精品解析：河南省焦作市2026届高三第一次模拟测试数学试题

2026年高三年级第一次模拟测试数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知全集，集合，则的非空真子集的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知在中，，则的外接圆半径为（ ） A. 2 B. C. D. 3 4. 设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆的半径为2，直线与圆相交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 6 （ ） A B. C. D. 7. 已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 2 8. 已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于直线对称 C. 当时，的取值范围是 D. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 存在点，使得 D. 的最小值为2 11. 某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（ ） A. 该几何体可能三棱锥 B. 该几何体可能是四棱柱 C. 用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱 D. 用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义域为奇函数，且以1为周期，则在区间内至少有___________个零点． 13. 已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 14. 有5个小朋友进行换座位游戏，他们分别坐在编号为1~5的5个座位上，每一轮游戏开始后，5个小朋友重新选座位，要求第号座位上的小朋友坐到第号座位上，其中是定义域和值域均为的函数，且每轮游戏中每个小朋友只选一次座位．若经过30轮游戏后，每个小朋友的座位与最初一样，则满足条件的函数有___________个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中有8个红球、2个黄球，乙袋中有9个红球、3个黄球． （1）若从甲袋中随机一次性取出2个球，其中红球的个数为，求的分布列与数学期望； （2）先从甲、乙两个袋子中任选一个袋子，再从所选的袋子中随机一次性取出2个球，若已知取出的2个球都是红球，求这2个球来自乙袋的概率． 16. 已知数列和的各项均为正数，且满足：． （1）若，求； （2）设，数列的前项和为，对任意两个正整数，试比较与的大小． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点在棱上，且平面与平面夹角余弦值为，请确定点的位置． 18. 过抛物线的焦点作直线，交于两点，交轴于点，记过点且垂直于的直线为． （1）证明：直线与相切； （2）若，记直线与的切点为，求面积的最小值． 19. 已知函数． （1）证明：仅有一个极值点； （2）若有两个极值点，求的取值范围； （3）记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三年级第一次模拟测试数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以，则的虚部为. 2. 已知全集，集合，则的非空真子集的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】由，，得， 所以的非空真子集的个数为. 3. 已知在中，，则的外接圆半径为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理可求出，进而求出，再利用正弦定理即可求得答案. 【详解】由于在中，， 故，即， 故，结合，得， 故的外接圆半径为. 4. 设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】令等比数列的公比为，则， 因此，数列是等比数列，即； 令，，，即数列是等比数列， 令，则，显然，数列不是等比数列， 所以是的充分不必要条件. 5. 已知圆的半径为2，直线与圆相交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助余弦定理可计算出，再利用平面向量数量积公式计算即可得. 【详解】， 则. 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 . 7. 已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】法一：设，，利用双曲线定义与余弦定理可计算出，再利用面积公式计算即可得解；法二：利用双曲线焦点三角形面积公式计算即可得. 【详解】法一：设，，则由双曲线定义可得， ，则， ，即， 则，故. 法二：由双曲线焦点三角形面积公式可得. 8. 已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】时，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，时，，故， 当时，单调递增，且， 画出的图象如下： 方程恰有2个实根，即与有2个交点， 则，则实数的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于直线对称 C. 当时，的取值范围是 D. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 【答案】AD 【解析】 【详解】函数可化简为. 对于A，，A正确； 对于B，对称轴满足，解得，而不在对称轴上，B错误； 对于C，当时，令， 而，即， 故的值域不为，C错误； 对于D，将的图象向左平移个单位长度，得，与相同，D正确. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 存在点，使得 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【详解】椭圆的长短半轴长分别为，半焦距， 焦点，设点，， 对于A，椭圆的离心率为，A正确； 对于B，在中，，则的面积，B正确； 对于C，由，得以线段为直径的圆与椭圆无公共点， 因此不存在点，使得，C错误； 对于D，，则， 当且仅当时取等号，D正确. 11. 某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（ ） A. 该几何体可能是三棱锥 B. 该几何体可能是四棱柱 C. 用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱 D. 用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱 【答案】AC 【解析】 【分析】先明确各选项中几何体的表面三角形数量特征：因为三棱锥表面有4个三角形面，所以先分析8块全等三角形能否拼接成三棱锥；分析四棱柱的表面构成：因为四棱柱表面是4个四边形和2个多边形底面，若要由三角形拼接，需将四边形面拆分为三角形，结合8块全等三角形的条件，判断是否可行；针对三棱柱的拼接，分别考虑等腰三角形和直角三角形的情况：若用等腰三角形拼接三棱柱，需考虑三棱柱的面的数量和形状匹配度；若用直角三角形拼接，需结合直角三角形的特性，分析能否对应三棱柱的面的拼接需求. 【详解】对于A，可用两块含角的直角三角形薄板拼成一块等边三角形薄板， 像这样得到4个等边三角形，即可拼成正四面体（三棱锥），A正确； 对于B，四棱柱一共有6个面，每个面都是四边形，至少需要12个三角形才能得到，故B错误； 对于C，如图，先用6个等腰三角形（腰为a，底为b）拼成三棱柱的三个侧面， 要构成三棱柱，将平行四边形和分别沿和折起， 必须使A与G重合，B与H重合，只要取合适的值，使侧面展开图中垂直即可， 实际上，当时，， 在中，， 则， 则，即可得，即此时即可满足题意，C正确； 对于D，由C的分析可知等腰三角形不符合题意，故考虑非等腰的直角三角形， 设三角形三边长为，同样先考虑侧面，需要6个直角三角形，假设三棱柱的侧棱为a， 因为每个侧面有两条边为侧棱，所以这6个直角三角形的a边都为侧棱， 则棱柱的上、下底面就不可能出现a边，因此直角三角形不符合条件，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义域为的奇函数，且以1为周期，则在区间内至少有___________个零点． 【答案】9 【解析】 【详解】为上的奇函数，所以，因为函数周期为1， 所以， 又由，且， 可得，即函数关于中心对称，则， 所以函数在区间内至少有9个零点． 13. 已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】分别设出两曲线的切点，并写出切线方程，因为公切线，对应斜率以及截距相等得到等式进行消元求解即可. 【详解】设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 因为是公切线，所以，解得 所以 所以在轴上的截距为 14. 有5个小朋友进行换座位游戏，他们分别坐在编号为1~5的5个座位上，每一轮游戏开始后，5个小朋友重新选座位，要求第号座位上的小朋友坐到第号座位上，其中是定义域和值域均为的函数，且每轮游戏中每个小朋友只选一次座位．若经过30轮游戏后，每个小朋友的座位与最初一样，则满足条件的函数有___________个． 【答案】 【解析】 【详解】因为的定义域和值域均为，所以其自变量和函数值是一一对应的， 满足该条件的函数个数为． 根据题中换座位的规则，我们把只在内部循环的若干个座位称为一个＂圆圈＂， 比如，若，， 那么第1,2,3号座位上的小朋友都只会按照轮换座位， 这就形成3个人的圆圈，其余同理， 最多有5个人的圆圈，最少只有1个人的圆圈（即存在，满足，表示号座位上的小朋友总是保持不动）． 容易发现，个人的圆圈，最少经过轮游戏恰好与最初一样． 每一个都能把5个人拆成若干个圆圈（圆圈人数和5，如）， 要想经过30轮游戏，5个人的座位都与最初一样，必须每个圆圈的人数都是30的约数． 只有这种组合中，4不是30的约数，故排除， 因为个数排成一个圆圈，有种情况， 故需要排除的的个数为． 综上，符合条件的的个数为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中有8个红球、2个黄球，乙袋中有9个红球、3个黄球． （1）若从甲袋中随机一次性取出2个球，其中红球的个数为，求的分布列与数学期望； （2）先从甲、乙两个袋子中任选一个袋子，再从所选的袋子中随机一次性取出2个球，若已知取出的2个球都是红球，求这2个球来自乙袋的概率． 【答案】（1） 0 1 2 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，的所有取值为，分别求出对应的概率即可得到分布列，再根据期望的公式求解即可； （2）设事件为“选中乙袋”，事件为“从袋子中随机一次性取出的2个球都是红球”，根据全概率公式先求得，再根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，的所有取值为， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 则. 小问2详解】 设事件为“选中乙袋”，事件为“从袋子中随机一次性取出的2个球都是红球”， 由题意得，， 则， 所以. 16. 已知数列和的各项均为正数，且满足：． （1）若，求； （2）设，数列的前项和为，对任意两个正整数，试比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干联立两个式子可证明数列为等差数列，然后根据等差数列通项公式即可求解； （2）利用等差数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为和的各项均为正数，， 所以，， 代入可得， 两边同除以可得，所以数列为等差数列， 令得，，，把 代入方程组解得， 所以其公差为，所以. 【小问2详解】 由（1）可知数列为等差数列，设其公差为， 则， ， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 【答案】（1）先证平面，结合面面垂直的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设，，再分别求出平面和平面的法向量，列方程求解即可． 【解析】 【小问1详解】 底面，底面， ， 又，且，平面， 平面，又平面， 平面平面； 【小问2详解】 由（1）知平面，又平面， ，，， 又底面， 故以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ，，， 则， 设， 则， 设平面的法向量为，， 则，令，则， 设平面的法向量为，， 则，令，则， 平面与平面夹角的余弦值为， ， 整理得：， 解得或（舍去）， 因此，点为靠近的三等分点． 18. 过抛物线的焦点作直线，交于两点，交轴于点，记过点且垂直于的直线为． （1）证明：直线与相切； （2）若，记直线与的切点为，求面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，可得，进而得到直线的方程为，联立直线与抛物线方程，验证即可求证； （2）先求出，结合弦长公式及点到直线的距离公式表示出，令，可得，设，进而利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，得，显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，令，得，即， 因此直线的方程为， 联立，得， 则，又，则直线与相切 【小问2详解】 当时，抛物线， 直线的方程为，直线的方程为，， 联立，解得，则， 联立，得，设， 则， 所以， 点到直线的距离即为 则， 令，则，设， 则， 令，得，令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则的最小值为. 19. 已知函数． （1）证明：仅有一个极值点； （2）若有两个极值点，求的取值范围； （3）记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，进而求解即可； （2）求导，分、两种情况，结合极值点的定义求解即可； （3）转化任意的恒成立为恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而得到，设，可得，设，利用导数分析其单调性，进而求证即可. 【小问1详解】 由，得， 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又，， 则存在，使得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则仅有一个极值点. 【小问2详解】 由，，得， 设，则， 当时，，则函数在上单调递减， 则最多只有1个根，不符合题意； 当时，令，得，令，得， 则函数上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，时，， 要使有两个极值点，需使， 又，则得，即. 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 由题意，对任意的恒成立， 即，设，则， 因为，由（2）知，函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 又，时，， 则存在，使得，即， 当时，，当时，， 所以函数上单调递增，在上单调递减， 则， 即，所以， 设，则，即，， 所以，设， 则， 令，得， 由（1）知该方程当且仅当，即时等号成立，即， 则有唯一零点，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $