立体几何：等体积法求点到面的距离、空间向量法求空间距离复习讲义-2026届高三数学二轮复习

立体几何：等体积法求点到面的距离、空间向量法求空间距离复习讲义 立体几何：等体积法求点到面的距离、空间向量法求空间距离复习讲义 考点目录 等体积法求点到面的距离 空间向量法求空间距离 知识点解析 1.空间向量与空间距离问题 空间距离问题 向量表示 若点P为平面a外一点，点M为平面a内任一点，平面a的法向量为， 点到平面的距离（向量法） 则d=MP.cos(MP,n=MP MP.n MP.n 等体积法是利用四面体（三棱锥）的体积不变性来求点到平面距离的方 法，核心思想是“同一个四面体用不同底面和高计算体积时结果相等” 对于四面体P-ABC,若要求点P到平面☑BC的距离h,可： (1)以平面ABC为底面，P到平面ABC的距离h为高，计算体积 点到平面的距离（几何法） 1 VS.nch (2)再选择另一个易求高的面（如aPAB、△PBC或△PAC)作为底面， 计算同一四面体的体积3： (3)通过体积相等V='2,解方程求出h 若点P为直线m外一点，M为直线m上一点，直线m的方向向量为m, 点到直线的距离 则 PM 异面直线的距离 己知直线AB与CD为异面直线，与AB与CD均垂直的向量为n,直线AB与 CD上各取一点形成m, 立体几何：等体积法求点到面的距离、空间向量法求空间距离复习讲义 考点一 等体积法求点到面的距离 【例题分析】 例1.(2026陕西榆林·模拟预测)如图所示，在正四棱柱ABCD-A,B,CD,中，E为BB,的中点，AB=BE=1. D B A E B (I)求点B到平面A,EC的距离； (2)求二面角A-EC,-A,的正弦值. 【答案】03 ②22 3 【详解】(1)设点B到平面AEC,的距离为d, 因为ABCD-A,B,C,D,是正四棱柱，E为BB,的中点，AB=BE=1, 所以A,E=C,E=AC,=V+1=√2， 1 2 解得d3,故点B到平面4EC,的距离为V3 3 (2)以BC,BA,BB,所在的直线分别为x,y,2轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 立体几何：等体积法求点到面的距离、空间向量法求空间距离复习讲义 ZA D B 因为AB=1,A4=2,所以A(0,1,0),A,(0,1,2),E(0,0,1),C(1,0,2), 则EC1=(1,0,1),EA=(0,1,1),EA=(0,1,-1), 设m=（x,y,)为平面A,EC,的法向量， mEC=0 所以 即/5*名=0 m·EA=0 +名=0令x=1,得y=1,名=-1， 所以平面AEC的一个法向量为m=(L,L,-1), 设i=（x2,2,22)为平面AEC的一个法向量， i.EC=0m∫x3+z2=0 n-扇=0' 所以 -=0令5=1，得为==-1， 即 所以平面AEC的一个法向量为元=(1，-1，-1)， 设二面角A-EC,-A,的平面角为O, m.n 1×1+1×-)+(-1)×-1) 1 因为cosm,i= m同P+1P+-1×+-12+-3” 则sin0=V1-cos2m,i= .22 V931 所以二面角4-EC-4的正弦值为25 例2.(25-26高二下·浙江·开学考试)如图，三棱柱ABC-A,B,C的各棱长均为2，侧面BCC,B,⊥底面ABC, ∠B,BC=60°，E,F分别是棱AB,B,C的中点. 立体几何：等体积法求点到面的距离、空间向量法求空间距离复习讲义 B E (I)求点B到直线EF的距离； (2)求直线EF与平面ABB,A所成角的正弦值. 【答案】（①） 4 20 10 【详解】(1)取BC中点O,由∠B,BC=60°，结合菱形BBCC,可知B,B=B,C,所以B,O⊥BC, 又因为平面BCCB,⊥平面ABC,平面BCC,B,∩平面ABC=BC,B,OC平面BCC,B, 所以B,O⊥平面ABC, 由于底面是等边三角形ABC,所以AO⊥BC, 则建立如图空间直角坐标系O-灯z, ZA A E B 已知条件可：A0aE90 .po.o.J5ysF-a0,gF-[很-5 所以cos(BF,EF）T 语-年-a- 所点黄直线的距真为=水-w8F丽-y名 (2)根据已知条件可知：B(0,0,V3),B(-1,0,0),A0,V3,0), 则BA=(1,V3,0),BB,=(L,0,V3), 设万=(x,y,z)是平面ABB,A,的法向量， 立体几何：等体积法求点到面的距离、空间向量法求空间距离复习讲义 元.BA=0x+V3y=0 则 i.BB=0x+3z=0 令x=√5，可得i=(3,-1,-1), 设直线EF与平面ABB,A所成角为O, 则sin0cos<元，E水iEF=5-io EF5.√610 故直线EF与平面ABB,4所成角的正弦值为10 10 例3.(25-26高二上·湖南娄底期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD为直角 梯形，ADI/BC,AD⊥AB,PA=AD=AB=2,BC=1,M,N分别为PC,PB中点. D M 0 A B C (I)求证：PB⊥DM. (②)求BD与平面ANMD所成角的余弦值. (3)求点C到平面PBD的距离. 【答案】()证明见解析 23 2 33 3 【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,ADc平面ABCD,所以PA⊥AD, 又因为AD⊥AB,AB∩PA=A,且两直线在平面内，所以AD⊥平面PAB, 因为PBc平面PAB,所以AD⊥PB, 因为PA=AB=2,且N为PB中点，所以AN⊥PB, 又因为AN∩AD=A,所以PB⊥平面AWMD, 又因为DMC平面AMMD,所以PB⊥DM. (2)连接DN,因为PB⊥平面AWMD,PBO BD=B,所以∠BDN为BD与平面AMD所成角， 又因为PA=AB=2且PA⊥AB,N为PB中点，所以AN=√2， 所以ND2=AN2+AD2=2+4=6,即ND=V6, 5 立体几何：等体积法求点到面的距离、空间向量法求空间距离复习讲义 又因为AD=AB=2且AB⊥AD,所以BD=2V2, 所以cos∠BDN= ND√6√5 BD 22 2 所以BD与平面AMD所成角的余弦值为5 D (3)由已知得，BD=√AB2+AD2=22,PB=√AB2+AP2=2N2, PD=AP2+AD2=22 V-ncp=SAwpxPA-xx2xlx2-2 11 3 32 设点C到平面PBD的距离h, 则pm-5ao×h=×5×22x2V5x5x有=25 11 xh= 32 2 h. 由o=北m·即号25：解得-当，即点C到平面PBD的距离为 = 33 【变式训练】 变式1.(24-25高二上内蒙古包头月考)如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形， AB=2,AD=PD=1,M,N分别为PB,CD的中点. B (1)求证：MN面PAB; (2)求C到平面AMW的距离. 【答案】()证明见解析 3 3 【详解】(I)PD⊥底面ABCD,AD,DCc平面ABCD, PD⊥AD,PD⊥DC, ~底面ABCD为矩形，·AD⊥DC, 6 立体几何：等体积法求点到面的距离、空间向量法求空间距离复习讲义 ∴以D为原点，分别以DA,DC,DP所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图， P 则根据题意可得： D0,0,0),A1,0,0),C(0,2,0), P008L,20,M[分}N10. -（号0-》A=0--a20. wA=1+0+=0w6=0, .MN⊥PA,MN⊥AB,又PA∩AB=A,PA,ABc平面PAB, :MN⊥面PAB; (2)设C到平面AMN的距离为h. 由(1)可知MN⊥AM. :PD⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形，AB=2,AD=PD=1, M,N分别为PB,CD的中点， 6√2 N-6AN=2.MN=20 42 1625 S.AMN 一X -X 2224 1 :SAANC=2 1 ×1×1= 2 由'c-AMw=VM-ANc, .11113 3×2234 h, :A:9,即C到平面AN的距肉为 3 变式2.(25-26高三上广东·月考)如图，在各棱长均相等的三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=2,四棱锥A-BB,CC的 体积为2 3 立体几何：等体积法求点到面的距离、空间向量法求空间距离复习讲义 A B (I)求点A到平面ABC的距离： (2)若平面AB,C,⊥平面ABC,求直线AB,与平面AA,CC所成角的正弦值 【答案】()1 Rg 7 【详解】（1)ae=V4-Aac+-caG=2,c=2,-4c,四棱锥A-BB,CC的体积为2V5 3 所以VA-Bc= 3 3 记点A到平面ABC的距离为d,Vg-c=V4-ABc= Scd,于是1= _3c=5 =1 S wc 4x 4 (2)取B,C上一点N使得AN⊥B,C, 由己知平面AB,C⊥平面ABC,而ANc平面ABC,平面AB,C,∩平面A,B,C,=B,C1, 故AN⊥平面A,B,C,又ANC平面AB,C, 所以AN上AN,于是由勾股定理得AN=VAA-d=5, 由平面几何知识知N为B,C中点，可知A,N⊥B,C 以A为坐标原点，AN的方向为x轴正方向，BC的方向为y轴正方向，AN的方向为z轴正方向，建立空间直角坐 标系A-灯z 7 B R 于是A(0,0,0),B(0,-1,1),C(V3,1,0),A(-V3,0,1),AB1=(0,-1,), AC=(V5,1,0),AA=(-3,0,1) 6 立体几何：等体积法求点到面的距离、空间向量法求空间距离复习讲义 设平面AAC,C的一个法向量为i=(x,y,z, [元.AC=0n∫3x+y=0 则 即 可取元=1，-√5,3， iA4=0 -V3x+z=0 设直线AB,与平面AACC所成角为O, AB· 则sin0=cos(AB,i 2V3 √42 ABV1+1V1+3+3 7 变式3.(25-26高三上河南月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=90°，AB1ICD,AB=2CD, PA=PD=CD=BC=I,PB=√3 B (I)证明：平面PAD⊥平面ABCD; (2)求点C到平面PBD的距离. 【答案】()证明见解析 ② 【详解】(1)因为PA=1,PB=V5,AB=2,所以PAP+PB2=AB2,故PA⊥PB, 取AB的中点M,连接DM,如图所示： 因为48=2CD,放BM=4B=CD, 又因为ABIICD,即BM IICD,故四边形BCDM为平行四边形，所以BCIDM且DM=BC=1, 因为∠ABC=90°，故∠AMD=90°，即DM⊥AB, 所以AD=√AM2+DM2=+1=V2, 因为PA=PD=1,所以PA2+PD2=AD2,故PA⊥PD, 因为PB∩PD=P,PB、PDc平面PBD,所以PA⊥平面PBD, 因为BDC平面PBD,所以BD⊥PA, 因为BD=√BC2+CD2=+1=√2，且AB=2,故AD2+BD2=AB2,则BD⊥AD, 因为ADPA=A,AD、PAC平面PAD,所以BD⊥平面PAD, 因为BDC平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD (2)设点C到平面PBD的距离为h,则Vc-Pn='-BcD, 0 立体几何：等体积法求点到面的距离、空间向量法求空间距离复习讲义 取AD的中点E,连接PE,如下图所示： D A M B 因为PA=PD,则PE⊥AD, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,PEC平面PAD, 所以PE⊥平面ABCD, 因为PAL PD,所以PED2 2 医为5o-0-ac-1x1-分am-mpE×9吾 32212 为B0平面PAD,PDc平面P4D,所以BDL PD,放S号D:PDX2×1Eb 0m心e时号晋.指 1 32 12 故点C到平面PBD的距离为； 10立体几何：等体积法求点到面的距离、空间向量法求空间距离复习讲义 立体几何：等体积法求点到面的距离、空间向量法求空间距离复习讲义 考点目录 等体积法求点到面的距离 空间向量法求空间距离 知识点解析 1.空间向量与空间距离问题 空间距离问题 向量表示 点到平面的距离（向量法） 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为， 则. 点到平面的距离（几何法） 等体积法是利用四面体（三棱锥）的体积不变性来求点到平面距离的方法，核心思想是“同一个四面体用不同底面和高计算体积时结果相等”. 对于四面体，若要求点  到平面的距离 ，可： （1）以平面 ABC 为底面，P 到平面 ABC 的距离 h 为高，计算体积； （2）再选择另一个易求高的面（如、 或 ）作为底面，计算同一四面体的体积 ； （3）通过体积相等 ，解方程求出. 点到直线的距离 若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为， 则. 异面直线的距离 已知直线与为异面直线，与与均垂直的向量为，直线与上各取一点形成， 考点一 等体积法求点到面的距离 【例题分析】 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，在正四棱柱中，为的中点，． (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值． 例2．（25-26高二下·浙江·开学考试）如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，，E，F分别是棱，的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求直线EF与平面所成角的正弦值． 例3．（25-26高二上·湖南娄底·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【变式训练】 变式1．（24-25高二上·内蒙古包头·月考）如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别为的中点． (1)求证：面； (2)求到平面的距离． 变式2．（25-26高三上·广东·月考）如图，在各棱长均相等的三棱柱中，，四棱锥的体积为. (1)求点到平面的距离； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 变式3．（25-26高三上·河南·月考）如图，在四棱锥中，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离． 考点二 空间向量法求空间距离 【例题分析】 例1．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． (3)若，求点到平面的距离． 例2．（2026·吉林白山·二模）在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点，为的中点，求： (1)异面直线与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离； (3)二面角的余弦值． 例3．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值. 【变式训练】 变式1．（2026·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知在三棱锥中，为等边三角形，平面平面，，分别为的中点． (1)求证：平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)求点到平面的距离． 变式3．（2026·广东梅州·一模）如图，在斜三棱柱中，侧面底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $