采用非坐标向量与等积法求空间角及距离 讲义-2026届高三数学二轮复习

采用非坐标向量与等积法求空间角及距离 （一）异面直线所成的角 如图（一），空间四边形OABC中，异面直线OA与BC所成的角可由非坐标向量求得： cos< >= = = = = ， cos=|cos< >|=| |； 这里，只是提供求异面直线所成角的一种思路，并非强化该公式的记忆；不能否认，建立空间直角坐标系，将向量用坐标表示，是解决立体几何问题的最为基本且最为重要的思路；但并不是说，这一思路是万能的，如在正四面体、斜棱柱等几何体中求空间角时，往往纠结于空间直角坐标系的建立及坐标的求出，至于简化运算并顺利得出正确结论更是无从谈起。因此，利用类似上述非坐标向量法，求异面直线所成角就是一种十分重要的思路。 （二）线面角，面面角 利用等体积法求出已知直线（或面）上的一点到对应平面的距离，然后求出线面角，面面角的大小； 如图（二），在四棱锥P-ABCD中，PO面ABCD于O，PMAB于M， 则直线PB与面ABCD所成角的正弦值为 ； 面PAB与面ABCD夹角的正弦值为 ； 事实上，PO面ABCD于O，ABPOAB，PMAB， POPM=P，ABABOM，即为 二面角P-AB-C的平面角，得sin= ； （三）异面直线的距离与直线（或点）到平面的距离 如图（三），已知异面直线a与b，直线a⊂在a上任取一点A，过点A作AB于点B，直线a与直线AB确定的平面与平面必定相交，设⋂=m，∵a∴a//m ；∵a与b为异面直线，∴直线m与b必定相交，设⋂=D；在平面内，过点D作DC，DC交a于点C；∵AB，∴CD ⊂⊂∴CDm，CDb，∴四边形ABDC为矩形，∴CD=AB 且CDa；得线段CD为异面直线a与b的公垂线段，线段CD的大小即为异面直线a与b的距离。 由此可见： 如果两条异面直线中的一条直线平行于经过另一条直线的一个平面，那么这条直线（或这条直线上任意一点）到该平面的距离等于这两条异面直线的距离。 值得注意的是，在（二）、（三）的描述过程中都涉及到距离(或高)，而等体积法求距离就是一种实用性与技巧性很强的方法；等体积法是指在解答立体几何时，通过转换四面体的顶点和底面，利用同一四面体体积的不变性，建立等量关系求出未知元素的方法。 （4） 实例 1. 已知如图（实例1（1）图），在棱长为a的正四面体P-ABC中， （1） 求PA与BC所成的角的余弦值； （2） 如图（实例1（2）图），E，F分别为AB，AP的中点， 求异面直线CE与BF所成角的余弦值； 解析：（1）、 =||cos< >+||cos< > =+=0； 得=0， 即PA与BC所成的角为； （2）、如图（实例1（2）图）， 一方面： =（- ） = - - + = cos- cos- + cos=- ； 另一方面： = aacos< >= cos< >； 得 cos< >=- ； ∴cos< >=- ， 即异面直线CE与BF所成角的余弦值为 ； 2.已知如图（实例2（1）图），四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD， PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900， （1） 求点A到平面PBC的距离；PA与面PBC所成角的正弦值； （2） 求AD与PC所成的角的大小；AD与PB所成的角的大小； （3）求二面角A-PB-C的正弦值； （4）求异面直线PA与CD的距离；异面直线PA与BC的距离； 解析： （1）、如图（实例2（1）图），∵ PD面ABCD ，⊂,∴PD；∠BCD=900，∴CD，由CD=，∴面； 由⊂,∴PC； 设A到面的距离为，由=得 = ； 得=， ∴点A到平面PBC的距离为； 由题意得AD=，PA=， 与面所成角的正弦值sin= = = ； 即PA与面PBC所成角的正弦值为； （2）、如图（实例2（1）图）， 一方面： = +0 =||cos< >=cos=-， 另一方面：||cos<> =; ∴=； 得= - ， 即AD与PC所成的角为； ∵ =-||cos∠APB+||cos∠DPB = +1=0， 得= 0， 即AD与PB所成的角为； （3）、如图（实例2（2）图） ，在面PAB内作AQPB于Q， 在⊿中，=，=，=2，=2=， ∴=，∴AQ=； 记二面角A-PB-C的大小为，则sin= = = ； 即二面角A-PB-C的正弦值为 ； （4）、∵CD//AB，由⊄面，⊂，∴//， ∵⊂，∴异面直线PA与CD的距离等于CD到的距离（或点C的距离）； 设C到面的距离为，在⊿中，=，=，=2， =2=， 由=得 = ；得=， ∴异面直线与的距离为； 如图（实例2（3）图） ，在平面ABCD内过A作AE//BC，AE与CD的延长线交于点E， 连接BE，PE， ∵BC//AE，由⊄面，⊂，∴//， ∵⊂，∴异面直线PA与BC的距离等于BC到的距离（或点B的距离）； 设B到面的距离为，在⊿中，=，=，=1， ∴=， =1=， 由=得 = ； 得=， ∴异面直线与的距离为； 3.如图（实例3（1）图） ，在棱长为a的正方体ABCD-中， （1）、求与的距离； 解析：如图（实例3（2）图），连接BD,A，⊄面BD ， ⊂面BDD1，//D，∴//面BD， 得与BD1的距离等于点A到面BD的距离h； 由= 得 BD=AD ， 即 =， ∴= ， 即与的距离为； （2）、求与所成的角； 解析：如图（实例3（2）图），//，∴D与B的角即为与所成的角； 在⊿BD中，tanBD= = =，∴BD=arctan， 即与所成的角为arctan； （3）、如图（实例3（3）图），求到面的距离； 解析：设到面的距离为， 由=得 = ，得=， 即到面的距离为； （4）、如图（实例3（3）图），求面与面的距离； 解析：连接，，设与交于点O， 四边形是正方形，∴BDAC,面ABCD，⊂ ∴BD,AC ⋂=C,∴BD面AC ，⊂,∴BD； 同理可得D，由BD=，得面； //，=，∴四边形是平行四边形， ∴；⊄面，⊂，∴//； 同理BD//；B=B,∴面//面， ∴； 由（3）得点A到面的距离为，=， ∴面与面的距离为- - = 。 （5）、如图（实例3（4）图），求与面所成角的正弦值； 解析：由（4）得点A到面的距离为， 与面所成角的正弦值sin= = = ； （6） 、如图（实例3（4）图），求面AB与面所成角的大小； 解析：如图（实例3（5）图），连接B,B交于M，连接M，显然M为面AB与面的交线；在⊿AM中， 作ANM于N，A=a，AM=M= = a， cosAM===，sinAM= ，AN=AMsinAM=a = a， 面AB与面所成角的正弦值为sin= = =； 即面AB与面所成角为. （7） 、如图（实例3（6）图），点E为BC的中点， 求E与B的距离； 解析：延长AB到点F，连接EF，BC1， 使得BF=AB，由（4）同理可得BD1//面EFC1， E=EF=a，FC1=a，=a = ， 设B到面EFC1的距离为，由=得 =， 得=，∴B到面的距离为； 即E与B的距离为； （8）、如图（实例3（6）图），求C1E与BD1所成角的余弦值； 解析：方法一：由（7）得BD1//C1F，C1E与C1F所成的角等于C1E与BD1所成的角；cosEF= = ， 即C1E与BD1所成角的余弦值为； 方法二： 一方面： =0+=|cos< > =a=a； 另一方面：=||cos< > =a; ∴a=a； 得= = ， 即C1E与BD1所成角的余弦值为； （9）、如图（实例3（7）图），求C1E与ABD1所成角的正弦值； 解析：取的中点G，连接BG，则BE//G且BE=G， ∴四边形BE=G是平行四边形，∴BG//E，得BG与ABD1所成角 等于C1E与ABD1所成角；取的中点Q，连接AQ，BQ，同理 可得GQ//AB，由⊄面，⊂，∴//， ∴点Q到面的距离等于点G到面的距离； 设Q到面的距离为， 由=得 = ；得=， ∴BG与ABD1所成角的正弦值sin= = = ； 即C1E与ABD1所成角的正弦值为 ； 4. 如图（实例4（1）图），在三棱锥P-ABC中， PA=BC=,PB=AC=AB=,D为AC的中点。 （1） 求AB与PD所成角的大小； （2）若二面角P-AB-C的大小为，求直线AC与面PBC所成角的大小. 解析： （1） =||cos< >+||cos< > =+ ==0; 得=0， 即PD与AB所成的角为； （2）由+=2+4=6=,得∠APB=, 同理=， 作PO面ABC于点O，在面ABC内过点O作AB于E，连接PE，由⊂,∴AB；PO=，得面；⊂, ∴AB；∴为二面角的平面角；∴=； 在⊿PAB中，=== = ，BE=， AE=； ∴PO=in= =1,OE=； 在⊿中，如图（实例4（2）图）， EO交AC于点F，连接OC，由⊿⊿得 = = ，即 = = ，∴EF=，AF=； ∵二面角P-AB-C为，点O不可能在二面角P-AB-C 的外部，由于OE=EF=，点F与点O重合，∴ OC= 1； 在Rt⊿中，==； 在⊿中，cosPBC==，sinPBC=； 设A到面的距离为， 由=得 = ， 即 = ，得=； ∴直线AC与面PBC所成的角的正弦值sin= = ，∴=； 即直线AC与面PBC所成的角为。 5.如图（实例5图），在四棱锥P-ABCD中，BC//AD，AB=CD=1，BC=PA=PC=PD=2，AD=3， 求直线AB与直线PD所成的角； 解析： 在平面ABCD内，过点C作CE//AB,CE交AD于点E，∵BC//AD, ∴四边形ABCD是平行四边形，得CE//AB,CE=AB=1,AE=BC=2, AE=BC=2,DE=AD-AE=1，设PE=x, 在ΔPAE中，由余弦定理得： =+-22xcos， 即=4xcos， 在ΔPDE中，由余弦定理得： =+-21xcos，+2xcos=3， ∴2+=6，x=，即PE=； 在ΔPCE中，= = ， 一方面： =||cos< >+||cos< > = - = - =1， 另一方面：=|cos< >=2cos< >， 得2cos< >=1，cos< >= ，∴< >=， 即直线AB与直线PD所成的角为； 6.已知如图（实例6（1）图），二面角的大小为，线段AB，CD分别在内，ABMN于点B,CDMN于点D，BD=3，CD=4，AB=2， （1）求AC； （2）求直线与MN的距离 ； 解析： （1）方法一： 作AO面于点O，连接OB，OC，如图（实例6（2）图），由⊂,∴MN；ABMN，ABOA=，得面；⊂, ∴MN；∴为二面角的平面角；∴=； 在Rt⊿ABO中，BO=ABcosABO= =， AO=ABsinABO= =， 在四边形BOCD中，∵CDMN，CO= ==3； 在Rt⊿AOC中，AC== = ； 方法二： ∵二面角的大小为，BC⊂，BA⊂，ABMN于点B，CDMN于点D，得与的夹角的大小等于二面角的大小，即< ， >=； 一方面： =4cos< ， > =4cos=4， 另一方面：=(-)=- =-cos= ，∴=4； ∴==-2+=-4+=21； ∴=，即AC=； （2） 如图（实例6（3）图），在内，过D作DE//AB， 过A作AE//MN， DE与AE交于点E，连接CE，∵ABMN,∴四边形ABDE为矩形，∴DEMN， ∵CDMN，DEDC=D，∴MN面CDE， ∵AE//MN,∴AE面CDE；∴为二面角的平面角； ∴=； ∵//AE，由⊄面，⊂，∴//， ∵⊂，∴异面直线MN与AC的距离等于MN到的距离（或点D的距离）； 设D到面的距离为， 由=得： = ， 即 = sin3，得=； ∴直线AC与MN的距离为2. 7.如图（实例7（1）图），在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PAAB，PA=AB=2，BAD=。 （1） 设P在平面ABCD内的射影为Q， 求证：cosPAD=cosPAQcosQAD； （2）若cosPAD = ,求直线PC与平面PAD所成角的正弦值。 （1）证明：如图在面ABCD内，过点Q作QEAD于点E，交BC于点F，连接PE，PF，如图（实例7（2）图）， ∵，∵PAAB， ∵ PQ=P，∴AB面PAQ，APQ，∴ABAQ； 同理得PEAD，PFBC； 在Rt⊿PAQ中，AQ=APcosPAQ， 在Rt⊿QAE中，AE=AQcosQAD=APcosPAQcosQAD， 在Rt⊿PAE中，AE=APcosPAD， 得APcosPAD=APcosPAQcosQAD， cosPAD=cosPAQcosQAD； （2）如图（实例7（2）图），BAD=，由（1）得QAD=， AE=APcosPAD=2 = ，AQ= = = ， QE=AQsinQAD= = ，PQ== =1； 在菱形ABCD中，EF=ABsin=2 =， BF=AE-ABcos= -2 = ，CF= ， QF=QE+EF=，==1+= ， PC== =； 设的距离为h， 由= 得AP=DAPQ ， 即 2=21， 得h= ， 令PAD所成角为， 则= = = ， 即PAD所成角的正弦值为。 8.如图（实例8图），A，B，C是圆柱的底面圆周上的三个不同的点，AC为直径，，均为该圆柱的母线，若AC=2，=3，ACB=， 求C所成角的正弦值 ； 解析：由题意得AB=1，BC=，C=2，= ，，BM=， 在面ABC内作BMAC于M， ∵ ∵ AC=C，∴BM面AC， ∵//，⊊面AC，AC，//面AC， 得到面AC的距离等于BM，即为 ； 在⊿A中，cosCA= = = ，sinCA=， 设的距离为h， 由= 得ACBM= ACh 即 2 = 2h， 得h= ， 令C所成角为，则= = = ， 即C所成角的正弦值为。 9.如图（实例9（1）图），在菱形ABCD中，∠A=600,AB=2,E为AB的中点，将E沿DE翻折至E，得到四棱锥-BCDE. （1） 证明：平面BE平面BCDE； （2） 当二面角DE-C为1200时，求C和平面DE所成角的正弦值。 解析： （1） 如图（实例9（1）图），连接BD，由题意得AB=AD，∠A=600,∴⊿ABD是等边三角形，∵E为AB的中点，∴DEAB； 如图（实例9（2）图），DEE，DEEB，∵E ⋂EB=E, ∴DE⟂平面EB；∵DE⊂平面BCDE,∴平面BE平面BCDE； （2）由（1）得EB为二面角DE-C的平面角，∴EB=1200， 在面BE内，如图（实例9（2）图），作FEB于E， ∵平面BE平面BCDE=EB，平面BE平面BCDE，∴F⟂平面BCDE； F=Esin=1= ； =+=-+2， ∴==++4-2 +4-4=++4-20+40-411cos=10， ∴=； 设C到面DE的距离为，由=得 = ，得=， ∴C和平面DE所成角的正弦值为 = = ， 即C和平面DE所成角的正弦值为. 10.如图（实例10（1）图），在四棱柱ABCD-中，底面AB是矩形，=2AB=2，=,BD. （1） 求证：AD （2）若D与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值。 解析：（1）在⊿中，=，=，=1， ∴=； 则 =(+ )=+ - - =0+ 0- +cos =-1+=-1+1=0； 即AD； （2） 由（1）得AD面B，面ABCD， 过作E面于E，⊂面， 直线DE交于F，连接F，如图（实例10（2）图）， ⊂F⊂ ∴, ； ⋂=, ∴面DF ，⊂,∴； 由题意得sinDF=，cosDF=，tanDF=， ∴=tanDF== ；DF== =； 设AD=a,在Rt⊿中，由=1a得a=1， ∴底面AB为正方形，=； 在▱中，过D于G，由=得 2=，∴= ； 设到面的距离为，由=得 =，即2=1，得=， 平面与平面夹角的正弦值为sin= = =， ∴cos= ， 即平面与平面夹角的余弦值为。 11.如图（实例11（1）图），四边形ABCD为等腰梯形，AB=2， AD=DC=CB=1，将⊿ADC折起，使得平面ADC平面ABC，E为AB的中点。 （1） 求证：BCAD； （2） 求点E到平面BCD的距离。 解析：（1）如图（实例11（1）图），作CFAB于F， 由题意得BF= = BC，∴B=， =+-2ABACcos=+-21 =3， 得=+，∴；如图（实例11（2）图）， 平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABC=AC，BC平面ABC,BCAC， ∴BC平面ADC，AD平面ADC，∴BCAD； （2）如图（实例11（2）图），设点E到平面BCD的距离为h， 由=得 = ， 即 = ，得= ， ∴点E到平面BCD的距离为； 12.如图（实例12（1）图），在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=PB，AB=2，BAD=，点C到平面PAB的距离为 ， （1） 求面PAB与面ABCD的夹角； （2） 设PC与面ABCD所成的角为，求的值； 解析：（1）作PO面ABCD于O，在面PAB内，作PM面AB于M，连接OM，AC，由题意得PM=2，= 22=2， =22sin=， 由= 得PO= ，∴PO=2，得= ； 面PAB与面ABCD夹角的正弦值为 = ， 即面PAB与面ABCD的夹角为； （2）如图（实例12（2）图）， 在面ABCD内，连接OB，OC，显然OMAB，OM=1，BM=1，OB=，OBM=，OBC=，在⊿OBC中， =+-2os=24 -2=8-2； ∴=+=11-2； ∴=(= = ； 亦可采用向量法解答： =(++)=++ =0+||cos+||cos=-12 =1-， ==+2 +=5+2(1-)+4=11-2； ∴11-2； ∴=(= = ； 13.如图（实例13（1）图），在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰梯形，AB//CD，CD//EF， AB=DE=EF=CF=2,CD=4，AD=BC=,AE=2,M是CD的中点； 求二面角A-EM-B的正弦值。 解析：如图（实例13（2）图），由已知易得DE=DM=EM=2，AD=AM=，取DM的中点N，连接AN，EN，∴EN⟂DM, AN⟂DM,EN=,AN=3, ∴EN2+AN2=12=AE2 ， ∴AN⟂EN,∵DM⋂EN=N, ∴AN⟂面CDEF, 同理EN面ABCD,CD面AEN； ==， = + =4+12=16，BE=4， 在BEM中，cosBEM===； sinBEM=， ==， 设A到面BEM的距离为， 由=得 = ，得=； 在AEM中，作AG⟂EM于G，cosAEM= = = ， sinAEM=，AG=AEsinAEM= = ， 二面角A-EM-B的正弦值为= = . 14.如图（实例14（1）图），直四棱柱ABCD-的底面ABCD是菱形，BAD为锐角，E，F分别为棱，CD的中点，点M在棱上，且=3，A=AB=4，点P在直线EM上。 （1） 证明：EM//平面AF； （2） 若直四棱柱ABCD-的体积为32，当直线FP与平面F所成角的正弦值最大时，求MP的长。 解析：（1）如图（实例14（2）图），取的中点G，连接FG，由G//DF且G=DF得四边形GFD为平行四边形，∴D=FG且D//FG， 即A=FG且A//FG；同理可得G=AF且G//AF；由EM是⊿AG的中位线得EM=G，EM//G//AF，∵由⊄面AF，⊂， ∴//； （3） 由=A=4=32 得=，BAD为锐角，∴BAD=； 在⊿EM中，= + -2cosM = + -2cos=7，∴=； 由（1）得点P到平面F的距离等于点C到平面F的距离，为一定值，∴当FP取得最小值，即FP为点F到直线EM的垂线段的长时，直线FP与平面F所成角的正弦值最大； 在⊿EFM中，FM=,EF=， 如图（实例14（3）图），作FPEM于P,cosEMF= = = ， ∴MP=FM = = ； 即当直线FP与平面F所成角的正弦值最大时，MP的长为。 学科网（北京）股份有限公司 $