专题02 四边形中的折叠问题（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题02 四边形中的折叠问题 类型一：普通四边形中的折叠问题 类型二：平行四边形中的折叠问题 类型三：矩形中的折叠问题 类型四：菱形中的折叠问题 类型五：正方形中的折叠问题 类型一：普通四边形中的折叠问题 1．在四边形纸片ABCD中，将纸片沿EF折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片FMNE沿BC折叠得到如图2所示图形，若∠FGP＝2∠BGF，则∠PGC的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 2．如图，将四边形CDFE沿AB折叠一下，如果CD∥EF，∠1＝130°，那么∠2是（　　） A．110° B．115° C．120° D．130° 3．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，把四边形纸片ABCD按图中所示的方式折叠，使点D落在BC边上的点F处，折痕为CE．若∠A＝110°，∠B＝∠D＝90°，则∠DEC的度数是　 　 ． 4．如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥CD，将纸片沿EF折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过点B，FD′交BC于点G，连结EG，EG平分∠BEF．若EG∥A′D′，∠A+∠DFE＝125°，则∠CFE的度数是 　 　 °． 5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为边AB上一点，将四边形ABCD沿CE折叠（CE为折痕），使点B与点F重合，EM平分∠AEF交AD于点M，过点M作MN⊥EM交CD于点N． （1）试说明：MN∥CE． （2）若∠MEF＝25°，求∠DNM的度数． 类型二：平行四边形中的折叠问题 6．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　） A．66° B．104° C．114° D．124° 7．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC，则B′D的长是（　　） A．1 B． C． D． 8．如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小强测得长边CD＝12，则四边形A′EBC的周长为 　 　 ． 9．如图，在▱ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与▱ABCD的一边垂直时，DM的长为 　 ． 10．综合实践课上，老师让同学们开展了▱ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′． （1）【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4+2，求EC的长； （2）【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形． 类型三：矩形中的折叠问题 11．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（　　） A．58° B．32° C．35° D．45° 12．如图a是长方形纸带，∠DEF＝22°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE 的度数是（　　） A．123° B．120° C．117° D．114° 13．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝37°，点H和点G分别是边AD和BC上的点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为　 　 ． 14．如图，小明将纸片换成一张长方形纸片ABCD，点E，F分别是线段AD，BC上的点，他先将纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点A'，B'，A'B'与线段AD交于点G，点H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D'，使得点B'恰好在GD'上，测得∠EFB'＝62°，则∠DGH的度数为　 　 ． 15．如图，将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，已知AF∥BE，DF∥CE，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H． （1）判断∠CGH与∠DFE是否相等，并说明理由； （2）①判断GH是否平分∠AGE，并说明理由； ②若∠DFA＝52°，求∠HGE的度数． 16．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，求矩形ABCD长与宽的比值． 类型四：菱形中的折叠问题 17．如图，在菱形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE．将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合．若菱形的边长为4，则AE的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 18．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 19．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（　　）度时，四边形AECF是菱形． A．30° B．40° C．45° D．50° 20．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是　 　 ． 21．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝　 　 °． 类型五：正方形中的折叠问题 22．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（　　） A．10° B．12° C．14° D．15° 23．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 24．如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长度是多少？ 25．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形AEGF是正方形． （2）若AD＝6，BD＝2，则DC＝　 　 ． 26．阅读下面材料： 小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由． 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足　 　 关系时，仍有EF＝BE+DF； （2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形中的折叠问题 类型一：普通四边形中的折叠问题 类型二：平行四边形中的折叠问题 类型三：矩形中的折叠问题 类型四：菱形中的折叠问题 类型五：正方形中的折叠问题 类型一：普通四边形中的折叠问题 1．在四边形纸片ABCD中，将纸片沿EF折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片FMNE沿BC折叠得到如图2所示图形，若∠FGP＝2∠BGF，则∠PGC的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【解答】解：设图1中BC，FM交于点G，所以∠FGB＝∠CGM， ∴折叠， ∴图2中，∠CGM＝∠PGC， ∴∠FGB＝∠CGM＝∠PGC， ∵∠FGP＝2∠BGF， ∴∠FGP+∠BGF+∠PGC＝4∠PGC＝180°， ∴∠PGC＝45°． 故选：C． 2．如图，将四边形CDFE沿AB折叠一下，如果CD∥EF，∠1＝130°，那么∠2是（　　） A．110° B．115° C．120° D．130° 【答案】B 【解答】解： ∵CD∥EF， ∴∠DAG＝∠1＝130°， 由题意得：∠GAB＝∠DAB， ∴∠DAB∠DAG＝65°， ∵∠2+∠DAB＝180°， ∴∠2＝180°﹣65°＝115°． 故选：B． 3．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，把四边形纸片ABCD按图中所示的方式折叠，使点D落在BC边上的点F处，折痕为CE．若∠A＝110°，∠B＝∠D＝90°，则∠DEC的度数是　55°　 ． 【答案】55°． 【解答】解：由折叠和题意可得∠EFC＝∠D＝∠B＝90°，∠DEC＝∠FEC， ∴AB∥EF， ∴∠DEF＝∠A＝110°， ∴∠DEC＝∠FEC∠DEF110°＝55°． 故答案为：55°． 4．如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥CD，将纸片沿EF折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过点B，FD′交BC于点G，连结EG，EG平分∠BEF．若EG∥A′D′，∠A+∠DFE＝125°，则∠CFE的度数是 　130　 °． 【答案】130． 【解答】解：设∠GEF＝α， ∵EG平分∠BEF， ∴∠GEB＝∠GEF＝α，∠BEF＝2∠GEF＝2α， ∴∠AEF＝180°﹣∠BEF＝180°﹣2α， 由折叠的性质得：∠A'EF＝∠AEF＝180°﹣2α，∠A＝∠A'， ∴∠A'EG＝∠A'EF﹣∠GEF＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α， ∵AB∥CD， ∴∠DFE＝∠BEF＝2α， ∵∠A+∠DFE＝125°， ∴∠A＝125°﹣∠DFE＝125°﹣2α， ∴∠A'＝∠A＝125°﹣2α， ∵EG∥A′D′， ∴∠A'+∠A'EG＝180°， 即125°﹣2α+180°﹣3α＝180°， 解得：α＝25°， ∴∠DFE＝2α＝50°， ∴∠CFE＝180°﹣∠DFE＝130°． 故答案为：130． 5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为边AB上一点，将四边形ABCD沿CE折叠（CE为折痕），使点B与点F重合，EM平分∠AEF交AD于点M，过点M作MN⊥EM交CD于点N． （1）试说明：MN∥CE． （2）若∠MEF＝25°，求∠DNM的度数． 【答案】（1）见解答； （2）65°． 【解答】（1）证明：由折叠知． ∵EM平分∠AEF， ∴． ∵∠BEF+∠AEF＝180°． ∴， ∴∠CEM＝90°， ∵MN⊥EM， ∴∠NME＝90°， ∴∠NME+∠CEM＝180°， ∴MN∥CE； （2）解：∵∠MEF＝25°，∠CEM＝90°， ∴∠CEF＝65°， ∴∠CEB＝∠CEF＝65°． ∵DC∥AB， ∴∠DCE＝∠CEB＝65° ∵MN∥CE， ∴∠DNM＝∠DCE＝65°． 类型二：平行四边形中的折叠问题 6．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　） A．66° B．104° C．114° D．124° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC∠1＝22°， ∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°； 故选：C． 7．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC，则B′D的长是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°， ∴∠CAE＝∠ACB＝45°， ∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C， ∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°， ∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°， ∴AE＝CEAC， ∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°， ∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°， ∴B′E＝DE＝1， ∴B′D． 故选：B． 8．如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小强测得长边CD＝12，则四边形A′EBC的周长为 　24　 ． 【答案】24． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴∠A1DE＝∠AED， ∵△A1DE是由△ADE折叠得到， ∴∠ADE＝∠A1DE，∠AED＝∠A1ED，AD＝A1D，AE＝A1E， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴AE＝A1D＝A1E， ∴A1C＝EB，A1E+A1C＝A1D+A1C＝DC＝12， ∴四边形A1EBC是平行四边形， ∴四边形A1EBC的周长为2（A1E+A1C）＝2CD＝24， 故答案为：24． 9．如图，在▱ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与▱ABCD的一边垂直时，DM的长为 　2或6　 ． 【答案】2或6． 【解答】解：如图1，当BF⊥AD时， ∵平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴BF⊥BC， ∴∠AMB＝90°， ∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB， ∴∠A＝∠F＝45°， ∴∠ABM＝45°， ∵AB＝4， ∴AM＝BM＝44， ∵BC＝AD＝10， ∴DM＝AD﹣AM＝10﹣4＝6； 如图2，当BF⊥AB时， ∵平行四边形ABCD中，AB∥DC， ∴BF⊥DC， ∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB， ∴∠A＝∠EFB＝45°， ∴∠ABF＝90°， 此时F与点M重合， ∵AB＝BF＝4， ∴AF＝48， ∴DM＝10﹣8＝2． 综合以上可得DM的长为2或6． 故答案为：2或6． 10．综合实践课上，老师让同学们开展了▱ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′． （1）【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4+2，求EC的长； （2）【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形． 【答案】（1）； （2）见解析． 【解答】解：（1）由折叠知EC＝EC'， ∴∠EC'C＝∠ECC'＝15°， ∴∠BEC'＝∠ECC'+∠ECC＝30°， ∵EC'⊥AB， ∴∠EC'B＝90°， ∴BE＝2BC'． 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴BC'＝2， ∴； （2）证明：由折叠知∠CEF＝∠C'EF，∠EFD＝∠EFD'． 由▱ABCD得AD∥BC，∠D＝∠B， ∴∠CEF+∠EFD＝180°． ∴∠C'EF+∠EFD'＝180°．， ∴CE∥DF． ∴∠BC'E＝∠D′＝∠D＝∠B． ∴BE＝C'E＝CE， ∴， ∵AD∥BC，点D在BA延长线上， ∴∠B＝∠DAF＝∠D'， ∴AF＝D'F＝DF， ∴， ∵AD＝BC， ∴C'E＝D'F． 又∵C'E∥D'F， ∴四边形EC'D'F是平行四边形． 类型三：矩形中的折叠问题 11．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（　　） A．58° B．32° C．35° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由折叠得∠A′EN＝∠AEN＝32°，∠B′EM＝∠BEM，∠EB′M＝∠B＝90°， ∴∠AEA′＝2∠AEN＝64°，∠BEB′＝2∠B′EM， ∵点A′，B′，E在同一直线上， ∴∠AEA′+∠BEB′＝180°， ∴64°+2∠B′EM＝180°， ∴∠B′EM＝58°， ∴∠EMB′＝90°﹣∠B′EM＝90°﹣58°＝32°， 故选：B． 12．如图a是长方形纸带，∠DEF＝22°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE 的度数是（　　） A．123° B．120° C．117° D．114° 【答案】D 【解答】解：∵∠DEF＝22°，长方形ABCD的对边AD∥BC， ∴∠EFB＝∠DEF＝22°， 由折叠，∠EFB处重叠了3层， ∴∠CFE＝180°﹣3∠EFB＝180°﹣3×22°＝114°． 故选：D． 13．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝37°，点H和点G分别是边AD和BC上的点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为　106°　 ． 【答案】106°． 【解答】解：延长HK，MN交于点T， 由折叠可知，∠HKP＝90°，∠MNE＝90°， ∵MN∥KP， ∴∠T＝∠HKP＝90°， ∴∠ENM＝∠T＝90°， ∴EN∥HK， ∵∠EFC＝37°， ∴∠AEF＝37°， ∴∠AEN＝74°， ∴∠AHK＝74°， ∵∠KHD＝180°﹣∠AHK＝106°． 故答案为：106°． 14．如图，小明将纸片换成一张长方形纸片ABCD，点E，F分别是线段AD，BC上的点，他先将纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点A'，B'，A'B'与线段AD交于点G，点H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D'，使得点B'恰好在GD'上，测得∠EFB'＝62°，则∠DGH的度数为　17°　 ． 【答案】17°． 【解答】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴∠B＝90°，BC∥AD． 由折叠得，∠DGH＝∠D'GH，∠B＝∠FB'G＝90°，∠EFB＝∠EFB'， ∴∠EFB＝∠EFB'＝62°， ∴∠CFB'＝180°﹣∠EFB﹣∠EFB'＝56°． 如图2，过点B′作B'K∥AD，交AB于点K． ∵BC∥AD， ∴BK∥BC， ∴∠CFB′＝∠KB′F，∠DGB′＝∠GB′K， ∴∠GB′F＝∠GB′K+∠FB′K＝∠DGB'+∠CFB'＝90°， ∴∠DGB'＝90°﹣∠CFB'＝90°﹣56°＝34°． ∵∠DGH＝∠D'GH， ∴∠DGH∠DGB'＝17°． 故答案为：17°． 15．如图，将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，已知AF∥BE，DF∥CE，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H． （1）判断∠CGH与∠DFE是否相等，并说明理由； （2）①判断GH是否平分∠AGE，并说明理由； ②若∠DFA＝52°，求∠HGE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠CGH＝∠DFE， 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴CG∥DF，∵GH∥EF， ∴∠AGC＝∠AFD，∠AGH＝∠AFE， ∵∠CGH＝∠AGC+∠AGH，∠DFE＝∠DFA+∠AFE， ∴∠CGH＝∠DFE； （2）①GH平分∠AGE； 理由如下： ∵GH∥EF， ∴∠AGH＝∠AFE，∠HGE＝∠GEF， ∵CE∥DF， ∴∠1＝∠GEF， ∵∠1＝∠GFE， ∴∠GFE＝∠GEF， ∴∠AGH＝∠EGH， ∴GH平分∠AGE； ②∵将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠， ∴∠EFG＝∠1， ∵∠DFG＝52°， ∴∠EFG＝64°， ∵GH∥EF， ∴∠AGH＝∠AFE＝64°， ∵∠EGF＝∠DFG＝52°， ∴∠HGE＝64°． 16．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，求矩形ABCD长与宽的比值． 【答案】． 【解答】解：连接DE，如图： ∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处， ∴四边形ABEF为正方形， ∴∠EAD＝45°， 由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上， ∴DE平分∠GDC， ∴∠GDE＝∠CDE， ∵DG为折痕， ∴∠DGE＝90°＝∠C， 而DE＝DE， ∴Rt△DGE≌Rt△DCE（AAS）， ∴DC＝DG， ∵∠EAD＝45°，∠DGA＝90°， ∴△AGD为等腰直角三角形， ∴ADDGCD， ∴矩形ABCD长与宽的比值为， 故答案为． 类型四：菱形中的折叠问题 17．如图，在菱形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE．将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合．若菱形的边长为4，则AE的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝4， ∵将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合， ∴BE＝EC＝2，AE⊥BC， ∴AE2， 故选：C． 18．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】D 【解答】解：连接BD，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°， ∵DC′是AB的垂直平分线， ∴P为AB的中点， ∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°， ∴∠PDC＝90°， ∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°， 在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°． 故选：D． 19．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（　　）度时，四边形AECF是菱形． A．30° B．40° C．45° D．50° 【答案】A 【解答】解：当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形， 理由：由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°， ∵∠B＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°， 即∠CAE＝∠ACE， ∴EA＝EC， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴四边形AECF是菱形， 故选：A． 20．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是　75°　 ． 【答案】75° 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC， ∵∠A＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠FBC＝30°， 根据折叠可得AB＝BF， ∴FB＝BC， ∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°， 故答案为：75°． 21．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝　75　 °． 【答案】75 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵∠D＝120°， ∴∠DAC＝∠DCA（180°﹣∠D）＝30°． ∵CD∥AB， ∴∠BAD′＝∠DCA＝30°． ∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上， ∴AD＝AD′， ∴AB＝AD′， ∴∠AD′B＝∠ABD′（180°﹣∠BAD′）＝75°． 故答案为75． 类型五：正方形中的折叠问题 22．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（　　） A．10° B．12° C．14° D．15° 【答案】B 【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°， ∴∠BEF＝69+45＝114°， 由折叠的性质可知：∠BEA∠BEF＝57°， ∴∠BAE＝90﹣57＝33°， ∴∠EAC＝45﹣33＝12°． 故选：B． 23．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】B 【解答】解：四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN， 且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°， ∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70° 由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°， ∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110° 故选：B． 24．如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长度是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作FN⊥BC，FM⊥DC，垂足分别为N，M，连接BF，交AE于K， ∵正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE， ∴BE＝2， ∴AE＝2， ∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF， ∴BF⊥AE， ∴AB×BE＝BK×AE， ∴KB＝KF， 设EN＝x，则22﹣x2＝（）2﹣（2+x）2， 解得：x， 故FN， 则DM＝6，FM＝NC＝6﹣2， 则DF． 25．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形AEGF是正方形． （2）若AD＝6，BD＝2，则DC＝　3　 ． 【答案】（1）证明见解析； （2）3． 【解答】解：（1）根据题意得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴AD＝AE，∠DAB＝∠EAB，AD＝AF，∠DAC＝∠FAC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝∠DAB+∠DAC+∠EAB+∠FAC＝∠BAC+∠BAC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°， ∴四边形AEGF是矩形， ∵AD＝AE，AD＝AF， ∴AE＝AF， ∴矩形AEGF是正方形； （2）设CD＝x，则BC＝x+2 ∵AD＝6，BD＝2，四边形AEGF是正方形， ∴EG＝FG＝AD＝6，∠BGC＝90°， ∵△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴BD＝BE＝2，CD＝CF＝x， ∴BG＝6﹣2＝4，CG＝6﹣x， 在Rt△BGC中，根据勾股定理得，BG2+CG2＝BC2， ∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2， 解得x＝3， ∴CD＝3， 故答案为：3． 26．阅读下面材料： 小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由． 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足　∠B+∠D＝180°　 关系时，仍有EF＝BE+DF； （2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF； 如图， ∵AB＝AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠EAF＝∠FAG， ∵∠ADC+∠B＝180°， ∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线， 在△AFE和△AFG中， ， ∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF＝FG， 即：EF＝BE+DF． （2）如图， ∵AB＝AC， ∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合． ∠B＝∠ACG， BD＝CG， AD＝AG ∵△ABC中，∠BAC＝90°， ∴∠ACB+∠ACG＝∠ACB+∠B＝90°． 即∠ECG＝90°． ∴EC2+CG2＝EG2． 在△AEG与△AED中， ∠EAG＝∠EAC+∠CAG＝∠EAC+∠BAD＝90°﹣∠EAD＝45°＝∠EAD． 又∵AD＝AG，AE＝AE， ∴△AEG≌△AED． ∴DE＝EG． 又∵CG＝BD， ∴BD2+EC2＝DE2． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $