)(单位：万元)，当年产量不超过14万件时，f(x)=x2+4x；当年产量超过14万件时，f(x)=17x+-80.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润g(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(4分) (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片?(6分) 解：(1)根据题意得，当0≤x≤14时，g(x)=16x-f(x)-30=-x2+12x-30， 当14<x≤35时，g(x)=16x-f(x)-30=50-x-， 故g(x)= (2)当0≤x≤14时，g(x)=-x2+12x-30，且当0≤x≤9时，g(x)单调递增，当9<x≤14时，g(x)单调递减，此时g(x)max=g(9)=-×81+12×9-30=24.当14<x≤35时，g(x)=50-x-≤50-2=10，当且仅当x=20时，等号成立. 因为24>10， 所以当x=9时，g(x)取得最大值24，即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片. 学科网（北京）股份有限公司 $