命题大赛 湖北2026届高三数学下学期二轮复习阶段测试（人教版选择性必修第一册第三章）圆锥曲线方程

**基本信息** 聚焦圆锥曲线核心概念与综合应用，通过多题型覆盖定义、方程、几何性质及交汇问题，构建从基础到创新的知识逻辑链，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-5、填空12|围绕定义（焦半径、离心率）及方程求解，直接考查概念理解|从圆到椭圆、双曲线、抛物线的定义生成，建立标准方程与几何量关系| |几何性质|单选6-8、多选9-11|结合焦点三角形、渐近线、切线等，考查性质综合应用|通过离心率、焦点距离等核心量，串联曲线性质与位置关系推导| |综合应用|填空13-14、解答15-19|含创新情景（阿基米德椭圆规）、轨迹方程、面积与定值证明，体现跨知识交汇|以直线与圆锥曲线位置关系为核心，整合代数运算与几何直观，培养数学建模与运算能力|

Sheet1 高三二轮复习大单元章节检测卷 圆锥曲线的方程 命题双向细目表 年级：高三 模块：人教版选择性必修第一册 第三章（圆锥曲线的方程）考试时间：120 分钟 满分：150分 命题人：何正楠 （注：能力要求：Ⅰ 抽象概括 Ⅱ 推理论证 Ⅲ 运算求解 Ⅳ 数据处理 Ⅴ应用与创新；核心素养：①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算 题号 题型 准确考试内容 分值 数学核心素养 了解 理解 掌握 运用 难度系数 平均分估算 1 单选题 直线方向向量、斜率与倾斜角 5 ⑤数学运算、④直观想象 √ 0.85 4.25 2 单选题 椭圆基本量 a,b,c 关系 5 ⑤数学运算 √ 0.82 4.1 3 单选题 两圆位置关系与覆盖圆半径 5 ④直观想象、⑤数学运算 √ 0.78 3.9 4 单选题 双曲线定义、圆方程、勾股定理 5 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.65 3.25 5 单选题 抛物线定义、准线方程 5 ⑤数学运算、④直观想象 √ 0.8 4 6 单选题 圆系方程、向量数量积、最值 5 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.48 2.4 7 单选题 双曲线定义、离心率、解三角形 5 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.45 2.25 8 单选题 椭圆双曲线共焦点、离心率最值 5 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.35 1.75 9 多选题 直线与圆、弦长、轨迹、数量积 6 ②逻辑推理、④直观想象、⑤数学运算 √ 0.6 3.6 10 多选题 特殊曲线方程、对称性、距离最值 6 ①数学抽象、②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.55 3.3 11 多选题 双曲线与抛物线综合、离心率 6 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.4 2.4 12 填空题 双曲线渐近线、垂直、余弦定理 5 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.62 3.1 13 填空题 椭圆定义、离心率、实际应用 5 ③数学建模、⑤数学运算 √ 0.68 3.4 14 填空题 圆切线、轨迹、三角函数最值 5 ②逻辑推理、④直观想象、⑤数学运算 √ 0.38 1.9 15 解答题 双曲线标准方程、弦长、面积 13 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.55 7.15 16 解答题 轨迹方程、平行四边形、直线方程 15 ②逻辑推理、③数学建模、⑤数学运算 √ 0.5 7.5 17 解答题 轨迹方程、斜率和、面积最值 15 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.42 6.3 18 解答题 椭圆定值、斜率、轨迹证明 17 ②逻辑推理、①数学抽象、⑤数学运算 √ 0.38 6.46 $ 高三一轮复习大单元章节检测卷 圆锥曲线的方程 参考答案与解析 1、 单项选择题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D C A D C B 1. 已知点，，若向量是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为 【答案】A 解题思路：先求向量坐标差，计算直线斜率，再由斜率k＝tanα求倾斜角。 【解析】1解析直线 l的斜率，所以直线l的倾斜角为故选 2. 若椭圆的长半轴长等于其焦距，则 【答案】B 解题思路：注意长半轴为a，利用椭圆a,b,c关系，结合题目条件列方程求解。 【解答】  解：椭圆的长半轴长等于其焦距，即， 所以，解得或舍去 3. 已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为 【答案】D 解题思路：先判断两圆位置关系，再确定覆盖圆最小半径。 【解析】解：依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆外切， 因圆C覆盖圆，，所以圆C半径的最小值为 故选： 4.如图，已知曲线C由一段以坐标原点O为圆心的圆弧和双曲线该双曲线的中心为坐标原点O，，为其左、右焦点右支的一部分组成，圆弧和双曲线弧的公共点为A，B，若A，B，三点共线，，，则圆弧的方程为 【答案】C 解题思路：利用垂直关系、勾股定理求圆弧半径，写出方程 【解析】4解析由题可知圆弧和双曲线弧的公共点为 A，B，若A，B，三点共线，故，所以，所以，则， 故，即圆弧的半径为，则圆弧的方程为故选 5.已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为 【答案】A 解题思路：抛物线上点到焦点距离 = 到准线距离，直接列方程。 【解答】解：根据题意，抛物线的方程为，则其准线为， 又由抛物线上点到其焦点的距离为6，则A到准线的距离为6， 则有，解可得，即抛物线的准线方程为故选： 6.动圆M经过直线与☉的交点A，B，过原点O向动圆M作切线，切点为P，若恒成立，则实数的最大值是 【答案】D 解题思路：设圆系方程→求切线长→转化为轨迹与最值。 【解析】6解析将直线 l与☉C的方程联立，得，，设动圆M的方程为，切线长，即点P的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，设线段AB的中点为 ，而不能三点共线，的最大值是故选 7.设双曲线的左右焦点为，，过的直线与双曲线右支交于A，B两点，设AB中点为P，若，且，则该双曲线的离心率为 【答案】C 解题思路：设线段长度→用余弦定理、双曲线定义→建立a,c关系。 【解答】 解：如图，由P是AB的中点，可设，由条件可得， 因为， 则在中，，即， 所以为等腰直角三角形，， 故在直角三角形中，，，可求得， 因为， 故， 又，即， 可得， 所以， 在直角三角形中，有， 所以可求出离心率 故选 8. ★★已知，为椭圆与双曲线的公共左、右焦点，P为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为 【答案】B 解题思路：共焦点模型→用定义→直角三角形→向量柯西求最值。 【解析】8解析由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为，， 因为二者共焦点，所以，如图. 设，，由椭圆和双曲线的定义可知，， 由此解得，， 由题意知， 所以， 故在中，由勾股定理可知，代入m，n的表达式可得， 由离心率的定义可得，设，，则，问题转化为求的最大值，设p，q，由pqpq|可得， 当且仅当两向量同向共线时即等号成立，所以的最大值为 故选 二、多项选择题 答案速查 9 10 11 ABD BCD AC 9.在平面直角坐标系xOy中，圆，直线与圆C相交于不同的两点，且弦AB的中点为Q，则下列选项正确的有 【答案】ABD 解题思路：逐一验证选项，用弦长、距离、轨迹判断。 【解析】解：由题意知圆的圆心为，半径为； 对于A，由题意得，当直线l过圆心的时候，即弦长等于直径时最大，现在验证直线能否过圆心，把圆心坐标带入直线l，得到，所以当l过圆心时，弦长最大值为，故A正确；    对于B，由题意得，圆心到l的距离，解得，故B正确； 对于C，因为，所以点P在圆C外， 又因为，所以点P在直线l上，所以向量同向， 取时，l过圆心， 所以，不一定是1，故C错； 对于D，找一点，由C选项的分析可知，则Q的轨迹为以PC中点为圆心，为半径的圆在已知圆C内的一部分， 则存在，使得，故D正确. 故选： 10. ★已知曲线，则下列说法正确的是 【答案】BCD 解题思路：代入λ特殊值，逐项判断对称性、范围、最值。 【解析】10解析当时，曲线，设点在曲线上，则点关于对称的点为，所以，即，故点不在曲线E上，所以曲线E不关于直线对称，故A错误; 因为，所以，则，所以，即E是两条直线，故B正确; 当时，曲线，则，所以，解得或，所以，故C正确; 当时，曲线，则，当且仅当，即，时等号成立，所以，所以曲线E上的点到原点距离的最小值为，故D正确.故选 11. ★已知，是双曲线的左、右焦点，抛物线的焦点与双曲线C的右焦点重合，且M是双曲线C与抛物线E的一个公共点.若是等腰三角形，则双曲线C的离心率为 【答案】AC 解题思路：焦点重合，分等腰两种情况联立求离心率。 【解析】11解析由题设，0，且，， 当时，由抛物线的性质可知，所以， 故， 所以，即， 化简得， 所以，求得或， 又，得到，解得负值舍去 当时，则， 由抛物线的性质可知，则， 所以，所以， 即， 化简得， 所以， 所以， 所以或，解得或， 又，所以，解得 综上，或 故选 三、填空题 12.设双曲线的左、右焦点分别为，，圆与双曲线C在第一象限的交点为A，若与双曲线C的一条渐近线l垂直，则l的方程为           . 【答案】 解题思路：垂直得斜率关系，余弦定理建立a,b,c方程。 【解答】 解：如图，圆的圆心，半径为2c，由题意得， 则l的方程为，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， ， ， ， 在中，，， 由余弦定理得， 整理得， 即， ，，又，得， 即，，则， 的方程为，即故答案为 13. ★如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽、两个可动滑块A，B组成的一种绘图工具，横杆的一端C上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块A，B固定在带孔的横杆上，令滑块A在其中一条空槽上滑动，滑块B在另一条空槽上滑动，铅笔C随之运动就能画出椭圆.当A，B之间的距离为14厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则B，C之间的距离为           厘米. 【答案】21 解题思路：用a,b与AB,BC关系，结合离心率求解。 【解析】13解析依题意，当滑块 B在两条空槽的交点处时，BC长为椭圆的短半轴长b， 当滑块A在两条空槽的交点处时，AC长为椭圆的长半轴长a，则， 由椭圆的离心率为，得，解得，即，解得，所以B，C之间的距离为21厘米. 14. ★★已知直线与圆相切于点T，A是圆O上一动点，点P满足，且以P为圆心，PA为半径的圆恰与l相切，则的最大值为           . 【答案】 解题思路：设点坐标→列方程得轨迹→均值不等式求最值。 【解析】14解析设，则， 因为直线与圆相切于点T， 则，又以P为圆心，PA为半径的圆恰与l相切， 则可得，化简可得，且， 从而可设P，，且， 则， 由于，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故的最大值为 四、解答题 （完整解题过程） 15分已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在C上，且 求C的标准方程; 过的直线交双曲线C于M，N两点两点均位于x轴下方，M在左，N在右，线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求 · 关键：垂直定焦点、面积转化、弦长公式。 【解析】15.解因为，且A2，， 所以焦点，即，..............................................................................................................1分 又，由解得..................................................................................................................................................3分 所以双曲线.....................................................................................................................4分 由题知直线斜率不为0，设过的直线为，..............................................5分 联立消x得到，.................................................................................6分 则，且..............................................................................7分 设，， 则，..............................................................................................................9分 因为，所以， 即点和点A2，到直线的距离相等，......................................................10分 则有，解得，所以.........................................................................................11分.................................................13分 16(原创)分已知M(﹣，0)，N(，0)，平面内一动点P满足PM与PN斜率之积为，记P的轨迹为. 求的方程; 设过的左焦点的直线交的左支于点A，B，过的右焦点的直线交的右支于点C，D，若以A，B，C，D为顶点的四边形是面积为的平行四边形，求直线AB的方程. 关键：平行四边形高、弦长、面积公式。 【解析】16.解设P(x,y),则 ∙ ＝，.....................................2分 所以的方程为.(x≠±)...................................................................4分 由题意知，四边形ABCD为平行四边形，可得直线AB与CD平行， 当直线AB斜率不存在时，令，代入双曲线方程，可得， 此时四边形ABCD为矩形，面积为，不合题意;......................................................6分 所以直线AB斜率存在，设直线AB的方程为，则直线CD的方程为， 直线AB和CD的距离......................................................................................................7分 设，，联立 整理得， 则，，且，，.....................................................9分 又由双曲线的渐近线的方程为， 要使得过的左焦点的直线交的左支于点A，B，可得，则， 所以，..................................................12分 化简可得，解得，或 因为，所以，解得，..............................................................................................14分 故直线AB的方程为， 即或..................................................................................................................15分 17.分在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线的距离与到点的距离之比为，记点P的轨迹为 求的方程； 若不经过点C的直线l与交于M，N两点，且，求面积的最大值． 关键：斜率和为 0 定点、面积表达式、最值方法。 17.【答案】解：设，P到直线的距离记为d，则，............................1分 依题意，，..........................................................................................2分 化简得，即...................................................................................................4分 设直线l：，，，， 由得：， 则，可得， 所以，...............................6分 由， 所以，即， 所以，可得，............................................................................8分 所以若，直线l经过定点 因为面积， 所以，.........................................................10分 当，即时，S有最大值为；..........................................................................11分 若，则直线，且，也满足， ， 当且时，；...............................................................................................12分 令，则 又，当时，；当时， ，代入， 综上S有最大值为..............................................................................................15分 18分在平面直角坐标系xOy中，点，，动点P到A的距离与P到直线l：x＝－4的距离之比为，记点P的轨迹为 求C的方程. 设直线l与x轴交点为Q，过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，在F的左侧设直线AE，AF的斜率分别为， ①求证：为定值; ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值. 关键：斜率化简、对称点构造、双曲线定义。 【解析】18解由题意得4[(x＋1)2＋y2]＝(x＋4)2......................................................................2分 整理得C的方程为.............................................................................................................4分 ①证明由，直线l的斜率存在且不为.......................................................................5分 设直线l的方程为，，，， 联立得， 则，，，，........................................................7分 所以 又，所以，， 所以......................................................9分 ②解由①知，所以作点E关于x轴的对称点，则F，A，三点共线.又，，设，则直线AF方程即为直线方程又直线BE方程为，两式作差，得，..............................................................................................11分 所以， 所以，，由，得 又因为，所以，....................................................................................13分 即，即， 所以点M在以A，B为焦点，1为实轴长的双曲线的左支椭圆内部上运动， 所以..........................................................................................................................15分 19分在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以为非零的正实数代替得到曲线的方程，则称曲线，关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. 已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程; 射线l的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线l与椭圆，分别交于两点A，B，且，求椭圆的方程; 对抛物线，作变换，得抛物线对作变换，得抛物线如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，….若，，求数列的通项公式 关键：伸缩变换规则、递推数列累乘法。 【解析】19.解由条件得，..............................................................................2分 整理得，所以的方程为...................................................................................3分 因为椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆， 对作变换，得........................................................................4分 联立解得点A的坐标为.............................................................................5分 联立解得点B的坐标为............................................................................6分 所以， 所以 解得或.................................................................................................................................8分 因此椭圆的方程为或..................................................................................10分 对作变换， 得抛物线，即......................................................................................11分 又因为，所以，即..........................................................................12分 当时，…，.......................................15分 得，适用上式.......................................................................................................16分 所以数列的通项公式............................................................................................17分 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三二轮复习大单元章节检测卷 圆锥曲线的方程 考试时间:120分钟 满分:150分 命题人:何正楠 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上作答。 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1已知点，，若向量是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.若椭圆的长半轴长等于其焦距，则    A. B. C. D. 4 3.已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为     A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4.如图，已知曲线C由一段以坐标原点O为圆心的圆弧和双曲线该双曲线的中心为坐标原点O，，为其左、右焦点右支的一部分组成，圆弧和双曲线弧的公共点为A，B，若A，B，三点共线，，，则圆弧的方程为(    ) A. B. C. D. 5.已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为(    ) A. B. C. D. 6.动圆M经过直线与☉的交点A，B，过原点O向动圆M作切线，切点为P，若恒成立，则实数的最大值是(    ) A. B. C. D. 7.设双曲线的左右焦点为，，过的直线与双曲线右支交于A，B两点，设AB中点为P，若，且，则该双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 8.已知，为椭圆与双曲线的公共左、右焦点，P为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.在平面直角坐标系xOy中，圆，直线与圆C相交于不同的两点，且弦AB的中点为Q，则下列选项正确的有     A. 弦长的最大值为 B. 实数a的取值范围为 C. 若，则 D. 存在定点D，使得为定值 10.已知曲线，则下列说法正确的是(    ) A. 当时，曲线E关于直线对称 B. 当时，E是两条直线 C. 当时，若点是曲线E上的任意一点，则 D. 当时，曲线E上的点到原点距离的最小值为 11.已知，是双曲线的左、右焦点，抛物线的焦点与双曲线C的右焦点重合，且M是双曲线C与抛物线E的一个公共点.若是等腰三角形，则双曲线C的离心率为(    ) A. B. C. D. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12.设双曲线的左、右焦点分别为，，圆与双曲线C在第一象限的交点为A，若与双曲线C的一条渐近线l垂直，则l的方程为          . 13.（创新情景题）如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽、两个可动滑块A，B组成的一种绘图工具，横杆的一端C上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块A，B固定在带孔的横杆上，令滑块A在其中一条空槽上滑动，滑块B在另一条空槽上滑动，铅笔C随之运动就能画出椭圆.当A，B之间的距离为14厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则B，C之间的距离为           厘米. 14已知直线与圆相切于点T，A是圆O上一动点，点P满足，且以P为圆心，PA为半径的圆恰与l相切，则的最大值为           . 四、解答题(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15分已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在C上，且 求C的标准方程; 过的直线交双曲线C于M，N两点两点均位于x轴下方，M在左，N在右，线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求 16(原创)分已知M(﹣，0)，N(，0)，平面内一动点P满足PM与PN斜率之积为，记P的轨迹为. 求的方程; 设过的左焦点的直线交的左支于点A，B，过的右焦点的直线交的右支于点C，D，若以A，B，C，D为顶点的四边形是面积为的平行四边形，求直线AB的方程. 17.在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线的距离与到点的距离之比为，记点P的轨迹为 求的方程； 若不经过点C的直线l与交于M，N两点，且，求面积的最大值． 18分在平面直角坐标系xOy中，点，，动点P到A的距离与P到直线l：x＝－4的距离之比为，记点P的轨迹为 求C的方程. 设直线l与x轴交点为Q，过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，在F的左侧设直线AE，AF的斜率分别为， ①求证：为定值; ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值. 19分在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以为非零的正实数代替得到曲线的方程，则称曲线，关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. 已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程; 射线l的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线l与椭圆，分别交于两点A，B，且，求椭圆的方程; 对抛物线，作变换，得抛物线对作变换，得抛物线如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，….若，，求数列的通项公式 高三数学试卷 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $