圆锥曲线：定点问题、定值问题、向量共线问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

圆锥曲线：定点问题、定值问题、向量共线问题专项训练 圆锥曲线：定点问题、定值问题、向量共线问题专项训练 考点目录 定点问题 定值问题 向量共线问题 考点一 定点问题 例1．（2026·山东滨州·一模）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点，动点的轨迹为曲线． (1)证明为定值，并求曲线的方程； (2)若直线与曲线相交于两点． ①求面积的最大值； ②已知点，直线与曲线的另一个交点为，直线与曲线的另一个交点为．证明：直线过定点． 【答案】(1)证明见解析， (2)①1；②证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，故， 又圆的标准方程为，从而， 所以，即为定值, 由题设得， 由椭圆的定义可得，所求曲线的方程为. （2）设， ①由可得， 因为直线与曲线相交于两点， 所以，则, 由根与系数的关系可得：，， 因为 ， 当且仅当时取等号，且满足， 所以面积的最大值为1. ②由题意知，直线的斜率存在，且直线的方程为， 由可得， 展开得， 所以 ， 所以， 所以， 同理， 设直线的方程为，则， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 因为直线的斜率为1，所以即， 所以直线的方程为， 所以过定点. 例2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知动圆过定点，且被轴截得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知过点的直线与圆心的轨迹交于两点，点关于轴的对称点为. （i）求（为坐标原点）面积的最小值； （ii）证明：直线必过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）解：设动圆圆心为， 则， 圆心到轴距离为，动圆被轴截得的半弦长为2， 则， 化简得， 所以动圆圆心的轨迹方程为. （2） （i）解：设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则， 则的面积为， 当且仅当时取等号. 所以面积的最小值为. （ii）证明：由题得， 则直线的方程为， 根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上， 令，得 ， 所以直线必过定点. 例3．（25-26高二下·湖北襄阳·月考）在平面直角坐标系中，已知动点满足下列方程：；该方程的曲线与x轴的交点分别为两点（在的左侧），不过的直线l与该曲线交于两点，记直线的斜率分别为；直线的斜率分别为． (1)求该曲线的标准方程； (2)若，求的值； (3)若，求证：直线l过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定点 【详解】（1）由双曲线的定义，易知该曲线是以为焦点的双曲线， 其中； 故该曲线的标准方程为 （2）设， 由题易得，且得， 代入可得， 同理可得， 故，又， 可得； （3）由题知． 设直线l的方程为，，如下图： 直线与双曲线联立得， 可得，因此且； 则可得，， 因此， 由，， ∴ ， 解得； 所以直线的方程为过定点. 另解： 由（2）中的计算可知，得， 则，即； 设直线l的方程为，； 与双曲线联立得， 可得，因此且； 则可得，， 因此， 又， 所以 ， 也即， 解得. 因此直线l过定点； 变式1．（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为F，离心率为2，圆与C恰有两个交点． (1)求C的方程； (2)设A为C的左顶点，过F且斜率存在的直线交C的右支于，两点，直线，分别交圆O的另一点于，． ①证明：，，三点共线； ②设直线与直线交于D，证明：点D在定直线上． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②证明见解析 【详解】（1）因为圆与C恰有两个交点，由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点， 所以，又，所以， 故，所以双曲线C的方程为． （2）①将双曲线与圆按：平移，；即，； 令，齐次化联立得：， 由于斜率均存在，故同除以； 所以，所以，所以O，P，Q三点共线． ②又因为，所以， 所以且，所以， 所以，所以，即与交于，平移回去， 所以PQ与MN交于． 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H． ①若，求的值； ②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②过定点 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4， 所以，所以， 因为点在椭圆C上， 所以，所以， 所以椭圆的方程为. （2）①当直线，的斜率一条不存在，另一条的斜率为0时， 不妨设直线的斜率一条不存在，直线的斜率为0， 则，，， ， 当直线，的斜率存在且不为0时， 设，，因为，所以， 设直线，， 联立方程得，所以， 所以， 同理， 所以. 综上可知，. ②设，将，代入椭圆方程， 得，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以直线， 同理， 联立，所以， 所以， 所以， 直线，令，则，则， 又因为，所以， 所以直线， 所以直线过定点. 变式3．（2026·广西河池·二模）已知抛物线，过上一动点作斜率为2的直线与交于另一点，当点与原点重合时，． (1)求． (2)当不经过点时，直线与交于另一点，直线与交于另一点． （i）证明：； （ii）试判断直线与是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）直线与交于定点． 【详解】（1）当点与原点重合时，直线过原点且斜率为2，其方程为， 联立得，解得或，所以． 所以，解得． （2）由（1）知，设，直线． 联立与，得， 所以且． （i）设，如下图： 直线过点和，设直线的方程为， 联立，得，则， 整理可得．① 同理，对于直线，可得．② 因为，所以，③ 由①②作商，结合③，得，即． 所以， 所以． （ii）设的中点为的中点为，因为，所以直线， 又因为，所以与的交点即直线与的交点． 由②③，得，所以． 直线的斜率， 直线的方程为． 在该方程中，令，可得，所以直线与交于定点， 故直线与交于定点． 考点二 定值问题 例1．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，且点. 【详解】（1）双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）①设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. ②设的外接圆方程为， 则， 由代入， 可得， 可得， 同理可得， 所以、为关于的方程的两根， 又因为、为关于的方程的两根， 所以方程与方程为同解方程， 所以，解得， 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即， 直线与轴的交点为，不妨取点，此时， 则， 故在轴上存在定点，使得为定值. 例2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，且过点，为坐标原点． (1)求的方程． (2)动直线过的右焦点且与交于，两点，证明：为定值． (3)C上是否存在互不重合的三点，，，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析. 【详解】（1）已知离心率，故，结合得, 所以双曲线方程可写为，代入点得：， 解得，所以，双曲线的方程为. （2）由（1）得右焦点，分两种情况讨论： 若直线斜率不存在，则，由得， 不妨设， 则：，所以； 若直线斜率存在，设为，则， 由，得， 此时且. 设， 由韦达定理：， 则： . 综上，，即为定值. （3）假设存在满足条件的三点，因为平行四边形对角线互相平分，则与中点重合， 设中点为，则。 设，则，两式相减得，即， 整理得方程为。 又在双曲线上，代入得，即，故方程为. 若， 联立与双曲线，消去得， 即，判别式： 若，则，，代入双曲线得，无实根. 因此不存在满足条件的三点. 例3．（2026·贵州毕节·二模）已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知，，在C上， ①若A是C与x轴的一个交点，B是C与y轴的一个交点，求的面积的最大值； ②记线段中点为M， ，记的面积为，判断是否为定值，并说明理由. 【答案】(1) (2)①；②为定值，且定值为，理由见解析 【详解】（1）因为椭圆C的一个焦点为，所以，所以， 所以可设椭圆的标准方程为， 又因为椭圆C过点，所以， 解方程可得或（舍去）. 所以椭圆C的标准方程为； （2）①由椭圆的对称性，不妨取， 则直线的方程为，即， 设，则到直线的距离， 所以当时，，又， 所以的面积的最大值为； ②为定值，且定值为，理由如下： 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得， 整理得，所以，， 因为线段中点为M，所以，所以， 因为，所以，所以， 又在C上，所以， 整理得，所以， 又 ， 又点到直线的距离， 所以. 又因为线段中点为M，所以， 又，所以，所以， 所以是否为定值，定值为； 当直线的斜率不存在时，线段的中点在轴上， 由对称性不妨取，此时，此时，； 综上所述：为定值，且定值为. 变式1．（2026·山东日照·一模）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．当直线的倾斜角为时，是等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设双曲线的焦距为，则可得， 当的倾斜角为时，不妨设，如下图所示： 将点代入可得， 又， 解得， 由是等边三角形可得， 即，联立解得或（舍）； 所以可得， 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）得，即，分两种情况讨论： ① 当直线斜率不存在时，此时的方程为，代入双曲线得， 即过，则， ② 当直线斜率存在时，设直线，不妨设， 联立直线和双曲线方程，消去得． 由韦达定理：， 计算可得， 代入韦达定理，结果化简得：， ， 综上，无论直线斜率是否存在，为定值-1. 变式2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N．（上述各点均不重复） (1)求与的标准方程； (2)证明：； (3)是否存在点G，使直线与直线的斜率之积为定值，若存在，求点G的坐标． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3). 【详解】（1）由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. （2）设直线分别为，其斜率依次为， 设直线， 联立得， 其中，故. 又，所以， 代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 所以. （3）设直线为，其斜率为. 结合（2）的方法，同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 变式3．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）由，， 所以点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为， 焦距为，则，， 所以， 所以C的方程为. （2）①由，直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以， 又因为，所以，， 所以， . ②由①可知，，所以， 作关于轴的对称点，则，，三点共线， 又，，设， 则直线方程即为直线方程， 又直线方程为， 作差可得， 所以， 所以，， 又，得出， 又因为， 所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动， 所以. 考点三 向量共线问题 例1．（25-26高三上·重庆·月考）设双曲线的右焦点为，过的直线交该双曲线于两点（其中在第一象限），交直线于点． (1)已知在双曲线的同一支，且，求的面积． (2)过平行于的直线分别交直线、轴于，，记，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，设直线方程为， 联立方程得：， 设，则，， ， 由在双曲线的同支可知，， 去绝对值号得：． ， 所以． （2） 直线方程为，则， 由（1）知，， 过平行于的直线方程为， 直线方程为， 联立得， 即， 则，所以， 用韦达定理进行化简：由两式相除得， 则， 所以， 因为，所以，故为线段的中点， 所以，因此． 例2．（2026·河南许昌·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上. (1)求的方程； (2)已知上一点，且不在轴上，直线，与的另一个交点分别为，. （ⅰ）若点的坐标为，求直线的方程； （ⅱ）若，，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题知，解得， 所以的方程为. （2）（i）因为，又 ，由对称性知， 又，所以， 由，消并整理得到，解得或， 当时，，所以， 则，所以直线的方程为，即. （ii）设，，则， 又，则，解得，， 因为在椭圆上，则，即， 又，则， 易知，化简得，则， 又因为， 又，则，解得，， 因为在椭圆上，则，即， 又，则， 易知，化简得，得到， 故. 例3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，椭圆的上顶点和两焦点连线构成等边三角形且面积为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于不同的两点A、B，设点A关于椭圆长轴的对称点为，试求，，三点共线的充要条件． 【答案】(1) (2)且 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程是 （2）联立，消去整理得， 由，得①， 记，，则， 又， ，，， 若，，三点共线，则， ， ，即，又，所以， 结合①，可得，解得或，即； 综上可得，，三点共线的充要条件是且 变式1．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点到点的距离比它到直线：的距离大1． (1)求点的轨迹方程； (2)直线过点，且与点的轨迹相交于，两点（在第一象限），若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由点到点的距离比它到直线：的距离大1， 则点到点的距离等于它到直线：的距离， 由抛物线定义知， 点的轨迹为以为焦点，以：为准线的抛物线， 可得，所以点的轨迹方程为． （2）直线过点，由已知直线的斜率不为0， 故设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，设，，所以，． 因为，可得，所以， 因为点在第一象限，所以，， 则，解得， 所以直线的方程为. 变式2．（25-26高三上·河北唐山·月考）已知点在抛物线上，是的焦点，． (1)求的标准方程； (2)若是的准线，过点作直线的垂线，垂足为，线段交于点，且为锐角三角形，，求的值及的外接圆半径． 【答案】(1)或. (2)外接圆的半径为 【详解】（1）由题意得，解得， 所以点的坐标为， 代入的方程得16，解得或8， 所以抛物线的标准方程为或. （2）    当抛物线的方程为时，准线的方程为， 设准线与轴的交点为，过点作准线的垂线，交于点， 则 此时， 所以是锐角且， 又因为，所以为锐角三角形， 因为点在抛物线上，所以， 所以， 外接圆的半径； 当抛物线的方程为时，同理可得， 此时， 与为锐角三角形矛盾， 综上，外接圆的半径为 变式3．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知椭圆：的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)设点，，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点关于轴的对称点记为（与不重合）．若，试判断三点是否共线？并说明理由． 【答案】(1) (2)三点共线，理由见解析 【详解】（1）因为椭圆上的点到两焦点的距离之和为，所以，解得. 又因椭圆的离心率为，所以，所以. 所以. 故椭圆的方程为. （2）依题意，直线的斜率不能为0，故可设其方程为，再设，，则.    联立，整理得. 令，即. 则，. 又，，所以. 又，， 则. 分子 所以，即，所以， 又为公共点，所以三点共线. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：定点问题、定值问题、向量共线问题专项训练 圆锥曲线：定点问题、定值问题、向量共线问题专项训练 考点目录 定点问题 定值问题 向量共线问题 考点一 定点问题 例1．（2026·山东滨州·一模）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点，动点的轨迹为曲线． (1)证明为定值，并求曲线的方程； (2)若直线与曲线相交于两点． ①求面积的最大值； ②已知点，直线与曲线的另一个交点为，直线与曲线的另一个交点为．证明：直线过定点． 例2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知动圆过定点，且被轴截得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知过点的直线与圆心的轨迹交于两点，点关于轴的对称点为. （i）求（为坐标原点）面积的最小值； （ii）证明：直线必过定点. 例3．（25-26高二下·湖北襄阳·月考）在平面直角坐标系中，已知动点满足下列方程：；该方程的曲线与x轴的交点分别为两点（在的左侧），不过的直线l与该曲线交于两点，记直线的斜率分别为；直线的斜率分别为． (1)求该曲线的标准方程； (2)若，求的值； (3)若，求证：直线l过定点，并求出定点坐标． 变式1．（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为F，离心率为2，圆与C恰有两个交点． (1)求C的方程； (2)设A为C的左顶点，过F且斜率存在的直线交C的右支于，两点，直线，分别交圆O的另一点于，． ①证明：，，三点共线； ②设直线与直线交于D，证明：点D在定直线上． 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H． ①若，求的值； ②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 变式3．（2026·广西河池·二模）已知抛物线，过上一动点作斜率为2的直线与交于另一点，当点与原点重合时，． (1)求． (2)当不经过点时，直线与交于另一点，直线与交于另一点． （i）证明：； （ii）试判断直线与是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由． 考点二 定值问题 例1．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 例2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，且过点，为坐标原点． (1)求的方程． (2)动直线过的右焦点且与交于，两点，证明：为定值． (3)C上是否存在互不重合的三点，，，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 例3．（2026·贵州毕节·二模）已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知，，在C上， ①若A是C与x轴的一个交点，B是C与y轴的一个交点，求的面积的最大值； ②记线段中点为M， ，记的面积为，判断是否为定值，并说明理由. 变式1．（2026·山东日照·一模）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．当直线的倾斜角为时，是等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值． 变式2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N．（上述各点均不重复） (1)求与的标准方程； (2)证明：； (3)是否存在点G，使直线与直线的斜率之积为定值，若存在，求点G的坐标． 变式3．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 考点三 向量共线问题 例1．（25-26高三上·重庆·月考）设双曲线的右焦点为，过的直线交该双曲线于两点（其中在第一象限），交直线于点． (1)已知在双曲线的同一支，且，求的面积． (2)过平行于的直线分别交直线、轴于，，记，求实数的值． 例2．（2026·河南许昌·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上. (1)求的方程； (2)已知上一点，且不在轴上，直线，与的另一个交点分别为，. （ⅰ）若点的坐标为，求直线的方程； （ⅱ）若，，求的值. 例3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，椭圆的上顶点和两焦点连线构成等边三角形且面积为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于不同的两点A、B，设点A关于椭圆长轴的对称点为，试求，，三点共线的充要条件． 变式1．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点到点的距离比它到直线：的距离大1． (1)求点的轨迹方程； (2)直线过点，且与点的轨迹相交于，两点（在第一象限），若，求直线的方程． 变式2．（25-26高三上·河北唐山·月考）已知点在抛物线上，是的焦点，． (1)求的标准方程； (2)若是的准线，过点作直线的垂线，垂足为，线段交于点，且为锐角三角形，，求的值及的外接圆半径． 变式3．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知椭圆：的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)设点，，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点关于轴的对称点记为（与不重合）．若，试判断三点是否共线？并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $