4.3 指数函数与对数函数的关系-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.3 指数函数与对数函数的关系 7.设P(3,1)为二次函数f(x)=ax2-2a 效果评价 +b(x≥1)的图象与其反函数y=∫-1(x)的图 L.若函数y=f代x)是函数y=m(a>0且a≠象的一个交点，则a= ,b= 1)的反函数，且f(2)=1,则f(x)=( 8.若函数f(x)=logx(a>0且a≠1)满 A.logx B品 足f27)=3,则f1(1og2)= 9.已知fx)=log(a-1)(a>0且a≠1). C.logx D.22 (1)求fx)的定义域； 2.若函数yf(x)的反函数的图象过点： (2)讨论f(x)的单调性； (1,5),则函数yf(x)的图象必过点() (3)解方程：f(2x)=f(x) A.(1,1) B.(1,5) C.(5,1) D.(5,5) 3.若函数y=logx的定义域为(0，+∞)， 则其反函数的值域是() A.(0,+∞)》 B.R C.(-∞，0) D.(0,1) 4.(多选题)已知函数f(x)=logx(a>0 且a≠1)的图象经过点(4,2)，则下列说法 中正确的有() A.函数f(x)为增函数 B.函数fx)为偶函数 C.若x>1,则fx)>0 D.函数f(x)的反函数为g(x)=2 5函数y=本(x≠-1)的反函数是 A=产x≠I)B.=x≠I) C=(x≠0)D.=1是（≠0） 6.已知f八x)=2+b的反函数为f(x),若 yf(x)的图象过点Q(5,2),则b= 练(15 N 高中数学必修第二册人教B版 10.实数x,y满足x+nx=8,y+e=8,求 提升练习 x+y的值. 11.(多选题)已知函数f代x)在其定义域 内单调递增，且f1)=-1,若f代x)的反函数为 (x),则() A.f(-1)=1 B.f(x)在定义域内单调递增 C.f(1)=1 D.f(x)在定义域内单调递减 12.设x1,2分别是函数f八x)=x-*和g(x) =xlog-1的零点（其中a>1),则x2= 16)练N 高中数学必修第二册人教B版 2.ACD【解折】)-g货6≠0，xeR)的定 义域为(-∞，0)U(0,+∞)，关于原点对称，且满足f-x) f(x),∴.函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故 A是真命题； 当0时，fx)g话g+士，令e+士 则f(t)=lg,由对勾函数的性质可知t(x)在(0,1]上是 减函数，在[1，+∞)上是增函数，又ft)=gt在定义 域上是增函数，由复合函数的单调性可知，f(x)在 (0,1]上是减函数，在[1，+∞)上是增函数，故B是 假命题： 当>0时，+≥2（当且仅当x=1时取等号），又 fx)是偶函数，∴函数f代x)的最小值是lg2,故C是真命题； 当x∈(0,1)时，f(x)是减函数，当x∈(1，+∞) 时，f(x)是增函数，又f(x)是偶函数，其图象关于y轴 对称，.当-1<x<0或x>1时，f(x)是增函数，故D是真 命题.故选ACD. "4.3指数函数与对数函数的关系 效果评价 1.A【解析】y=d的反函数为f代x)=ogx,又f(2)= 1,.1=log2,∴.a=2,f代x)=log2x.故选A. 2.C【解析】原函数的图象与它的反函数的图象关 于直线y=x对称，y=f(x)的反函数的图象过点(1,5)， 而点(1,5)关于直线y=x的对称点为(5,1)，∴.函数 yf(x)的图象必过点(5,1).故选C. 3.A【解析】由原函数与反函数的关系知，反函数 的值域为原函数的定义域.故选A 4.ACD【解析】由题意得2=log4,解得a=2,故 f代x)=logx,则f(x)为增函数且为非奇非偶函数，故A正 确，B错误；当x>1时，f(x)=log>logl=0成立，故C 正确；f(x)=logx的反函数为g(x)=2,故D正确.故选 ACD. 5.A【解折】厂4y+1)==六y,互换x, 有)产红.故选A 6.1【解析】由f-(x)的图象过点Q(5,2), 得f(x)的图象过点(2,5)，即2+b=5,解得b=1. 60 7.弓各【解析】由原函数与反函数的关系知， (3,1)关于直线y=x的对称点(1,3)也是已知二次函 1 9a-6a+b=1, a-2’ 数图象上的点， 解得 a-2a+b=3, 5 8.V2【解析】f27)=3,og27=3,解得a=3. f(x)=logw,f(x)=3,.f(log2)=3=3l0g,V2= V2. 9.解：(1)要使函数fx)有意义，必须满足a-10, 当a心1时，>0；当0<a<1时，x<0. .当心l时，fx)的定义域为(0，+∞)； 当0<a<1时，f(x)的定义域为(-∞，0. (2)当a>1时，任取1,2，且0<c1<2,则1<a <d,故0<d-l<a-l, .log.(a"-1)<log.(a"-1),..f(x)<f(x2). 故当a心1时，fx)在(0，+∞)上单调递增； 类似地，当0<a<1时，x)在(-∞，0)上单调递增. (3)令=log(心-1)，则a=d-1, .∴x=log(a+1),∴.f(x)=log(a'+1). 由f(2x)f(x)，得log.(a2-1)=1og(d+1), ∴.2-1=d+1,解得d=2或d=-1(舍去)，.x=log2 10.解：由x+lnx= 8,得lnx=8-x,由y+ e=8,可得e=8-y,在 同一平面直角坐标系 中作出直线y=8-x及函 y=lnx 数y=nt,y=e的图象， 如图所示，联立y=8-x 第10题答图 与y=x,解得==4，.点C的坐标为(4,4). 方程x+nx=8的根可视为直线y=8-x与函数y=lnx 图象的交点B的横坐标. 方程y+e-8的根可视为直线y=8-x与函数y=e图象 的交点A的横坐标 由图象可知，点A,B关于直线y=x对称，因此， x+y=8. 提升练习 11.AB【解析】由反函数的性质可知，f(-1)=1, 且f(x)在定义域内单调递增.故选AB. 12.1【解析】x,2分别是函数f(x)=-a和g(x) =0gx1的零点，则，分别是和1ogx=的 解，，分别是函数y=上与函数y=和函数y=log 交点的横坐标，交点分别为A国，，Be, a心1,0<x<1,x2>1.由于函数y=d与函数y=og 的图象关于y=x对称，函数y=1的图象也关于y=x对 称，点A与点B关于y=x对称 4,关于x对称的点的坐标为品刻， =，即=1 >"阶段性练习卷（一) 1.B【解析】al0g4=2,∴.a=210g43=l0g23,.4=2 =2-2=2寸号故选B. 2.D【解析】已知f(x)=log(x+Vt+I),f(-x)= log(-x+Vx2+1),则f(x)+f-x)=0,函数f(x)在定义域 内为奇函数，f(x)的最大值为M,则最小值m=-M,则 M+m=0.故选D. 3.C【解析1x)在R上是奇函数，a寸og兮） flog:写flog5).又~fx)在R上是增函数，且 log5>log4.1>log4=2>2,.f(1og5)>f(1og24.1)>f(2), 即a>b>C,故选C. 4B【解折】设器，则-) 2+2 2x23 242=-x),fx)是奇函数，图象关于原点成中心 对称，排除C又4)器0，排降D:0源 ≈7，排除A故选B. 5.D【解析】fx)=lnl2x+1-nl2x-1川的定义域为 ≠±引，又-)=x,f)为奇函数，排除 A,C:当xe-0,-2时，fx)n(-2-1)-n(1-2x) -12品令品在，号上 参考答案⊙ 单调递减，f)m在-0，上单调递增，∴x)在 ,上单调递减放选D 6.C【解析】设(x,y)为y=fx)图象上任意一点， 则(-y,-x)在y=2图象上，所以有-x=2,从而有 -y+a=logz(-x),.y=a-logz(-x),f(x)=a-logz(-x), :f(-2)+f-4)=(a-log2)+(a-log4)=(a-1)+(a-2)=1,解 得a2.故选C. 7.AB【解析】（分广+8宁+2020-24+1-7，A正确； 2lg5+lg4-5e2=lg25+lg4-2=lg100-2=2-2-0,B正确； logz(loga0(.5)=logl=0,C错误； (Va-I)P+V(1-a下=a-1+a-1=2a-2,D错误.故选 AB. 8BC【解折1fx)-产+-l=a+户子，若a心l, 则当x=1时心最大，此时fx)取得最大值，即f1)=19, a4a-1=19,解得a=4或a=-5(舍去)，故a=4; 若0<a<1,则当x=-2时d最大，此时f(x)取得最 大值，即f-2)=19,a4+a2-1=19,解得a2=4或a2=-5 (舍去)，故a=?.故选BC. 9.号【解析】：log4-log8 -1ogm=-n。,由换底公 式可得器·器器-小.em-g3.故m号 10.1【解析】函数e)的定义城为R,又 x)为奇函数，0)=0，即3-0，a=-1. 30+1 11.7【解析】f(x)的反函数的图象经过点(3,1)， ∴.函数f(x)=og2(x+a)的图象经过点(1,3)，log2(1+ a)=3,解得a=7. 12.(0,1)U1,之【解析】原问题等价于fx)归 2a与g(x)=ld-3引(a>0且a≠1)的图象有两个不同的 交点 当a心1时，如图1所示. (61