13.增量法讲义+训练-2026年高考数学二轮复习

专题13 增量法 【练】 1. 函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则的解析式为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析:因,将其向右平移个单位后可得.应选D. 2.如图所示，连接棱长为2的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点处向该容器内注水，注满为止.已知顶点到水面的高度以每秒1匀速上升，记该容器内水的体积与时间的函数关系是，则函数的导函数的图像大致是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】水形成的是一个四棱锥，故设时间为时，分，两种情况表示出水面的面积，进而求出水的体积公式，之后对体积表达式进行求导研究单调性进而得到最值. 【详解】正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体，棱长为，高为2， 设时间为时，当时，此时水面的边长为，，则，则水面的面积为，该容器内水的体积，当时，此时水面的边长为，，则，则水面的面积为，该容器内水的体积， ∴ 根据这两段上的导函数的解析式可得D是正确的. 故选：D. 3. 已知函数，则（    ） A． B． C．-6e D． 【答案】B 【分析】利用导数的运算法则求出，再利用导数的定义即可求出. 【详解】由题意得， 则 . 故选：B 4. 设，且恒成立，则n的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由基本不等式得出，，再由不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，，，所以不等式恒成立等价于恒成立. 因为，，所以（当且仅当时等号成立），则要使恒成立，只需使，故n的最大值为4. 故选：C 5. 已知函数有两个零点，则下列说法错误的是 A． B． C． D．有极小值点，且 【答案】C 【详解】试题分析：由题意得：方程有两个不等的根，即与有两个不同的交点，因为，所以在上单调递减且，在上单调递减且，在上单调递增且，因此且， A正确；因为，所以，设，则，因此令，则，所以，因此 B正确； 令，则，所以，因此，C错；由得，当时，，当时，，所以有极小值点，由得，因此D正确 6. . 【答案】/ 【分析】根据导数的定义求极限即可. 【详解】由. 故答案为： 1.已知函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的平移变换得到后，再根据诱导公式变为，然后利用图象重合列式可得结果. 【详解】函数的图象向右平移个单位后,得到， 依题意可得 ， 所以 因为，所以，. 故选：A. 2. 已知等比数列满足，，则使得取得最大值的为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】先根据条件相除求出等比数列公比，再代入求首项，即得等比数列通项公式，最后逐一验证得结果. 【详解】，∴，，∴，∴，，，，，，，令 ，则，当时，， 可知当时，取得最大值 故选：B 3. 关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是的极大值点 B．函数有2个零点 C．存在正整数k，使得恒成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 【答案】D 【分析】对A，求导得到单调区间即可判断； 对B，对函数求导得出单调区间即可进一步得到结果； 对C，分离参数，通过的单调性和函数变化趋势即可判断； 对D，根据函数f(x)的单调性，将自变量比较大小转化为函数值比较大小，用极值点偏移的方法得到结论. 【详解】对A，，函数在单减，在单增， 是的极小值点，A错误； 对B，，函数在单减，至多一个零点，B错误； 对C， ，令，则， 设，则，函数在单增，在单减， 所以，∴， 则函数在单减，无最小值，且当时，，C错误； 对D，不妨设，易知， ，且， 因为函数在单增，则， 即证：，记， 所以，所以在单减，所以， 即，所以，D正确. 故选：D. 【点睛】本题为函数的综合题，不论分参也好还是极值点偏移也好，还是零点问题、最值问题，最终都要对函数的单调性进行讨论，进而得到答案；需要注意的是，导数综合题一定要结合函数的图象辅助解决，平常注意对导数的题目进行归类，总结做法. 4. 如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈路线为，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形的特点结合路程关系进行判断即可. 【详解】小明沿走时，与点的直线距离保持不变， 沿走时，随时间增加与点的距离越来越小， 沿走时，随时间增加与点的距离越来越大.故D选项的函数图象符合题意. 故选：D 5. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C．函数图象的一个对称中心为 D．函数在上恰有5个零点，则实数的取值范围为 【答案】AD 【分析】对于A，首先求得，由结合求出即可判断；对于B，求导代入即可判断；对于C，由对称中心的纵坐标为即可判断；对于D，通过换元法即可判断. 【详解】对于A，由图可知，，， 解得， 所以， 而，从而， 解得，又因为，所以只能， 所以，故A正确； 对于B，对求导得， 所以，故B错误； 对于C，的对称中心的纵坐标应该是，故不是函数的对称中心，故C错误； 对于D，，， 将方程的根从小到大排列可得：， 因为函数在上恰有5个零点， 所以有五个根， 所以，解得，故D正确. 故选：AD. 6. 已知等比数列的前项和为，满足是的等差中项.设是整数，若存在，使得等式成立，则的最大值是 . 【答案】 【分析】首先需要依据条件求出等比数列的通项公式及前项和公式，然后把表示成的函数，最后根据是整数确定这个函数的定义域，从而找到这个函数值域，得到的最大值. 【详解】因为是的等差中项， 所以， 所以，， 所以等式，化为：， 因此， 因为为整数，所以， 当时，， 当时，， 当时，. 从而的最大值是16. 1. 若函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】先求解出右移个单位后的函数解析式，然后根据诱导公式求解出的可取值. 【详解】因为右移个单位后得到， 又因为与的图象重合， 所以令，所以， 所以可取，此时， 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据三角函数的图象重合求解参数或的思路： （1）先根据诱导公式将函数名统一； （2）然后分析三角函数初相之间的关系； （3）对进行取值（有时注意结合所给范围），确定出满足条件的或的值. 2. 如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的只有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知此函数的图象在[0,1]不是呈上凸的特征，进而可得出答案． 【详解】先研究对中任意的和， 任意恒成立， 令，则， 则上述结论变为， 即， 如图所示，是函数的图象上的任意两点， 则是线段上的一点（不包括端点）， 作轴交函数的图象于点， 则点的纵坐标为， 又因， 所以函数的图象是呈下凹的特征，故选项中的符合， 当对中任意的和， 任意恒成立， 由上分析可得函数的图象是一条直线，故选项中的符合. 故选：A. 3. 已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（    ）个 ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 函数有两个不同零点，转化为有两个交点，构造函数，判断单调性，利用数形结合，判断①，再根据①判断②，再根据零点,构造函数，判断选项③,根据零点判断④. 【详解】由函数有两个不同零点， 转化为有两个交点， 构造函数， ，则，故，所以在单调递增，而，可得图象如图所示 故在单调递减，在单调递增， 所以， 对于①，， 所以， 所以，故①正确； 对于②，由①可知，故， 因此 ，故②正确； 对于③，因为，所以，故， 所以， 则， 构造函数， 则，而， 所以， 所以， 因为，所以， 令，构造，显然单调递增，且， 所以 所以，故③正确； 对于④，由①可知，， 所以， 令，，显然单调递增，且， 所以，故④正确. 故选：D 4. 关于函数. ①的最大值为； ②最小正周期是； ③在区间上是减函数； ④将函数的图象向左平移个单位后，将与原函数图象重合. 其中说法正确的有 . 【答案】①② 【解析】由两角和的正弦公式、两角差的余弦公式把展开，再由辅助角公式得.对选项逐一判断，即得答案. 【详解】 . 的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确； 当时，，不是减函数，故③错误； 将函数的图象向左平移个单位，得，不与原函数图象重合，故④错误. 故答案为：①②. 5. （1）已知，，都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）运用基本不等式即可证明； （2）首先利用“1”的妙用，将代入中并整理化简，然后运用基本不等式即可证明. 【详解】（1）∵，，，∴， ，， ∴(当且仅当取等)． （2）因为，，， 所以，同理， 所以． （当且仅当时等号成立） 6. 设函数，已知直线是曲线的一条切线. (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：. 【答案】(1)；在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析. 【分析】（1）设切点为，利用导数几何意义和切线方程可构造方程组得到；设，利用导数可确定有唯一零点，由此可得；代入后，根据的正负可得单调区间； （2）根据单调性和的正负可确定，将所证不等式转化为对任意恒成立；令，利用导数可求得单调递增，得到，由此可得结论. 【详解】（1）设直线与曲线相切于点， ，； 又，，即； 设，则，在上单调递增， 又，有唯一零点，，，解得：； ，， 则当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知：； 当时，；当时，，； 要证，只需证； 在上单调递减，只需证， 又，则只需证对任意恒成立； 设， ； 设，则， 在上单调递减，， 又当时，，， 在上单调递增，， 即在时恒成立，又， ，原不等式得证. 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（满足）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13　增量法 【讲】 对于两个实数和，若，则可令称为和式增量；若，则可令称为积式增量．用增量解题的方法叫作增量法． 用增量法解题一般包括以下两个方面：（1）探究解题思路，恰当地引入新量；（2）新增量是解决问题的关键，对引入增量之后的问题进行分析，寻找解题的突破口．增量法的实质是转化思想，难点在于如何进行等价转化． 类型一 和式增量 【典例1】已知，比较与0的大小． 【方法引导】 本题有两个基本思路：一是从代数式直接入手，通分变形进行比较；二是通过增量把不等关系转化为相等关系． 【详细解析】 解法1：令， 则． 解法2：令， 则． 【方法反思】 通过引入两个增量，把用来表示，能够很容易地比较大小．解法2在引进增量的过程中还利用了不等式的放缩，使得解答更加简洁． 【典例2】已知椭圆，过椭圆内一点作直线，交椭圆于两点，且，求直线的方程及线段的长． 【方法引导】 根据题意引入增量，用增量表示两点的坐标，代入椭圆方程，可以求得增量之间的关系，从而求得直线方程和线段的长． 【详细解析】 因为点在椭圆内，且， 所以设， 则有 两式相减得，所以， 所以直线的方程为，即． 由得 所以． 【方法反思】 把两点的坐标代入椭圆方程，利用点差法求解，在求线段的长时，利用增量的平方和求解，非常便捷． 【举一反三】 1.已知函数的最小值为． （1）求的值； （2）设，均为正数，且，证明． 【答案】（1）1；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用绝对值三角不等式求解即可； （2）由题得，，再化简得，再利用基本不等式证明. 【详解】解：（1）∵， ∴，当且仅当，即时取等. （2）由（1）可得，则∵，，， ∴，， ∵ ∵， ∴ ∴. 即不等式得证. 【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法. 要根据已知条件灵活选择方法求证. 2. 已知函数且（其中为自然对数的底数）． （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性； （3）若有两个不相等实根，，证明：． 【答案】（1）；（2）函数在上单调递增，在上单调递减；（3）证明见解析． 【分析】（1）根据求出的值即得解； （2）利用导数和二次求导求出函数的单调性； （3）构造函数，，得到在上单调递增，得到，即得解. 【详解】（1），解得， 所以函数解析式为 （2）函数的定义域为 设，， 在上，恒成立 所以在上单调递减，即在上单调递减 又，则在上，在上． 所以函数在上单调递增，在上单调递． （3）构造函数，． 所以 设，当时，． 设，且 可知在上单调递减，且． 所以在上恒成立 即在上恒成立 所以在上单调递增． 不妨设，由（2）知 即． 因为，所以 由（2）知在上单调递减 得． 所以． 【点睛】方法点睛：若是函数的两个零点，而是函数的极值点，证明（或），极值点偏移问题常用的解题步骤是：（1）构建函数（移小不移大），（2）判断函数的单调性（一般利用复合函数的单调性求单调性）；（3）证明（或）即（或）；（4）利用函数的单调性证（或）. 3. 已知函数，若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，函数g(x)在区间上的最大值. 【答案】 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用函数的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数g(x)在区间上的最大值. 【详解】， 将函数f(x)的图象向右平移个单位后，纵坐标不变，得到函数， 在区间上，，当时，函数g(x)取得最大值为. 类型二 积式增量 【典例1】已知，设的图象与轴交于两点，线段的中点横坐标为，证明：． 【方法引导】 根据题意，先求导，然后代入求出的表达式，通过引进增量，转化为研究增量的函数关系． 【详细解析】 设，且，则， 而， 又， 两式相减得， 即， 所以． 令， 则． 令，则， 在上单调递增， 所以． 又因为，所以． 【方法反思】 通过，把关于的不等式问题转化为关于的一元不等式问题，有效实现了减元，然后利用导数工具研究函数的单调性进行证明． 【典例2】设等比数列满足，则的最大值为_______． 【方法引导】 先由给定条件求得公比；代入得首项和通项公式；再通过增量法分析乘积的增减性：定义比值，判断乘积变化的条件与最值条件，故最大值在或处取得，最后计算得出结果。 【详细解析】 设该等比数列的公比为， 则，可得，得， 所以． ， 易知当或时，取得最小值－6，故的最大值为． 【方法反思】 增量法通过公比与常数的直接比较，快速锁定极值点，避免复杂公式推导；但该方法要求数列通项单调，若遇振荡序列需结合函数分析法，首项与公比的初始求解必须精确，分式数列中分子分母对应关系需严格验证。 【举一反三】 1. 在正项等比数列中，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，列出方程求得，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得，即，解得， 所以， 所以当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 2.已知函数=，其中a≠0 （1） 若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合. （2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【详解】（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又， 故.而令 当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值 于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　① 令则 当时，单调递增；当时，单调递减. 故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立. 综上所述，的取值集合为. （Ⅱ）由题意知， 令则 令，则. 当时，单调递减；当时，单调递增. 故当，即 从而，又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， . 综上所述，存在使成立.且的取值范围为. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断. 3. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个相异零点，求证：. 【答案】（1）时，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求导，再对分两种情况讨论得解； （2）要证，等价于证明，令，则，等价于证明成立，设函数，求出函数最小值即得证. 【详解】解：由题意得，           ①时，恒成立， 所以，所以在单调递增.                 ②时，在上，在上， 所以在单调递减，在单调递增.               综上，时，在单调递增. 时，在单调递减，在单调递增.       （2）因为有两个相异零点，，由（1）可知，， 不妨设，因为，， 所以，， 所以，                   要证， 即证， 等价于证明，而， 所以等价于证明， 也就是.           （*） 令，则， 于是欲证（*）成立，等价于证明成立， 设函数， 求导得， 所以函数是上的增函数， 所以， 即成立， 所以成立. 1. 向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从所给函数的图象可以看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除D选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除A、C选项，从而可得正确答案． 【详解】解：当容器是圆柱时，容积V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满足条件； 由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓， ∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小， ∴A、C不满足条件，而B满足条件. 故选：B． 2. 不等式>0对满足a>b>c恒成立,则λ的取值范围是(　　) A．(-∞,0] B．(-∞,1) C．(-∞,4) D．(4,+∞) 【答案】C 【详解】由题意，不等式可变形得， 而(当且仅当时等号成立),则，故选C. 3. 函数的图象向右平移个单位后，与函数的图像重合，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：向右平移个单位后,得到，,故选C. 4. 已知等比数列满足，，则使得取得最小值的为 ． 【答案】3或4 【分析】根据等比数列的通项公式求出，从而求出，再利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设公比为，则， ∴， ∴，，，，…， ∴或4时，取得最小值． 故答案为：3或4 5. 已知函数且. （1）讨论函数的单调性; （2）当时，若函数的图象与轴交于，两点，设线段中点的横坐标为，证明:. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导，得到，分别讨论和两种情况，进而可得出函数单调性； （2）先由（1）得到，，对其求导，判定时，单调递增；将转化为，设，，且， 将问题转化为证明；根据题意，得到，证明，令，，根据导数的方法判定其单调性，即可得出，进而可得结论成立. 【详解】（1）函数的定义域为， ，解得(舍去)，． 当时，在上恒成立，所以函数单调递增； 当时，在上，函数单调递减，在上，函数单调递增． 综上，时，函数单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增； （2）由（1）知，，， 令，， 则，当时，恒成立，所以单调递增， 即单调递增； 又，故要证，即证； 设，，且， 由题设条件知，，因此只需证； 由题意，， 两式作差可得，， 即， 即， 下面先证明，即证， 令，， 则显然成立， 所以在上单调递增， 则，所以，即， 所以， 因此， 即，， 即 因此， 所以原命题得证. 【点睛】本题主要考查判定函数的单调性，考查导数的方法证明不等式，属于常考题型. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 增量法 【练】 1. 函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则的解析式为 A． B． C． D． 2.如图所示，连接棱长为2的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点处向该容器内注水，注满为止.已知顶点到水面的高度以每秒1匀速上升，记该容器内水的体积与时间的函数关系是，则函数的导函数的图像大致是 A． B． C． D． 3. 已知函数，则（    ） A． B． C．-6e D． 4. 设，且恒成立，则n的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5. 已知函数有两个零点，则下列说法错误的是 A． B． C． D．有极小值点，且 6. . 1.已知函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为（    ） A． B． C． D． 2. 已知等比数列满足，，则使得取得最大值的为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3. 关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是的极大值点 B．函数有2个零点 C．存在正整数k，使得恒成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 4. 如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈路线为，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 5. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C．函数图象的一个对称中心为 D．函数在上恰有5个零点，则实数的取值范围为 6. 已知等比数列的前项和为，满足是的等差中项.设是整数，若存在，使得等式成立，则的最大值是 . 1. 若函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 2. 如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的只有（ ） A． B． C． D． 3. 已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（    ）个 ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 4. 关于函数. ①的最大值为； ②最小正周期是； ③在区间上是减函数； ④将函数的图象向左平移个单位后，将与原函数图象重合. 其中说法正确的有 . 5. （1）已知，，都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 6. 设函数，已知直线是曲线的一条切线. (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13　增量法 【讲】 对于两个实数和，若，则可令称为和式增量；若，则可令称为积式增量．用增量解题的方法叫作增量法． 用增量法解题一般包括以下两个方面：（1）探究解题思路，恰当地引入新量；（2）新增量是解决问题的关键，对引入增量之后的问题进行分析，寻找解题的突破口．增量法的实质是转化思想，难点在于如何进行等价转化． 类型一 和式增量 【典例1】已知，比较与0的大小． 【方法引导】 本题有两个基本思路：一是从代数式直接入手，通分变形进行比较；二是通过增量把不等关系转化为相等关系． 【详细解析】 解法1：令， 则． 解法2：令， 则． 【方法反思】 通过引入两个增量，把用来表示，能够很容易地比较大小．解法2在引进增量的过程中还利用了不等式的放缩，使得解答更加简洁． 【典例2】已知椭圆，过椭圆内一点作直线，交椭圆于两点，且，求直线的方程及线段的长． 【方法引导】 根据题意引入增量，用增量表示两点的坐标，代入椭圆方程，可以求得增量之间的关系，从而求得直线方程和线段的长． 【详细解析】 因为点在椭圆内，且， 所以设， 则有 两式相减得，所以， 所以直线的方程为，即． 由得 所以． 【方法反思】 把两点的坐标代入椭圆方程，利用点差法求解，在求线段的长时，利用增量的平方和求解，非常便捷． 【举一反三】 1.已知函数的最小值为． （1）求的值； （2）设，均为正数，且，证明． 2. 已知函数且（其中为自然对数的底数）． （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性； （3）若有两个不相等实根，，证明：． 3. 已知函数，若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，函数g(x)在区间上的最大值. 类型二 积式增量 【典例1】已知，设的图象与轴交于两点，线段的中点横坐标为，证明：． 【方法引导】 根据题意，先求导，然后代入求出的表达式，通过引进增量，转化为研究增量的函数关系． 【详细解析】 设，且，则， 而， 又， 两式相减得， 即， 所以． 令， 则． 令，则， 在上单调递增， 所以． 又因为，所以． 【方法反思】 通过，把关于的不等式问题转化为关于的一元不等式问题，有效实现了减元，然后利用导数工具研究函数的单调性进行证明． 【典例2】设等比数列满足，则的最大值为_______． 【方法引导】 先由给定条件求得公比；代入得首项和通项公式；再通过增量法分析乘积的增减性：定义比值，判断乘积变化的条件与最值条件，故最大值在或处取得，最后计算得出结果。 【详细解析】 设该等比数列的公比为， 则，可得，得， 所以． ， 易知当或时，取得最小值－6，故的最大值为． 【方法反思】 增量法通过公比与常数的直接比较，快速锁定极值点，避免复杂公式推导；但该方法要求数列通项单调，若遇振荡序列需结合函数分析法，首项与公比的初始求解必须精确，分式数列中分子分母对应关系需严格验证。 【举一反三】 1. 在正项等比数列中，，则的最大值为 ． 2.已知函数=，其中a≠0 （1） 若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合. （2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 3. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个相异零点，求证：. 1. 向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（    ） A． B． C． D． 2. 不等式>0对满足a>b>c恒成立,则λ的取值范围是(　　) A．(-∞,0] B．(-∞,1) C．(-∞,4) D．(4,+∞) 3. 函数的图象向右平移个单位后，与函数的图像重合，则 A． B． C． D． 4. 已知等比数列满足，，则使得取得最小值的为 ． 5. 已知函数且. （1）讨论函数的单调性; （2）当时，若函数的图象与轴交于，两点，设线段中点的横坐标为，证明:. 学科网（北京）股份有限公司 $