4.3 指数函数与对数函数的关系 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教B版）

4.3　指数函数与对数函数的关系 [课时跟踪检测] 1.函数y=lox(x>0)的反函数是 (　　) A.y=，x>0 B.y=，x∈R C.y=x2，x∈R D.y=2x，x∈R 解析：选B　互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同. 2.已知函数f(x)=1+2lg x，则f(1)+f-1(1)等于 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：选C　根据题意，f(1)=1+2lg 1=1， 若f(x)=1+2lg x=1，解得x=1， 则f-1(1)=1， 故f(1)+f-1(1)=1+1=2. 3.已知函数f(x)=，则它的反函数y=f-1(x)的大致图象是 (　　) 解析：选C　由f(x)=，可得f-1(x)=log3x+1，所以图象为C. 4.(多选)关于函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)与函数g(x)=logax(a>0，且a≠1)说法正确的有 (　　) A.f(x)与g(x)互为反函数 B.f(x)与g(x)的图象关于原点对称 C.f(x)与g(x)必有一交点 D.f(x)与g(x)的图象关于y=x对称 解析：选AD　f(x)=ax(a>0，a≠1)与函数g(x)=logax(a>0，a≠1)是互为反函数，图象关于y=x对称，故A、D正确；f(x)与g(x)的图象不关于原点对称，故B错误；当a>1时，f(x)与g(x)没有交点，故C错误. 5.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a等于 (　　) A. B.2 C. D. 解析：选A　因为点在y=f(x)的图象上， 所以点在y=ax的图象上，则有=， 即a2=2.又因为a>0，所以a=. 6.已知函数f(x)与g(x)=ex互为反函数，函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称.若h(a)=1，则实数a的值为 (　　) A.-e B.- C. D.e 解析：选C　∵函数f(x)与函数g(x)=ex互为反函数，∴f(x)=ln x. ∵函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称，∴h(x)=-ln x. ∵h(a)=1，∴a=.故选C. 7.已知a，b均为不等于1的正数，且满足lg a+lg b=0，则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logb x的图象可能是 (　　) 解析：选B　法一：∵lg a+lg b=0，∴ab=1. ∵g(x)=-logbx的定义域是(0，+∞)，∴排除A；若a>1，则0<b<1，此时f(x)=ax是增函数，g(x)=-logbx是增函数；若0<a<1，则b>1，此时f(x)=ax是减函数，g(x)=-logbx是减函数.结合图象知选B. 法二：∵lg a+lg b=0，∴ab=1，即b=， ∴g(x)=-lox=logax，∴f(x)与g(x)互为反函数，图象关于y=x对称，故选B. 8.(多选)已知函数f(x)=ax(a>1)，其反函数为y=f-1(x)，实数t满足f-1(t)<1-t<f(t)，则t的值可以是 (　　) A.-1 B. C. D. 解析：选BC　∵函数f(x)=ax(a>1)，∴反函数为y=f-1(x)=logax， 又实数t满足f-1(t)<1-t<f(t)， ∴logat<1-t<at，a>1，当t≤0时，显然不符合题意；当0<t<1时，logat<0，0<1-t<1，at>1，logat<1-t<at，∴0<t<1符合题意；当t=1时，logat=0，1-t=0，at=a，不符合题意；当t>1时，logat>0，1-t<0，at>a，不符合题意，故t的取值范围为(0，1). 9.(5分)设函数f(x)=log2x+3，x∈[1，+∞)，则f-1(x)的定义域是　　　　.  解析：f-1(x)的定义域为f(x)的值域， ∵x≥1，∴log2x≥0，∴log2x+3≥3， ∴f-1(x)的定义域为[3，+∞). 答案：[3，+∞) 10.(5分)已知函数f(x)与函数g(x)=lox的图象关于直线y=x对称，则函数f(x2+2x)的单调递增区间是　　　　.  解析：由题意得f(x)=，∴f(x2+2x)=.∵f(x)在R上是减函数， ∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调递增区间即为t=x2+2x的单调递减区间，即(-∞，-1]. 答案：(-∞，-1] 11.(5分)已知函数y=f(x)的定义域是[-1，1]，其图象如图所示，则不等式-1≤f-1(x)≤的解集是　　　　.  解析：由题意，可得-1≤f-1(x)≤的解集即为f(x)在上的值域. 当-1≤x<0时，由题图可知f(x)∈[-2，0)， 当0≤x≤时，由题图可知f(x)∈， 故不等式-1≤f-1(x)≤的解集为[-2，0)∪. 答案：[-2，0)∪ 12.(5分)已知函数y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=3x-1，设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=　　　　.  解析：当x<0时，-x>0，∴f(-x)=3-x-1. 又f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)， ∴f(x)=-3-x+1， ∴f(x)= 又由y=f(x)与y=g(x)互为反函数，可知求g(-8)即求f(x)=-8时的x. 当x≥0时，f(x)=-8，即3x-1=-8， ∴3x=-7<0无解.当x<0时，f(x)=-8， 即-3-x+1=-8， ∴x=-2，即g(-8)=-2. 答案：-2 13.(10分)已知函数f(x)=2x的反函数为f-1(x). (1)若f-1(x)-f-1(1-x)=1，求实数x的值；(3分) (2)若关于x的方程f(x)+f(1-x)-m=0在区间[1，2]内有解，求实数m的取值范围.(7分) 解：(1)由题意可得f-1(x)=log2x(x>0)， 所以log2x-log2(1-x)=1⇒log2=log22，所以=2，所以x=. (2)由f(x)+f(1-x)-m=0，可得m=2x+，令t=2x∈[2，4]， 所以m=t+. 令g(t)=t+， 所以当t∈[2，4]时，函数g(t)为增函数. 所以函数g(t)的最小值为3，最大值为. 所以实数m的取值范围为. 14.(10分)设函数g(x)=log3x，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y=x对称. (1)求y=f(x)的解析式；(4分) (2)是否存在实数m>0，使得对∀x∈R，不等式2m-3<mf(x)恒成立?若存在，求出m；若不存在，说明理由.(6分) 解：(1)因为函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y=x对称， 所以f(x)与g(x)互为反函数， 因为g(x)=log3x，所以f(x)=3x. (2)不等式2m-3<mf(x)恒成立，即2m-3<m·3x恒成立， 令t=3x(t>0)，则关于t的不等式2m-3<mt，即mt-2m+3>0在(0，+∞)上恒成立， 令h(t)=mt-2m+3，t∈(0，+∞)， 因为m>0，所以h(t)在(0，+∞)上单调递增，依题意只需h(0)=-2m+3≥0，解得m≤， 所以0<m≤.故m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $