直线与圆锥曲线的位置关系专项训练-2026届高三数学二轮复习专题

高中数学压轴题 直线与圆锥曲线的位置关系专项复习题 满分：150分 难度：★★★★★ 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一个动点，，若，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．4 2．已知F是椭圆的一个焦点，PQ是过其中心的一条动弦，则面积的最大值是（） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），线段的中点分别为，若，则的斜率为（    ） A． B．-1 C． D． 4．已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 5．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记的面积为，的面积为.若双曲线的离心率为，，则（    ） A．3 B．2 C． D． 6．如图，双曲线的左右焦点分别为，过的直线与该双曲线的两支分别交于两点（在线段上），与分别为与的内切圆，其半径分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知为坐标原点，椭圆的下顶点为，动点满足，是上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，与双曲线C的右支交于点P．若，，，为的角平分线，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9．平面直角坐标系中，直线与双曲线（，）的左右两支分别交于A，B两点，P是异于A，B的双曲线上一点，则下列判断正确的是（    ） A．双曲线的离心率e的范围是 B．双曲线的离心率e的范围是 C．直线PA，PB的斜率分别是，，则 D．双曲线上存在点P，使得 10．已知双曲线的左､右焦点分别为，直线过点，且与双曲线的右支交于两点，与双曲线的两条渐近线分别交于两点，其中两点位于第一象限，下列说法正确的是（    ） A．若，则的周长为 B．若，则实数的值可以为 C．点到两条渐近线的距离之积为定值 D．若的内切圆的半径分别为，则恒成立 11．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知，是椭圆，的左、右焦点，为坐标原点，是椭圆的一条切线，切点为，，在直线上的投影分别为，，则（   ） A． B． C．最大值为 D． 三、填空题（每题5分，共15分） 12．直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线的方程是 ． 13．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．若椭圆是“黄金椭圆”，则 ，若“黄金椭圆”两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则 14．如图所示，双曲线与抛物线围成封闭曲线，若对于轴上一定点，上恰有3对不同的点关于点对称，则实数的取值范围是 . 四、解答题（共5个小题，共77分，必须写出关键的计算步骤） 15．（本题满分13分）双曲线，直线，O为坐标原点． (1)直线l与双曲线只有一个公共点，求k的值； (2)若直线l与双曲线有两个交点A、B，若为钝角，求k的取值范围． 16．（本题满分15分）已知椭圆：的离心率为，焦距为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于A，B两点，且.求弦长. 17．（本题满分15分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在上，为的左、右顶点. (1)求的方程； (2)过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线分别交轴于两点. （i）试探究：是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）当面积取最大值时，求的值. 18．（本题满分17分）如图，坐标平面上的点也可表示为，其中，为x轴非负半轴绕原点O逆时针旋转到与重合的旋转角．将点P绕原点O逆时针旋转后得到，这个过程称之为旋转变换，由此可以得到旋转变换公式： ．已知将焦点在x轴上的椭圆W绕原点O进行旋转变换可以得到曲线． (1)写出曲线的对称轴和椭圆W的方程； (2)已知曲线绕原点O逆时针旋转可以得到双曲线，曲线与椭圆W交于A，B，C，D四点． （i）求k的取值范围； （ii）求四边形的面积S（用k表示）及其取值范围． 19．（本题满分17分）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆“相似”，并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比.已知椭圆，椭圆与的焦点在同一坐标轴上，且经过点，并与椭圆相似. (1)求椭圆的方程. (2)若直线与椭圆相切，且与椭圆交于两点，求证：的面积是定值. (3)过点作斜率为的直线与椭圆交于两点（在的上方），直线与椭圆交于两点（S在的上方）.是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 第 2 页 共 5 页 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学压轴题 直线与圆锥曲线的位置关系专项复习题 参考答案及详细解析 选择题答案：1-8：ADDAC BCD 9-11：BCD ACD ABD 详解 1．A 【解】抛物线方程为，根据抛物线的标准形式，其焦点为，准线方程为. 因与垂直，故直线的斜率存在且不为0，直线过焦点， 设直线的方程为. 将直线方程代入抛物线方程，联立得：， 所以，方程的判别式， 设、， 由韦达定理得： 因，，故： 因，故直线的方程为. 同理可得. 根据题设，将、代入得， 即，解得，故抛物线方程为， 此时焦点，准线方程为. 设点到准线的垂线段为（为垂足）， 则，因此， 表示点到准线的距离与到点的距离之和. 根据几何最短路径原理，当点为线段与抛物线的交点时，距离和最小. 此时的坐标为，则，即. 综上，的最小值为. 故选：A 2．D 【解】设椭圆右焦点为（其中）， 过椭圆中心，则与关于原点对称， 设，则， 将分成和， 由于与关于原点对称，， 所以， 以为底，到轴的垂直距离为高，， 因此， 点在椭圆上，故， 所以， 即面积最大值为. 故选：D 3．D 【解】易知，设直线，，， 由，得. 则. 从而， 所以. 由，得，即. 而，代入可得（正根舍去），由，解得， 从而的斜率为. 故选：D. 4．A 【解】分析充分性： 当时，将代入抛物线的方程， 整理得，此时， 即直线与抛物线恰有一个公共点，因此充分性成立； 分析必要性： 将直线代入抛物线，整理得， 当时，令 解得. 当时，此时直线方程为，此时直线与抛物线恰有一个公共点. 综上可知，当直线与抛物线恰有一个公共点时，或， 故“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 5．C 【解】因双曲线的离心率为，不妨设，则， 则双曲线的方程为， 因过点的直线的斜率，则可设其方程为， 代入，整理得， 由，可得，且， 设，则， 由题意，，即， 代入①，化简得，再代入②，可得， 化简计算得，因，则，故，则符合题意. 故选：C. 6．B 【解】由题意得双曲线的焦距，实轴长, 设， ，， ，则， 在△与△中：， 即：， ， 假设直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为， 则，则， 在△中：，则可得； 假设直线l的斜率为0，此时， 由此结合题意可得，则，. 故选：B. 7．C 【解】设点，由题意可知. 因为，所以， 将式子展开可得， 即，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 设椭圆上动点，则有，即. 点到圆心的距离 . 对于二次函数，其图象开口向下，对称轴， 所以当时，取到最大值，， 所以. 因为的最大值为圆心到椭圆上点的最大距离加上圆的半径， 所以的最大值为. 故选：C 8．D 【解】双曲线，设双曲线半焦距为， 左、右焦点分别为，，， ，是中点， ，， 是中点，是以为圆心，为半径的圆上的点，故， 设点在双曲线渐近线上，联立得， 点在双曲线渐近线上，且是中点， ，故，解得，， 的斜率，方程为， 联立直线与双曲线方程，得，解得， 在双曲线右支上，，，故点； ， 是的角平分线， ，故D正确． 故选：D． 9．BCD 【解】因为双曲线的渐近线方程为， 则，所以， 所以， 所以， 即双曲线的离心率e的范围是，故A错误，B正确； 对于C，设，， 因为直线与双曲线都关于原点对称， 所以点，也关于原点对称， 所以， 所以，， 所以，故C正确； 对于D，当时，则有， 所以， 所以， 又因为P是异于A，B的双曲线上一点， 所以当或时，成立，故D正确. 故选：BCD. 10．ACD 【解】对于A：因为， 所以的周长为，故正确； 对于B：由条件可知，渐近线方程，设， 联立，可得， 且，所以， 由可得，由可得， 所以，所以， 所以，所以的中点重合，记的中点为， 所以， 所以，所以，所以，故错误； 对于C：设，到的距离为， 到的距离为， 所以点到两条渐近线的距离之积为， 又因为在双曲线上，所以，所以， 所以，故正确； 对于D：设直线的倾斜角为，因为渐近线的倾斜角分别为，所以， 设的内切圆的圆心分别为， 的内切圆与各边切于，的内切圆与切于，设， 因为， 所以，所以，所以， 所以在直线上，同理可得也在直线上，且， 由几何关系可得， 所以， 因为，所以，所以，令， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以，故正确； 故选：ACD. 11．ABD 【解】由题意，设关于的对称点为，连接交于，连接交于， 则， 由于为中点，为中点，则为三角形中位线， 则且，同理可得，， 则A选项正确； 由等角定理以及图像可得，B选项正确； 则， 当点在椭圆上下顶点时，最大， 当时，的最大值不小于，则最大值为， 当时，的最大值小于，则最大值小于， 故C错误； 由基本不等式可得， 则， 取中点，连接，则为直角梯形的中位线， 则，且， ，， 则，故D正确； 故选：ABD. 12． 【解】设，则有，两式相减，可得， 为线段的中点，故有， 即，若，则，即两点重合，不满足题意， 故，因此可得直线的斜率为， 又因为直线过， 故直线，整理得， 故答案为：. 13． /； . 【解】由题，，所以． 如图， 连接，设内切圆半径为， 则，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 14． 【解】过点与轴平行的直线与封闭曲线的两个交点关于点对称，且这两个点在同一曲线上， 则另外两对对称点必不在y轴上，且这两对对称点关于y轴对称，每对对称点所在直线与x轴不平行，如下图所示， 当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为在双曲线上， 联立可得， 所以，即， 该点关于点的对称点为，由题意可知这个点在曲线上， 则，所以， 当时，，点在轴上，不合题意， 当时，，对称点所在直线与x轴平行，不合题意， 所以，且当时，有两个与之对应（如图中所示）， 所以只需方程在时只有一解即可， 因为函数在上单调递减， 所以在上至多有一解， 当时，，故，此时在时只有一解． 故答案为：． 15．(1) (2) 【解】（1）直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以方程组只有一组解， 即只有一个解， 当，即时，满足题意． 当时，，解得； 所以 （2） 由消去y并整理得：， 显然，且，解得且， 设， 有，， ， 显然直线l不过原点，即与不共线，由为钝角得： ， 即，即， 解得，又且， 于是得，解得， 所以k的取值范围. 16．(1) (2) 【解】（1）∵椭圆：的离心率为，故， 又焦距为，故，即有，，则， ∴椭圆的方程为； （2）联立，消去整理得， 由，则， 设，，则，， 故， 则， 化简得，即，满足， 故. 17．(1) (2)（i）存在，（ii） 【提示】（2）（ii）方法一：由（1）求得,从而表示出，然后得到并得到的取值范围，构造函数，通过导数求得函数的单调区间，从而求得最大值及此时的; 方法二：由（1）求得,从而表示出，利用三角变换得到，构造函数，利用导数求得函数单调区间，从而求得最大值及此时的； 方法三：设点坐标，得到点坐标、及直线方程，联立方程组求得，列出后构造函数，利用导数求得函数单调区间，从而求得最大值及此时的. 【解】（1）由已知，，解得， 所以C的方程为； （2）（i）设过点的直线， 由，消去x得， ，， ，， 由（1）知， 则直线，， 直线，， ，所以存在，使得； （ii）法一：， ， 因为，所以， ， 因为M在第一象限，所以， 令， ， 令，解得或， 在上单调递增，在单调递减， 所以当时，取最大值，所以. 法二：， ， 设，， 所以， 令， ， 令，解得或， 因为，所以， 所以存在唯一的，使得， 且在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取最大值，所以. 法三：设，则，所以， 直线， 由，得， ， 令， ， 令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值， 所以. 18．(1)， (2)（i）；（ii），取值范围为 【提示】（2）先根据旋转变换得到曲线，（i）联立椭圆，结合有四个交点即可得到k的取值范围；（ii）根据题意可知四边形为平行四边形，则，再根据可得到，然后再求范围． 【解】（1）设点在曲线上，则， 所以，则点也在曲线上，故是曲线的对称轴， 又，所以点也在曲线上， 故也是曲线的对称轴， 综上，曲线的对称轴为； 所以曲线由椭圆逆时针旋转得到， 设点在椭圆上，逆时针旋转后的坐标为， 则，又点在曲线上， 所以， 即， 整理化简得，即椭圆的方程为：； （2）设点在曲线上，逆时针旋转后的坐标为， 则， 整理得，即曲线， （i）联立，得， 因为曲线与椭圆W交于A，B，C，D四点， 令，则有两个不同的正数解， ，解得或， 所以k的取值范围为； （ii）根据题意，椭圆W及曲线关于原点对称，易得四边形为平行四边形， 则，不妨设，，在第四象限， 则， 又 ， 所以，，， 则， 所以，取值范围为． 19．(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【提示】（3）联立直线与椭圆方程说明的中点也是的中点，然后将转化为的数量关系，借助弦长公式完成计算. 【解】（1）由题意可知，“特征三角形”是等腰三角形，且腰长为，底边长为， 那么两个“特征三角形”相似比即两椭圆的长半轴长之比或者焦距之比，从而这两个椭圆的离心率相等. 由椭圆的离心率为， 可知过点且与椭圆相似的椭圆的离心率， 设所求椭圆为，代入点得： 又由，可得，② 联立两式解得：， 所以所求椭圆方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，又与椭圆相切，则切线方程为， 由对称性不妨取，代入椭圆，可得两交点坐标为， 此时，故； 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，代入椭圆， 消去，可得， 因直线与椭圆相切，可得：，整理得. 再将代入，消去，可得， 整理得，因， 将代入，化简得， 设，则， 故 ， 将代入上式，化简得， 又点到直线的距离为， 则为定值. （3）假设直线存在；设直线的方程为：，且. 由消去，可得，则有， 又由消去，可得，则有， 可得，即中点的横坐标相同， 又因为四点共线，所以的中点即为的中点， 因，则，化简得（*）， 因， ， 代入（*），可得，化简得，解得，符合题意. 故存在直线满足条件. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $