4.6 函数的应用(二)&4.7 数学建模活动：生长规律的描述-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

高中数学必修第二册人教B版 4.6函数的应用（二)& 4.7 数学建模活动：生长规律的描述 4.(多选题)如图所示是某受污染的湖 效果评价 泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量 1.某公司为适应市场需求，对产品结构 y与净化时间t（月)的近似函数关系y=d 进行了重大调整，调整后初期利润增长迅 (t≥0，>0且a≠1)的图象，则() 速，后期增长越来越慢.若要建立恰当的函 数模型来反映该公司调整后利润y与时间x 的关系，可选用( 2,9 A.一次函数 -- B.二次函数 1234 t/月 C.指数型函数 第4题图 D.对数型函数 A.第3个月有害物质的残留量是 27 2.已知函数1-14e1-1心的图象可 B.第4个月时，残留量就会低于 表示打字任务的“学习曲线”，其中t表示 达到打字水平N(字min)所需的学习时间， C.每月减少的有害物质的质量都相等 N表示打字速度（字min),则按此曲线要达 D.当残留量为上，上，1时，所经过 2’4’8 到90字min的水平，所需的学习时间是 的时间分别是t1,t2,t3,则t1+2=t3 ( 5.(多选题)江苏省高邮市素有“鱼米 A.144 min B.90 min 之乡”之称，高邮城西有风光秀丽的高邮 C.60 min D.40 min 湖，湖内盛产花鲢鱼.记花鲢鱼在湖中的游 3.某种产品今年的产量是a,如果保持 速为0s,花鲢鱼在湖中的耗氧量的单位 5%的年增长率，那么经过x年(x∈N),该 数为x,经研究发现，花鲢鱼的游速v与 产品的产量y满足() A.y=a(1+5%x) og10(≥100）成正比.经测定，当花链 B.y=a+5x 鱼的耗氧量为200单位时，其游速为)ms. C.y=a(1+5%)-l 则下列说法正确的有() D.y=a(1+5%)' 24)练 第四章指数函数、对数函数与幂函数。 A.=号g70(≥10) 经过一段时间t(min)后的温度是T,则有 B.当花鲢鱼静止时，耗氧量为100单位 T-=(T。-1),其中工表示环境温 C.当花鲢鱼的耗氧量为400单位时，其： 度，h称为半衰期且h=10.现有一杯用89℃ 游速为2ms 热水冲的速溶咖啡，放置在25℃的房间中 D.若某条花鲢鱼的游速提高了1ms,: 20min,求此时咖啡的温度是多少摄氏度， 则它的耗氧量的单位数是原来的2倍 如果要降温到35℃，共需要多长时间？ 6.在一次数学试验中，应用图形计算器 (参考数据：1g2≈0.301，结果精确到0.1) 采集到如下一组数据： -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 给出下列几个函数： ①y=a+bx;②y=a+b;③y=ax2+b;④y= ax 6 其中可以近似表示这些数据满足的规律 的是 7.某品牌笔记本电脑的成本不断降低， 若每隔4年价格就降低】，则现在价格为 3 8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降 为 元 8.有关数据显示，中国某行业产生的包 装垃圾在2020年约为400万吨，2021年的 年增长率为50%.有专家预测，如果不采取 措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长， 从 年开始，该行业产生的包装垃圾 将超过4000万吨.（参考数据：lg2≈03010，： 1g3≈0.4771) 9.物体在常温下的温度变化可以用牛顿 冷却规律来描述：设物体的初始温度是T。, 练（25 N 高中数学必修第二册人教B版 10.某公司对营销人员有如下规定：：区域安全着陆.嫦娥五号返回器之所以能达 ①年销售额x(万元)在8万元以下，没有： 到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹 奖金；②年销售额x(万元)，x∈[8,64]； 跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道 时，奖金为y万元，且y=logx,y∈[3,6]，： 调整，这与“打水漂”原理类似（如图所 且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x 示)·现将石片扔向水面，假设石片第一次 (万元)超过64万元，按年销售额的10%发 接触水面的速率为100ms,这是第一次“打 奖金 水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”， (1)求奖金y关于x的函数解析式； 每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若 (2)某营销人员争取奖金ye[4,10] 要使石片的速率低于60/s,则至少需要 (万元)，求年销售额x在什么范围内， “打水漂”的次数为（参考数据：取n0.6≈ -0.511,ln0.9≈-0.105)() 第11题图 A.4 B.5 C.6 D.7 12.(多选题)在某种金属材料的耐高 温试验中，温度y随着时间t变化的情况由 计算机记录后显示的图象如图所示.给出下 列说法，其中正确的有() Y/C t/min 第12题图 A.前5min温度增加的速度越来越快 提升练习 B.前5min温度增加的速度越来越慢 11.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号 C.5min以后温度保持匀速增加 返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定 D.5min以后温度保持不变 26)练N 高中数学必修第二册人教B版 天)，方案一的回报最高，故A说法正确； 投资4天，方案一的回报约为40×4=160（元），方 案二的回报约为10+20+30+40=100（元），都高于方案三 的回报，故B说法正确； 投资6天，方案一的回报约为40x6=240(元)，方 案二的回报约为10+20+30+40+50+60=210（元），都高 于方案三的回报，且方案一的回报最高，故C说法正确； 投资12天，明显方案三的回报最高，.此时采用 方案三，故D说法错误.故选ABC 5.BC【解析】在0to范围内，甲、乙的平均速度 都为=0，故A错误，B正确；在tt范围内，甲的 to 平均速度为”，乙的平均速度为 ,.S2-S0>51-50, t-to t-to r0.瓷>，放C正确，D猎误放选BC 6.33【解析】设区间为[a,a+1], 则A兰-3(a+1)+2(3a+2)-3. △x (a+1)-a 当自变量每增加1个单位时，函数值增加3个 单位. 7.子+1【解桥】若函数x)在任意区间内的平均 变化率均为号，则九x)为一次函数，设fx)=?+b. 函数f)的图象过点(2,2)，2=号×2+b, =I)=. 8.fx)》>g()>h(x)【解析】：Ag=a+l)2亡=2a+1, △x(a+1)-a Ae3)-3e-3.h In(as)-ina -In △x (a+1)-a (a+1)-a x1-3.I)-2ne 1<3,因此在区间[a,a+1](a>1)上，fx)的平均变化 率最大，h(x)的平均变化率最小. 9.解：(1)f(2)=2x3+1=7,g(2)=2x5-4=6,∴.f(2) >g(2). (2)令f(2+Ax)<g(2+△x),则3(2+△x)+1<5(2+△x)- 4,即20D1,解得△>7枚△的取值范围是A⊙7 10解：是=4 64 (a-1)1 3 3 Ar a-(a-1) 4, 又a<0, .Y-3x4-k3x40=3x4-3 △x Γ4 .函数f(x)在区间[a-l,a]上的平均变化率比 g(x)的小. 提升练习 11.D【解析】平均变化率为正说明盈利是增加的， 平均变化率变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的， 故选D. 12.C【解析】由题可知，h∈[0，H]时，S是减函 数，故A,B错误； 由图形阴影面积的变化趋势来看，函数减小的趋势 是变慢的，故选C >m4.6函数的应用（二）& 4.7数学建模活动：生长规律的描述 效果评价 1.D【解析】由题意分析，符合对数型函数的特点. 故选D. 2A【解析】由题意，把N90代人14g-高】 中，得-14g1-0)-14e品-14.放选A 3.D【解析】经过1年，y=a(1+5%),经过2年， y=a(1+5%)2,…,经过x年，y=a(1+5%.故选D. 4BD【解析】由于函数的图象经过点2，号，故 函数的关系式为y= 号当=3时，号多，放A 错误：当14时，)写，放B正确：当1时， 号，减少兮，当12时，=号，减少号，故每月诚少 的有害物质质量不相等，故C信误；分别令)=乃，冬， 日，解得有log学分，log子子le子8，+ 1 故D正确.故选BD. 5.AB【解析】花鲢鱼的游速，与1og1O0(x ≥100)成正比，设u=og00又：当x=200时，= 分，分10g70.解得k=子=分1og10x≥ 10),故A正确：当花鲢鱼静止时，即0，得0g10 =0,解得x=100,故B正确；当花鲢鱼的耗氧量为400 单位时，即=40，得=2oe0}1e41(ms. 故C错误；设花鲢鱼开始的游速为0，耗氧量的单位数 为o,则后来的速度为，设提速后的耗氧量的单位数为 ,m=t1=oe高+l-号bg+21og德， Γ2 又g高即e墙s高， 2 即耗氧量的单位数是原来的4倍，故D错误.故选AB】 6.②【解析】由题中表格数据画出函数的大致图 象，可知这些数据满足的规律近似于指数函数.故答案 是②. 7.2400【解标】12年后的价格可降为810x1-号月 2400(元). 8.2026【解析】设该行业生产的包装垃圾为y万 吨，n表示从2020年开始增加的年份的数量. 由题意可得y40x(1+509%)-400x3上 当)4000时，有3>10. 两边取对数可得n(1g3-lg2)>1, .∴.n(0.4771-0.3010)>1,解得>5.7..n∈N,.∴n=6, .从2026年开始，该行业产生的包装垃圾将超过 4000万吨. 9.解：由条件知，T0=89,T=25,t=20. 代入T-I(T-12, 得T-25=(89-25x分)昌，解得7-41℃： 如果要降温到35℃，则35-25-(89-25)×分★ 解得t≈26.8. 答：此时咖啡的温度为41℃，要降温到35℃，共 需要约26.8min. 10.解：(1)依题意知，y=ogx在x∈[8,64]上为 参考答案。 0,0≤<8， 1og8=3, 增函数，由题意得 -2,3=10g2,8≤x≤64， 1o0g64-6, 10,64 (2)由题易知x≥8. 当8≤x≤64时，要使y∈[4,10]，则4≤1ogx ≤10，.16≤x≤1024，.16≤x≤64 当64时，要使ye[4,10],则∈[4,10]，即 40≤x≤100，.64<x≤100 综上所述，当年销售额x在[16,100]（万元）内 时，奖金y∈[4,10]（万元）. 提升练习 11.C【解析】设石片第n次“打水漂”时的速率为 v,则v=100×0.90- 由100x0.90r<60,得0.90<0.6，则(-1)ln0.90<n0.6, 即n-1>n0.6≈-05=4.87，则心5.87，故至少需 n0.9 -0.105 要“打水漂”的次数为6.故选C 12.BC【解析】温度y关于时间t的图象是先凸后 平，即5min前每当t增加一个单位增量△t,则y相应的 增量△y越来越小，而5min后y关于t的图象是直线， 即温度匀速增加，则B,C正确.故选BC "阶段性练习卷（仁） 1.A【解析】根据基本初等函数的图象特征，故选A 2.D【解析】当x<0时，-x>0,∴f-x)=e*-1.又 f(x)为奇函数，∴f代x)=-f代-x)=-e+l.故选D. 192=e, 192=e, 3.C【解析】由题意，得 48=e24w 整理得 于是当=33时，ye-(e)p心=宁x192=24() 故选C 4.B【解析】[x]表示不超过x的最大整数，由 [t]=1得1≤t<2,由[2]=2得2≤<3，由[t]=4得4≤ 5,2≤tV5.由[t]=3得3≤t<4,.6≤<4V5.又 由[t]=5得5≤t<6,与6≤t<4V5矛盾，故正整数n 的最大值为4.故选B. 5.B【解析】在同一坐标系中作出函数=？)广与 65