广东广州市培正中学2025-2026学年高二（崇社）上学期数学阶段学情调研

《2025学年祟社高二第一学期数学阶段学情调研》参考答案 题号 2 4 6 6 7 8 9 10 答案 0 B D A 0 ACD BD 题号 11 答案 ACD 1.D【详解】作出正切函数在[0，π)的图象如下图， 如图所示，当-l≤k≤5，即-1≤tana≤5， 解得0≤a<径或3≤a<,即0≤a≤60或135≤a<180,故选：D. 3 4 2.B【详解】由于两直线平行，所以号-受≠子，m=4,直线6x+心+7=0为6r+y+7=0, 7 即3x+2y+?=0,所以它们间的距离为d- -3- 2V13.故选B. 2 √32+222 3.C【详解】an能被3除余2且被7除余2，.an-2既是3的倍数，又是7的倍数， 即是21的倍数，且an>0,∴.an-2=21(n-1),即an=21n-19,∴.a。=21×6-19=107. 故选：C 4.A【详解】在直三棱柱ABC-ABC中，侧棱与底面垂直，则 AB·BC=(BB-BABB+BC)=BB+BB·BC-BA.BB-BABC =BB2-BA.BC=12-2×1×cos60°=0，故选：A. 5.B【详解】过B作准线的垂线BB,垂足为B,则BB=BF, 由|BC=V√2|BF|,得直线1的倾斜角为45. 设4小4+25，%号-9P2+25, =2+22+号又昨%+号2+25+p=4+2万，p=2.故选B 6.D【详解】设{an}的公比为q,则a1+q)=ag3,即1+g=q3, ×1-q a1×a1× 1-9 1-g S2S3 a0+9)x4x1-9Q9)x7,因为1+g=g, 1-9 所以1-g=1-q1+g=1-g-g=-9-g,所以=94=1，故选：D S2S3(1+q)×(-9) 答案第1页，共8页 7.A【详解】双曲线C:x2-y2=1渐近线方程为y=x,不妨取1：y=x,12:yx,即l1⊥12， 设Mxo,yo),过M与平行的直线方程为：y=x-xyo,过M与2平行的直线方程为乃： y-x+x0tyo,如图， 与2的交点A,由 =x-无+%，解得点A横坐标，=，必 (y=-x 2 乃与1的交点为B, =一x++%,解得点B横坐标，- y=x 2 则oA非21-0竖15-者，同墨1081，-0是，+， 则S,=l0408=之-上)，又F2.0,△0Hr为等腰直角三角形， 即1oHHF卡2cs45=1,则S=oHHF2所以S:S,=1,技选：A 8.D【详解】以A为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系， 由题意知：Ng=a+c,l2R=a-c,P(0,4),R(-3,0), 则直线PR:音+者=1，即4-3y+12=0, M 设2(n,0)(n<-3),则M(n,l), OR ÷点M到直线P限的距离d-+9-1,解得：n=- 7 5 Q=-3+号分即设直线PNy=+4g>0),即版-y4=0, 3、7,/ 点M到直线P的距离+B1解得：- 15 √k2+1Vk2+1 又直线kw<kp,k=8 =15,即直线Pw:8 15 x-y+4=0,令y=0,解得：x=-,助 9 1 a= 5小小g子54，即a+e=4: a-c= 4 2得： 7 椭圆离心率 a+c=4 C= 店)故选：D. 9.ACD【详解】A选项，因空间中任意两个向量是共面的，故若有两个向量共线，则这三 个向量一定共面，故A正确；B选项，若ab<0,则ā与b的夹角是钝角或者平角，故B 错误；C选项，若2a,b,c-a是共面的向量，则存在实数m,n使得c-a=2ma+nb, 答案第2页，共8页 即c=(2m+1)a+nb,则向量a,b,c是共面的向量，与向量a,b,c是不共面的向量矛盾， 所以2a6-云是不共商的肩量，放C正确：D选或。因日+子号1，则h空同向量共面 的推论可知，P,A,B,C四点共面，故D正确.故选：ACD 10.BD【详解】对于A,由圆的一般方程可知，圆的方程中无y项，故A错误；对于B, 代入点(1,3)得12+32-3×1×3=1，因此点(1,3)在曲线C上，故B正确；对于C,联立 +20,整理得x+2-3=0,因此直线x-y+2=0与曲线C的交点分别为 x2+y2-3xy=1 (-3,-1),(1,3),弦长为V1+3+(3+1)2=4W2,故C错误；对于D,设与y轴平行的直线 为x=t,联立 2+y-3四=1，整理得y-30+2-1=0,4=92-4〔-1)=5+4>0， x=1 故D正确.故选：BD 11.ACD 【详解】对于A,由抛物线焦半径公式得：F4=y+号=+1，解得：P=2,A正确： 对于B,由题意知：直线l斜率存在，设：y=c+m, x=2p四=4y得：2-4k-4m=0,4花=4m: 由 y=kx+m 由m=1得：x=4,则-5=1,00丽=5+=-3，B错误 16 对于C,若m=p=2,则xx2=-8<0,不妨设x<0<x2, 则Ss20013--25-)25(-习=4W2(当且仪当-x=6=25时取 等号)，即△OAB面积的最小值为4√，C正确： x xx2 对于D,直线PA的斜率为k4=上+m=44_生 x-+五-五2’ 2 2 直线P4的方程为y-片=吾k-,令=0得：%=产-)小归-子 点M的横坐标为=产，即M停0： 答案第3页，共8页 则直线M的斜率w=1-0。-2 0-x,kap-kup=-l,AP⊥MF, 2 同理可得：BP⊥NF,∴M,N,P,F四点共圆，D正确.故选：ACD 12.（-)【详解】向量8在向量6上投影向量为 cos(a. 6a.66-2+4+1(-2,1,1) 同 4品2训-(》 故答案为： 13.189【详解】由题意得5，-30-29=189，故答案为：189. 1-2 141详解】由题设可得圆的方程为-号》+y=p以，故圆心为？小 为抛物线的 焦点，所以CD=2p,所以A=4p.设直线1：x=+号，代入y=2px(p>0)得 y2-2py-p2=0,设直线1与抛物线E的交点坐标为A（x,y),B(x2,y2),则乃+y2=2pt, y=-p2,则|AB到=1+)(4p2+4p2）=2p1+)=4p,所以1+2=2，解得t=±1. 故答案为：±1. 15.(1)an=2"+2 ②4 【详解】（1)当n=1时，S1=a,=2a1+2-5,解得a1=3, 当n≥2时，Sn1=2a1+2(n-1)-5.可得S。-S1=2a,+2m-5-[2a-1+26-15], 整理得：an=2an-2,从而an-2=2(an-1-2)(n≥2)， 又4-2=1，所以数列{an-2是首项为1，公比为2的等比数列； 所以an-2=(a1-2)2-1=2，所以an=21+2,经检骏，a1=3满足am=2-1+2, 综上，数列{an}的通项公式为an=2-1+2; (2)由（1)得an-2=2-，所以an1-2=2”，所以bn=log2(an1-2)=n, 1=111 11+1+…十 aba+可员n中所以工+6+动" 1 rGg-g动-1品 答案第4页，共8页 16.(1)证明见解析 a子 【详解】（1)取AD中点M,连接PM,如图所示： 因为△PAD为正三角形，则PM⊥AD 面PAD⊥面ABCD,面PADO面ABCD=AD,PMC面PAD,则PM⊥面ABCD. ABC面ABCD,故PM⊥AB, 又AB⊥PD,PM,PDC面PAD,PMOPD=P,所以AB⊥面PAD, ADC面PAD,故AB⊥AD,则平行四边形ABCD为矩形 (2)如下图所示：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，设AB=t>0, 则4ao0.aita0叭.c20,Palw.可o2】 所以衣=20.-02]， AB=(6,0,0）,P=(0,15); .AC=x+2=0 设面ACE的法向量为n=(x,y,乙)， a+ 201 令x=2,则n=2,-4,3, 设点B到平面ACE的距离为d, 4B.n 则d= 2t √ 园 V4+t2+32 2,解得1=5. m·AB=√5x2=0 所以n=(2,-V5,3设面ABP的法向量为m=(x2,y2,22),则 m:Ap=y2+V322=01 令五=l,则m=(0-5,,则os(m,m= m·n 3+3 V0+3+1V4+3+94: 因为平面ACE与平面ABP所成角为锐角，所以平面ACE与平面ABP所成角的余弦值为 4 17.(1)(x-1)2+y2=2;(2)7. 【详解】(1)依题意，设圆D的方程为(x-a)2+y2=r2, 由圆D过点A2,1),B(0,1),得 (2-a)2+1=r2ma=1 Q+1=产，解得=2 答案第5页，共8页 所以圆D的方程为：(x-1)2+y2=2. (2)由（1)知，圆D:x2+y2-2x-1=0的圆心D1,0),半径r=√2，而点P(-3,), 以PD为直径的圆的方程为：(x+3)(x-1)+(y-t)y=0,整理得x2+y2+2x-y-3=0, 于是直线EF的方程为：4x-y-2=0, 点D到直线EF的距离为d=4-2=一2 6+VP+161eR, 4 则当2=0，即t=0时，=V万，即当t=0时，|EFm=v万， 所以线段EF长度的最小值为√， 18.(1)证明见解析(2)0 【详解】（1)证明：在△ABC中，设BC=2AB=2m,因为∠ABC=60°， 由余弦定理可知：cos∠4BC=4B2+BC2-AC2m2+(2m)2-AC21 2AB·BC 2×m×2m 解得AC=V3m,所以AC2+AB2=BC2,所以AB L AC. 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB, AB L AC,ACc平面ABCD,所以AC⊥平面PAB. 由PBC平面PAB,所以PB⊥AC. (2)连BD交AC于点M,连接PM,BQ,设PM交BQ于点H. 在△PBD中，过P作BD的平行线交BQ的延长线于N, 由PNIIBD,有PN:BD=P2:QD=1:2,则PN:BM=PH:HM=1:1, 所以点H为线段PM中点. 在△PAC中，因为直线AC∥平面C,平面PAC∩平面a=EF, 所以直线EF∥直线AC,且直线EF过点H,所以点E为线段PA中点. 以点A为坐标原点，AB,AC分别为x轴，y轴，过点A垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2. 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,23,0）,D(-2,2V5,0）,P1,0,5). 答案第6页，共8页 因为点E为线段PA中点，所以E 设平面BE2(平面BEF)的法向量为乃=(x,y,z), 面-c-@原，)， BE.n=0 3 -x+ 由 EF%=0’ 得 2 2 =0,令x=1,则月=0) V3y=0 设平面E0D(平面PAD)的法向量为元=(X,y,z),因为AP=(1,0,5),AD=(-2,2W5,0), AP.n2 =0 。,--小 得 AD.n,=0 所以cos(,乃) 乃1·n2 =0,所以二面角B-EQ-D的余弦值为0. 19.（1)亡+二=1；2)答案见详解，（3)证明见详解 42 【泽解]1)因为陆圆C过点（反.，代入椭圆方昆可得子+京=10， 又因为离心率为5，所以- ,从而a2=2b2②， 2 a 2 联立0@，解得a2=4,公=2，所以椭圆为+二=1： 42 x2 y2 (2)由4+2-1消去y,整理得9r2+8c+2m-4=0, y=2x+m 则△=64m2-36(2m2-4)=8(18-m2), 当△>0时，18-m2>0,解得-3√2<m<3√5，此时直线与椭圆有两不同交点，即相交； 当△=0时，18-m2=0,解得m=±3√2，此时直线与椭圆只有一个交点，即相切； 当△<0时，18-m2<0,解得m>3√2或m<-3√2，此时直线与椭圆没有交点，即相离； 综上，当m∈(-3V2,32)时，直线与椭圆有两不同交点，即相交； 当m=士32时，直线与椭圆只有一个交点，即相切： 当m∈(-∞-3W2U(3v2,+0)时，直线与椭圆没有交点，即相离： 答案第7页，共8页 (3)把y=+t代入椭圆方程+女=1，得(2k2+)x2+4kr+2(-2)=0, 42 所以△=(4k)2-8(2k2+1)(2-2)=8[2(2+1)-]>0, 4kt 2(-2) 设4，)，B(5,),则+名=2°+'西=22+1 2t 所以+y2=k(x+x2)+2t=, -2k2+1’ 因为四边形OAPB是平行四边形， 所以OP=OA+0B=(x+x,片+2)= 4kt 2t 2k2+1'2k2+1 4kt 2t 所以P点坐标为 2k2+1'2k2+1 又因为点P在椭圆上， 4k22 22 所以2k2+12+1 =1,即2=2k2+1 2 因为AB+k-x=+2V(x+x}-4xx, 221+kV2(22+1）25+ke 2k2+1 V2k2+1 又点0到直线1的距离d= V1+2) 所以平行四边形OAPB的面积 90m=28 .oBId=251L-=62平-6， V2k2+1V2k2+1 即平行四边形OAPB的面积为定值. 【点睛】思路点睛： 求解圆锥曲线中三角形（或四边形）面积相关问题时，一般需要联立直线与曲线方程，根据 韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，表示出面积，再结合题中条件，即可求解. 答案第8页，共8页2025学年崇社高二第一学期数学阶段学情调研 班级： 姓名： 考号： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.若直线1的斜率k的变化范围是-1，V3,则它的倾斜角a的变化范围是() A.0°≤au≤60 B.135°≤a<180 C.60°≤a<135 D.0°≤a≤60°或135°≤a<180 2.已知直线3x+2y-3=0与6x+my+7=0互相平行，则它们之间的距离是() A.4 B.3 c.2i3 D.73 13 26 3.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不 知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出 的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的 是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a。=() A.17 B.37 C.107 D.128 4.已知直三棱柱ABC-ABC中，∠ABC=60°，AB=2,BC=CC=1,则AB·BC的值为 () A.0 B.-1 C.√2 D.2 5.如图所示，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线1交抛物线于A,B两点，交其准线 于点C,若|BC=√2|BF,且|AF=4+22,则P的值为() A.1 B.2 c D.3 试卷第1页，共4页 6.记等比数列{o,}的前n项和为3.，且a+a,=a4,则g=（) S2S3 A.-2 B.-1 C.2 D.1 7.已知双曲线C:x2-y2=1的右焦点为F,直线l1、12是双曲线的两渐近线，FH⊥1，H是垂 足.点M在双曲线上，经过M分别与、2平行的直线与12、1相交于A、B两点，O是 坐标原点，△OFH的面积为S,四边形OAMB的面积为S2.则S:S2=（) A.1:1 B.12 C.23 D.3:2 8.如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P(当成质点)发出的光线照射后，在 桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点.若篮球的半径为1个 单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A,椭圆的 右顶点到A点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率等于() A. 3 c. D.g 二、多选题（每小题6分，共18分） 9.关于空间向量，以下说法正确的是() A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B.若a.b<0,则a与b的夹角是钝角 C.若向量a,b,c是不共面的向量，则2a,b,c-a也是不共面的向量 D.若对空间中任意一点0，有O=1OA+O+20C,则P,4,B,C四点共面 12 3 10.已知曲线C:x2+y2-3y=1,则() A.曲线C表示一个圆 B.点(1,3)在曲线C上 C.曲线C被直线x-y+2=0截得的弦长为4√5 D.曲线C与所有平行于y轴的直线都有交点 试卷第2页，共4页 11.已知点F为抛物线C:x2-2y(p>0)的焦点，直线1过点D(0,m)(m>0)交抛物线C于 A(G,y),B(x,)两点，FA=片+1，设0为坐标原点，P+立，m, 直线PA,PB与x 2 轴分别交于M,N两点，则以下选项正确的是() A.p=2 B.若m=1,则OA.OB=0 C.若m=p,则△OAB面积的最小值为4√2 D.M,N,P,F四点共圆 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.已知向量a=(1,4,1),6=（(-21,1),则向量a在向量6上投影向量为 13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,q=2,求S。=; 14.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点F的直线1与抛物线E交于A、B两点， 且直线1与圆×-px+y-2=0交于C、D两点若4=2C0,则直线的斜率 四、解答题（共77分） 15.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+2n-5. (1)求数列{an}的通项公式： (2)记bn=1og2(an1-2)，求数列 1 的前n项和Tn. bn·bnt 16.（15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD是边长为 2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥PD. (I)求证：平行四边形ABCD为矩形； (2)若E为侧棱PD的中点，且点B到平面ACE的距离为 2, 求平面ACE与平面ABP所成角的余弦值. B 试卷第3页，共4页 17.（15分)已知圆D圆心在x轴上，且过点A(2,1),B(0,1)两点. (1)求圆D的方程： (2)设点P(-3,t)t∈R)，以线段PD为直径的圆与圆D交于E,F两点，求线段EF长度 的最小值. 18.(17分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAB是等边三角 形，平面PAB⊥平面ABCD,BC=2AB,∠ABC=60°. (1)证明：PB⊥AC; (2)点Q在侧棱PD上，DQ=2QP,过B,Q两点作平面a,设平面a与PA,PC分别交 于点E,F,当直线ACIa时，求二面角B-EQ-D的余弦值. E 19.（17分)已知椭圆C荐+茶-a>>0过点（列，离心率为 2 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线1：y=2x+m,判断直线1和椭圆C的位置关系； (3)设直线1：y=@+t(t≠0)与椭圆C相交于A,B两点，若以OA,OB为邻边的平行四边 形OAPB的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OAPB的面积为定值， 试卷第4页，共4页