专题01 中位线（5大知识点+6大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦初中数学中位线专题，系统梳理三角形中位线（定义、定理及平行且等于第三边一半的性质）、梯形中位线（定义、定理及平行两底且等于两底和一半的性质）、中点四边形性质（由原四边形对角线决定形状）及四种构造中位线的方法，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以分层题型（基础必考、培优高频、压轴素养）设计为特色，融入实际测量情境题（如测量池塘两端距离），培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过构造中位线方法总结（如倍长线段法）提升推理思维，易错点分析助力课后查漏补缺，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固知识难点。

专题01 中位线 知识点1：三角形中位线的定义与定理 1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。一个三角形有三条中位线，中位线与中线不同（中线连接顶点和对边中点）。 2.核心定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在中，若、分别为、的中点，则，且。 知识点2：三角形中位线的常用性质 1.三条中位线围成的新三角形，周长为原三角形周长的，面积为原三角形面积的。 2.三角形的一条中线与相交的中位线互相平分。 3.中位线可实现线段的倍分转化和角的平移，是连接线段平行与数量关系的重要桥梁。 知识点3：梯形中位线的定义与定理 1.定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。 2.核心定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。 几何语言：在梯形中，，、分别为、的中点，则，且。 知识点4：构造三角形中位线的常用方法 构造方法 适用条件 操作要点 直接连接两点 已知三角形两边中点 直接连接中点，形成中位线 倍长线段法 已知一边中点，无其他中点条件 延长过中点的线段至等长，连接端点构造全等三角形，衍生中位线 角平分线+垂直构造 已知角平分线且有垂直于角平分线的线段 延长垂线与角的另一边相交，交点与顶点的中点连线即为中位线 取中点构造 已知一个中点，需另一个中点 在已知线段上取中点，连接两个中点形成中位线 知识点5：中点四边形的性质 1.定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形。 2.核心结论：任意四边形的中点四边形为平行四边形； 若原四边形对角线相等，中点四边形为菱形； 若原四边形对角线互相垂直，中点四边形为矩形； 若原四边形对角线相等且垂直，中点四边形为正方形。 【基础必考题型】 【题型1】三角形中位线定理的直接求值 1.核心知识点 三角形中位线的定义与核心定理；线段的倍分计算。 2.解题方法技巧 先识别题目中的“中点”条件，确定中位线对应的第三边；直接套用定理进行计算，注意区分中位线和中线。 【例题1】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，D，E分别是的中点．若，则的长为_______． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键． 利用中位线的性质计算即可． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：10． 【变式题1-1】.（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，分别是边，的中点，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是解题的关键． 根据三角形中位线的判定，确定是的中位线，再利用中位线定理求的长度． 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式题1-2】.（湖南明德学校第一中学教育集团2025-2026学年八年级下学期3月学情质量监测数学试题）如图，在菱形中，E、F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（    ） A．32 B．24 C．16 D．12 【答案】A 【分析】根据中位线定理得出，进而根据菱形性质求出菱形周长． 【详解】解：∵E、F分别是的中点，， 是的中位线， ， 在菱形中，， 则菱形的周长为． 【变式题1-3】.（2026·湖南衡阳·一模）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【答案】 【分析】根据中位线定理得到，即可求解． 【详解】解：由题可得：、为、的中点， 是的中位线， ， ， ． 【题型2】中点四边形的形状判断 1.核心知识点 中点四边形的定义；三角形中位线定理；特殊平行四边形的判定。 2.解题方法技巧 连接原四边形的对角线，利用中位线定理证明中点四边形的对边平行且相等，先判定为平行四边形；再根据原四边形对角线的“相等”或“垂直”条件，判定为菱形、矩形或正方形。 【例题2】.（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，顺次连接四边形各边中点，，，，得到的四边形是平行四边形吗？为什么？ 【答案】四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】连接，利用三角形中位线定理证明，进而即可得出结论. 【详解】解：四边形是平行四边形， 理由：连接， 点、是、的中点， 是△的中位线； ，； 同理：，； ， 四边形是平行四边形． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·广东广州·月考）如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理证明四边形是菱形，四边形和四边形是矩形，再根据菱形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 矩形， ，，，，，， 分别为矩形四条边的中点， 分别是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， ，，， 四边形是矩形， 同理可证，四边形是矩形， ，， 菱形的面积． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   【答案】3 【分析】此题考查的是三角形的中位线定理，根据三角形中位线定理可得菱形，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，取四边的中点，依次连接起来，设与交点M， ∴是的中位线， ，， 同理， ，，， ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 较短的“中对线”长度为． 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·江苏南通·期末）求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，连接，由三角形中位线定理得出，且，同理，，且，从而得出，，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】已知：如图，四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形． 证明：连接， ∵是边的中点，是边的中点， ∴，， ∴，且， 同理，，且， ∴，， 四边形是平行四边形． 【题型3】梯形中位线的基础计算 1.核心知识点 梯形中位线的定义与定理；梯形的底边长与周长计算。 2.解题方法技巧 确定梯形的两底长度，直接套用梯形中位线公式；若已知中位线和一底，可逆向求另一底的长度。 【例题3】.（2026八年级下·江苏·专题练习）如果梯形一底边为6，中位线长为8，那么另一底边长为___． 【答案】10 【分析】本题考查梯形的中位线定理，掌握知识点是解题的关键． 根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”进行计算即可． 【详解】解：设梯形的另一底边长为b，由中位线定理，得 ， 解得 ． 故答案为：10． 【变式题3-1】.（24-25八年级下·上海·期末）如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则_________． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，根据中位线的长得到，根据角的直角三角形得到，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ∴ 梯形的中位线长为3， ， ， ， 在梯形中，， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·上海·月考）如图，在梯形中，，点、分别是腰、的中点，若，，那么_____． 【答案】4 【分析】本题考查了梯形的中位线定理，解题关键是掌握梯形的中位线定理． 根据梯形的中位线定理，先得出，再将已知线段代入求值． 【详解】解：∵在梯形中，，点、分别是腰、的中点， ∴， ∵，， ∴，解得：， 故答案为：4． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·山东淄博·月考）知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）中，是的中位线，连接．则与的数量关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点M，N分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ： 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，与三角形中位线有关的证明，梯形中位线定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先说明是的中位线，再根据三角形的中位线定理得出结论即可； 【详解】（2）先证明，从而可得，，于是有，再根据三角形的中位线定理得出，从而可得； （3）根据梯形的面积公式，结合（2）中的结论求解． （1）解：∵点E是边的中点，点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． （2）， 理由：如图（2），连接并延长交的延长线于点E， ∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）∵梯形的中位线长为，高为， ∴（）， 故答案为：． 【培优高频题型】 【题型4】简单构造中位线解决线段关系问题 1.核心知识点 构造三角形中位线的方法（直接连接/取中点）；中位线的平行与倍分性质。 2.解题方法技巧 观察题目中的“中点”条件，若仅有一个中点，在相关线段上取另一个中点，连接两个中点构造中位线；利用中位线的平行性证明线线平行，利用倍分性证明线段的和差、倍分关系。 【例题4】.（24-25八年级下·新疆喀什·月考）如图，E，F，G，H分别是四边形的四边中点．求证：四边形是平行四边形．（提示：连接或，利用三角形中位线的性质） 【答案】见解析 【分析】连接，利用三角形中位线的性质即可证明． 【详解】证明：如图，连接， E，F，G，H分别是四边形的四边中点， ，分别为，的中位线， 且，且， ，， 四边形是平行四边形． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 【答案】1 【分析】取的中点并连接，先借助平行四边形对角线互相平分的性质，结合三角形中位线定理确定为的中位线，求出的长度，再根据线段比例关系推出是的中点，结合为的中点，再次运用三角形中位线定理判定为的中位线，最终求出的长． 【详解】解：取的中点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∵，是的中点， ∴，， ∴是的中点． 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，D是的中点，P是边上的点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，取的中点E，连接，根据三角形中位线定理得到，，得到，设，，得到，，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 设，，则，， 由勾股定理得：，即， ∴， 在中，， 则， 故选：B． 【变式题4-3】.（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为_____． 【答案】2 【分析】本题主要运用角平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形中位线定理来求解．通过构造等腰三角形，利用中位线定理得出线段长度． 【详解】解：如图，延长，交于点M， ∵平分，， ∴， ∴，， 又∵F是的中点， ∴为的中位线， ∴． 【压轴素养题型】 【题型5】中位线与动点问题的综合应用（素养题） 1.核心知识点 三角形中位线定理；动点的轨迹分析；线段最值的求解。 2.解题方法技巧 确定动点的运动轨迹（多为线段），取相关线段的中点，利用中位线定理将动点相关线段转化为定线段的倍分；结合“垂线段最短”“两点之间线段最短”求解线段的最大值或最小值。 【例题5】.（23-24八年级下·山东潍坊·月考）如图，矩形中，，，P是边上的动点，E是边上的一动点，点M、N分别是、的中点，则线段的长度最大为 ___________________． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质定理，勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据点M、N分别是、的中点，得到是的中位线，得到，故当最大时，线段的长度最大，利用勾股定理求出，即可求线段的长度最大值． 【详解】解：∵点M、N分别是、的中点， ∴， 由题意可知：当点与点重合时，最长， 在中， 此时：， ∴， ∴线段的长度最大为； 故答案为：； 【变式题5-1】.（2024·河南周口·二模）如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识，利用垂线段最短求出的最小值是解题的关键．先利用菱形的性质求出，根据垂线段最短可知，根据中位线的性质可知从而得解． 【详解】解：连接、，与交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， 又∵， ∴， ∵点G是线段上的动点，， ∴， ∵点E，F分别是线段，的中点，即是的中位线， ∴， ∴， 故选：B． 【变式题5-2】.（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，四边形是平行四边形，，，是的中位线，G为上一动点，H为上一动点，点G以的速度从C点向B点运动，同时点H以的速度从D点向C点运动，用表示时间．当t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据题意得出点G和点H分别同时运动到的中点时，四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：若四边形是平行四边形， 则，， ∵是的中位线， ∴， ∴， 此时点G和点H分别同时运动到的中点， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴点G运动到的中点所需时间， 同理，点H运动到的中点所需时间， ∴时，点G和点H分别同时运动到的中点， ∴时，四边形是平行四边形． 【变式题5-3】.（24-25八年级下·北京·期中）如图，矩形的对角线交于点为边上一动点（不与重合），在射线上，且，连接． (1)如图1，若为的中点，，则___________； (2)如图2，为上一动点， ①根据题意，补全图形； ②写出的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)①见详解②，证明见详解 【分析】（1）根据矩形的性质得，，结合为的中点，则，再证明四边形是矩形，运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）①结合在射线上，且，连接，且在图2上补全图形，即可作答． ②先延长交于点，连接，运用矩形的性质，证明，再得出垂直平分，得，则在中，，然后结合线段的等量代换，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ 在中，， 故答案为：； （2）解：①如图所示： ②，证明如下： 延长交于点，连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型6】中位线在实际测量中的应用（情境题） 1.核心知识点 三角形中位线定理；数学建模思想。 2.解题方法技巧 从实际问题（如测量水池、湖泊两端距离）中抽象出三角形模型，在三角形外取合适的点构造中位线；测量中位线的长度，利用定理倍分得到实际所求线段的长度，规避直接测量的障碍。 【例题6】.（23-24八年级上·山东济宁·期末）【回归课本】 鲁教版初中数学八上教材第137﹣138页探索并证明了三角形中位线定理这个重要命题，请用文字语言表述三角形中位线定理： ． 【回顾证法】 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法． 已知：如图1，是的中位线．（请结合图2，补全求证及证明过程） 求证： ． 证明： 【实践应用】 如图3，B，C两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在直线外选一点A，连接，，然后步测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离为 米． 【深入探究】 如图4，DE是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论．    【答案】【回归课本】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．  【回顾证法】见解析 【实践应用】  【深入探究】平分，见解析 【分析】回归课本：由三角形的中位线定理可知，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，于是得到问题的答案； 回顾证法：作交的延长线于点，则，可证明，可以得到四边形BCFD是平行四边形，则且，即可得到结论； 实践应用：连接，由三角形的中位线定理得，则米，于是得到问题的答案； 深入探究：连接，设交于点，由是的中位线，是边上的中线， 所以分别是的中点，则，且，所以，可证明，得 ，所以与互相平分. 【详解】解：回归课本： 由三角形的中位线定理可知，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半， 故答案为：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 回顾证法：已知: 如图, 是的中位线． 求证：且． 证明: 如图，作交的延长线于点，则， ∵是的中位线， ∴ ， 在和中, ， ∴， ∴， ∴, 且 ， ∴四边形是平行四边形， ∴，且， ∴ ，且， 故答案为:, 且； 实践应用：如图，连接，    ∵分别为的中点， ， 米， (米)， ∴两点间的距离是米, 故答案为: ； 深入探究：与互相平分， 证明: 如图，连接, 设交于点，      ∵是的中位线，是边上的中线， ∴分别是的中点， 且 , ， 在和中, ， ∴， ∴， ∴与互相平分． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理的证明与应用等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式题6-1】.（2024·陕西西安·二模）阅读下列材料，回答问题． 任务：如图，在湖的两岸间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量两点间的距离，现要测量两点间的距离． 小明利用皮尺测量，求出了两点间的距离．其测量及求解过程如下： 测量过程：（i）如图1，在湖以外选点，测得，； （ii）分别在、上找到点，使得，，测得． 求解过程：由测量知，分别是、的中点， ∴是的中位线，∴① ， ∵，∴② ．（用含的式子表示） (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)请你利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，求出两点间的距离，请你在图2中画出你的测量示意图，写出测量数据（无需写测量过程），并写出求解过程．要求：测量得到的线段长度用字母…表示，角度用、、…表示，求解结果用字母表示． 【答案】(1)①② (2)见详解 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图、三角形中位线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形中位线定理求解即可； （2）构造等边三角形，利用等边三角形的性质解决问题． 【详解】（1）解：由测量知，分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：①；②； （2）如下图，利用测角仪作射线，使得，射线交于点， 则为等边三角形， 测量出， 则． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·江西赣州·期末）县城有一人工湖，湖面较为宽不能直接测量，某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，分三小组各设计了一种方案： 课题 测量人工湖的长度的长 测量工具 皮尺：直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：)； 测角仪：测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小． 学习小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 测量数据 米，米，米 ，米，米 ，，米 (1)小军的做法：米，米 点是线段的中点，点是线段的中点， 是的， 米， ___米． (2)小军求得长度的依据是______________________； (3)请你在第二、第三小组中选择一小组的方案，求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线， 160 (2)小军测得AB长度的依据是三角形的中位线等于第三边的一半 (3)人工湖长为160米 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理； （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）根据三角形的中位线等于第三边的一半； （3）选择第二小组：根据勾股定理即可求解；选择第三小组，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：小军的做法：米，米， 点是线段的中点，点是线段的中点， 是的中位线， 米， 米， 答：人工湖长为米． （2）小军测得长度的依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （3）选择第二小组：， 三角形为直角三角形， ， ， 答：人工湖长为米． 选择第三小组：，， 三角形为直角三角形， 米， 米， ， 答：人工湖长为米． 【变式题6-3】.（23-24八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图，   ， ． 易错点 1.混淆三角形的中位线和中线，误将中线当作中位线套用定理，或遗漏“中位线连接两边中点”的核心条件。 2.判定中点四边形形状时，直接根据原四边形的形状判断，忽略对角线的性质是中点四边形形状的决定因素（如等腰梯形的中点四边形是菱形，因对角线相等）。 3.构造中位线时，未保证恒等变形，如倍长线段法中未延长至“等长”，导致构造的线段并非中位线。 4.应用梯形中位线定理时，误将“腰的中点”当作“底的中点”，或对非梯形的四边形套用梯形中位线公式。 重点 1.熟练掌握三角形中位线的核心定理，能快速识别中点条件，实现线段平行与倍分的互推。 2.掌握4种常用的中位线构造方法，能根据题目条件选择合适的方法，将分散的线段、角集中到同一个三角形中。 3.理解中点四边形的性质，明确“原四边形对角线的性质决定中点四边形的形状”，能快速判定中点四边形的类型。 4.能将中位线定理应用于实际测量问题，建立数学模型，解决实际生活中的距离测量障碍。 难点 1.构造中位线的灵活运用：面对无明显中点条件的题目，难以想到通过“取中点”“倍长线段”“延长垂线”等方式构造中位线，实现线段和角的转化。 2.中位线与动点、最值的综合：难以分析动点的运动轨迹，无法利用中位线定理将动点相关线段转化为定线段，进而求解最值。 3.多知识点的综合融合：中位线定理与全等三角形、特殊平行四边形、三角形相似等知识点结合时，难以找到解题的切入点，无法实现知识点的衔接。 4.规律探究类问题：对于由中位线围成的一系列图形，难以快速归纳出周长、面积的变化规律，无法准确列出通项公式进行计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】连接，勾股定理求出的长，再根据三角形的中位线定理，即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵点E，G分别是的中点， ∴. 2．在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据、是、中点，判定为的中位线，由中位线定理得出，再依据平行线的同位角相等，得出与相等，从而求出的度数． 【详解】解：∵、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴． 3．如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用三角形的中位线，得到，，即可求解． 【详解】解：∵点、、分别是、、的中点，，， ∴，是的中位线，，， ∴，， ∴四边形的周长为． 二、填空题 4．如图，是的中位线，平分，交于点．已知，，则的长为_____________． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理求出和的长度，同时得到与平行的关系，再结合角平分线的定义和平行线的性质推导出，利用等角对等边得出，最后通过线段的差运算计算出的长度． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． ∴． 5．如图，在中，已知，，点，分别为，的中点，平分交于点，则的长为___________． 【答案】 【分析】结合题意得是的中位线，由中位线定理可得，，结合角平分线的定义推得，即可根据求解． 【详解】解：点，分别为，的中点， ，， 平分，， ， ， ． 6．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____． 【答案】3 【分析】本题主要涉及平行四边形的性质与判定以及三角形中位线定理，取的中点，连接构造中位线，利用中位线性质和平行四边形性质得到新的平行四边形，进而得出线段之间的关系，最后根据已知线段长度求出． 【详解】解：取的中点，连接，如图， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 平行于，， ∵四边形是平行四边形， ，平行于， 是的中点， ， 平行于，， ∴四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ． 故答案为：3． 三、解答题 7．如图，点D，E，F分别是的三边的中点，．求四边形的周长． 【答案】10 【分析】利用三角形的中位线的判定定理和性质进行求解即可． 【详解】解：∵点D，E，F分别是的三边的中点，， ∴和是的中位线， ∴，，，． ∴四边形的周长为． 8．如图，点D，E，F分别是的三边，，的中点，，．求四边形的周长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、线段中点的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据三角形的中位线定理、线段中点的定义可得，，，，由此即可求解． 【详解】解：点D，E，F分别是的三边，，的中点，，， ，，，， ∴四边形的周长为． 9．在下列由边长为1的小正方形组成的网格中，仅用无刻度的直尺完成下列画图．与网格线交于点，在上画点，使得． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图、中位线定理以及等腰三角形的性质，观察图形可知，，作交于点，由于等腰三角形三线合一，则，连接，根据三角形中位线定理得，则此时点即为所求． 【详解】解：如图所示， 10．如图，中，，，，，，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），与三角形中位线有关的求解问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 中位线 知识点1：三角形中位线的定义与定理 1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。一个三角形有三条中位线，中位线与中线不同（中线连接顶点和对边中点）。 2.核心定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在中，若、分别为、的中点，则，且。 知识点2：三角形中位线的常用性质 1.三条中位线围成的新三角形，周长为原三角形周长的，面积为原三角形面积的。 2.三角形的一条中线与相交的中位线互相平分。 3.中位线可实现线段的倍分转化和角的平移，是连接线段平行与数量关系的重要桥梁。 知识点3：梯形中位线的定义与定理 1.定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。 2.核心定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。 几何语言：在梯形中，，、分别为、的中点，则，且。 知识点4：构造三角形中位线的常用方法 构造方法 适用条件 操作要点 直接连接两点 已知三角形两边中点 直接连接中点，形成中位线 倍长线段法 已知一边中点，无其他中点条件 延长过中点的线段至等长，连接端点构造全等三角形，衍生中位线 角平分线+垂直构造 已知角平分线且有垂直于角平分线的线段 延长垂线与角的另一边相交，交点与顶点的中点连线即为中位线 取中点构造 已知一个中点，需另一个中点 在已知线段上取中点，连接两个中点形成中位线 知识点5：中点四边形的性质 1.定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形。 2.核心结论：任意四边形的中点四边形为平行四边形； 若原四边形对角线相等，中点四边形为菱形； 若原四边形对角线互相垂直，中点四边形为矩形； 若原四边形对角线相等且垂直，中点四边形为正方形。 【基础必考题型】 【题型1】三角形中位线定理的直接求值 1.核心知识点 三角形中位线的定义与核心定理；线段的倍分计算。 2.解题方法技巧 先识别题目中的“中点”条件，确定中位线对应的第三边；直接套用定理进行计算，注意区分中位线和中线。 【例题1】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，D，E分别是的中点．若，则的长为_______． 【变式题1-1】.（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，分别是边，的中点，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式题1-2】.（湖南明德学校第一中学教育集团2025-2026学年八年级下学期3月学情质量监测数学试题）如图，在菱形中，E、F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（    ） A．32 B．24 C．16 D．12 【变式题1-3】.（2026·湖南衡阳·一模）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【题型2】中点四边形的形状判断 1.核心知识点 中点四边形的定义；三角形中位线定理；特殊平行四边形的判定。 2.解题方法技巧 连接原四边形的对角线，利用中位线定理证明中点四边形的对边平行且相等，先判定为平行四边形；再根据原四边形对角线的“相等”或“垂直”条件，判定为菱形、矩形或正方形。 【例题2】.（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，顺次连接四边形各边中点，，，，得到的四边形是平行四边形吗？为什么？ 【变式题2-1】.（25-26九年级下·广东广州·月考）如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【变式题2-2】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   ∴是的中位线， 【变式题2-3】.（25-26八年级上·江苏南通·期末）求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 【题型3】梯形中位线的基础计算 1.核心知识点 梯形中位线的定义与定理；梯形的底边长与周长计算。 2.解题方法技巧 确定梯形的两底长度，直接套用梯形中位线公式；若已知中位线和一底，可逆向求另一底的长度。 【例题3】.（2026八年级下·江苏·专题练习）如果梯形一底边为6，中位线长为8，那么另一底边长为___． 【变式题3-1】.（24-25八年级下·上海·期末）如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则_________． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·上海·月考）如图，在梯形中，，点、分别是腰、的中点，若，，那么_____． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·山东淄博·月考）知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）中，是的中位线，连接．则与的数量关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点M，N分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ： 【培优高频题型】 【题型4】简单构造中位线解决线段关系问题 1.核心知识点 构造三角形中位线的方法（直接连接/取中点）；中位线的平行与倍分性质。 2.解题方法技巧 观察题目中的“中点”条件，若仅有一个中点，在相关线段上取另一个中点，连接两个中点构造中位线；利用中位线的平行性证明线线平行，利用倍分性证明线段的和差、倍分关系。 【例题4】.（24-25八年级下·新疆喀什·月考）如图，E，F，G，H分别是四边形的四边中点．求证：四边形是平行四边形．（提示：连接或，利用三角形中位线的性质） 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，D是的中点，P是边上的点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式题4-3】.（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为_____． 【压轴素养题型】 【题型5】中位线与动点问题的综合应用（素养题） 1.核心知识点 三角形中位线定理；动点的轨迹分析；线段最值的求解。 2.解题方法技巧 确定动点的运动轨迹（多为线段），取相关线段的中点，利用中位线定理将动点相关线段转化为定线段的倍分；结合“垂线段最短”“两点之间线段最短”求解线段的最大值或最小值。 【例题5】.（23-24八年级下·山东潍坊·月考）如图，矩形中，，，P是边上的动点，E是边上的一动点，点M、N分别是、的中点，则线段的长度最大为 ___________________． 【变式题5-1】.（2024·河南周口·二模）如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式题5-2】.（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，四边形是平行四边形，，，是的中位线，G为上一动点，H为上一动点，点G以的速度从C点向B点运动，同时点H以的速度从D点向C点运动，用表示时间．当t为何值时，四边形是平行四边形？ 【变式题5-3】.（24-25八年级下·北京·期中）如图，矩形的对角线交于点为边上一动点（不与重合），在射线上，且，连接． (1)如图1，若为的中点，，则___________； (2)如图2，为上一动点， ①根据题意，补全图形； ②写出的数量关系，并证明你的结论． 【题型6】中位线在实际测量中的应用（情境题） 1.核心知识点 三角形中位线定理；数学建模思想。 2.解题方法技巧 从实际问题（如测量水池、湖泊两端距离）中抽象出三角形模型，在三角形外取合适的点构造中位线；测量中位线的长度，利用定理倍分得到实际所求线段的长度，规避直接测量的障碍。 【例题6】.（23-24八年级上·山东济宁·期末）【回归课本】 鲁教版初中数学八上教材第137﹣138页探索并证明了三角形中位线定理这个重要命题，请用文字语言表述三角形中位线定理： ． 【回顾证法】 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法． 已知：如图1，是的中位线．（请结合图2，补全求证及证明过程） 求证： ． 证明： 【实践应用】 如图3，B，C两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在直线外选一点A，连接，，然后步测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离为 米． 【深入探究】 如图4，DE是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论．    【变式题6-1】.（2024·陕西西安·二模）阅读下列材料，回答问题． 任务：如图，在湖的两岸间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量两点间的距离，现要测量两点间的距离． 小明利用皮尺测量，求出了两点间的距离．其测量及求解过程如下： 测量过程：（i）如图1，在湖以外选点，测得，； （ii）分别在、上找到点，使得，，测得． 求解过程：由测量知，分别是、的中点， ∴是的中位线，∴① ， ∵，∴② ．（用含的式子表示） (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)请你利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，求出两点间的距离，请你在图2中画出你的测量示意图，写出测量数据（无需写测量过程），并写出求解过程．要求：测量得到的线段长度用字母…表示，角度用、、…表示，求解结果用字母表示． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·江西赣州·期末）县城有一人工湖，湖面较为宽不能直接测量，某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，分三小组各设计了一种方案： 课题 测量人工湖的长度的长 测量工具 皮尺：直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：)； 测角仪：测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小． 学习小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 测量数据 米，米，米 ，米，米 ，，米 (1)小军的做法：米，米 点是线段的中点，点是线段的中点， 是的， 米， ___米． (2)小军求得长度的依据是______________________； (3)请你在第二、第三小组中选择一小组的方案，求出人工湖的长度． 【变式题6-3】.（23-24八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         易错点 1.混淆三角形的中位线和中线，误将中线当作中位线套用定理，或遗漏“中位线连接两边中点”的核心条件。 2.判定中点四边形形状时，直接根据原四边形的形状判断，忽略对角线的性质是中点四边形形状的决定因素（如等腰梯形的中点四边形是菱形，因对角线相等）。 3.构造中位线时，未保证恒等变形，如倍长线段法中未延长至“等长”，导致构造的线段并非中位线。 4.应用梯形中位线定理时，误将“腰的中点”当作“底的中点”，或对非梯形的四边形套用梯形中位线公式。 重点 1.熟练掌握三角形中位线的核心定理，能快速识别中点条件，实现线段平行与倍分的互推。 2.掌握4种常用的中位线构造方法，能根据题目条件选择合适的方法，将分散的线段、角集中到同一个三角形中。 3.理解中点四边形的性质，明确“原四边形对角线的性质决定中点四边形的形状”，能快速判定中点四边形的类型。 4.能将中位线定理应用于实际测量问题，建立数学模型，解决实际生活中的距离测量障碍。 难点 1.构造中位线的灵活运用：面对无明显中点条件的题目，难以想到通过“取中点”“倍长线段”“延长垂线”等方式构造中位线，实现线段和角的转化。 2.中位线与动点、最值的综合：难以分析动点的运动轨迹，无法利用中位线定理将动点相关线段转化为定线段，进而求解最值。 3.多知识点的综合融合：中位线定理与全等三角形、特殊平行四边形、三角形相似等知识点结合时，难以找到解题的切入点，无法实现知识点的衔接。 4.规律探究类问题：对于由中位线围成的一系列图形，难以快速归纳出周长、面积的变化规律，无法准确列出通项公式进行计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 二、填空题 4．如图，是的中位线，平分，交于点．已知，，则的长为_____________． 5．如图，在中，已知，，点，分别为，的中点，平分交于点，则的长为___________． 6．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____． 三、解答题 7．如图，点D，E，F分别是的三边的中点，．求四边形的周长． 8．如图，点D，E，F分别是的三边，，的中点，，．求四边形的周长． 9．在下列由边长为1的小正方形组成的网格中，仅用无刻度的直尺完成下列画图．与网格线交于点，在上画点，使得． 10．如图，中，，，，，，求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $