第十章 专题微课 概率与统计的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦概率与统计的综合问题，系统整合频率分布直方图分析、概率计算、函数与概率结合及决策性问题，通过例题与训练构建从基础图表解读到实际决策应用的递进学习支架。 资料以现实情境（如养殖产量对比、疾病检测）引导学生用数学眼光观察问题，通过分步解题与思维建模（如3步骤破解图表问题）培养数学思维，借助数据处理与模型构建提升数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生强化练习，弥补知识盲点。

专题微课　概率与统计的综合问题 题型(一)　概率与统计相结合 [例1]　海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如图所示.两种养殖方法的箱产量相互独立. (1)求频率分布直方图中a的值; (2)用频率估计概率,从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱,估计两个网箱的箱产量都不低于55 kg的概率; (3)假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变,为了提高总产量,根据样本中两种养殖法的平均箱产量,该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适?(直接写出结果) 解:(1)由(0.004+0.008+0.010+0.020+0.044+0.046+a)×5=1,所以a=0.068. (2)设事件A,B分别表示:从运用旧、新网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱,其箱产量不低于55 kg,用频率估计概率,则P(A)=(0.020+0.012+0.012)×5=0.22,P(B)=(0.046+0.010+0.008)×5=0.32. 因为A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.22×0.32=0.070 4,所以估计两个网箱的箱产量都不低于55 kg的概率为0.070 4. (3)新养殖法(旧养殖法的平均值估计为0.012×5×27.5+0.014×5×32.5+0.024×5×37.5+0.034×5×42.5+0.040×5×47.5+0.032×5×52.5+0.020×5×57.5+0.012×5×62.5+0.012×5×67.5=47.1, 新养殖法的平均值估计为0.004×5×37.5+0.020×5×42.5+0.044×5×47.5+0.068×5×52.5+0.046×5×57.5+0.010×5×62.5+0.008×5×67.5=52.35, 又52.35>47.1,所以该养殖场下一年应采用新养殖法更合适.) 　　|思|维|建|模| 破解概率与统计图表综合问题的3步骤 　　[针对训练] 1.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩,整理数据并按分数段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图如图所示. (1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1 000名学生,试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数; (2)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人,求在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在[60,70)的概率; (3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a,b,c,且分别在[70,80),[80,90),[90,100]三组中,其中a,b,c∈N,当数据a,b,c的方差s2最小时,写出a,b,c的值.(结论不要求证明) 解:(1)由折线图得样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14+3+13=30人,所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生大约为1 000×=750人. (2)成绩在[60,70)有2名学生,设为1,2,[80,90)有3名学生,设为A,B,C,故抽取2名学生,有(1,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种情况,其中至少有1人体育成绩在[60,70)的情况有(1,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),共7种情况,故在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在[60,70)的概率为. (3)由题意知,要想数据a,b,c的方差s2最小,则a,b,c三个数据的差的绝对值越小越好,故a=79,c=90, 则甲、乙、丙三人的体育成绩平均值为=, 故方差s2=× =[(68-b)2+(2b-169)2+(101-b)2] =(6b2-1 014b+43 386), 对称轴为b=-=84.5, 故当b=84或b=85时,s2取得最小值, a,b,c的值为79,84,90或79,85,90. 题型(二)　概率与函数相结合 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图: 利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性,此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c); (2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值. 解:(1)由题图知(100-95)×0.002=1%>0.5%,所以95<c<100. 设X为患病者的该指标, 则p(c)=P(X≤c)=(c-95)×0.002=0.5%, 解得c=97.5. 设Y为未患病者的该指标, 则q(c)=P(Y>c)=(100-97.5)×0.01+5×0.002=0.035=3.5%. (2)当95≤c≤100时, p(c)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19, q(c)=(100-c)×0.01+5×0.002=-0.01c+1.01, 所以f(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82; 当100<c≤105时, p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012=0.012c-1.19, q(c)=(105-c)×0.002=-0.002c+0.21, 所以f(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98. 综上所述,f(c)= 由一次函数的单调性知,函数f(c)在[95,100]上单调递减,在(100,105]上单调递增, 作出f(c)在区间[95,105]上的大致图象(略),可得f(c)在区间[95,105]的最小值f(c)min=f(100)=-0.008×100+0.82=0.02. 　　|思|维|建|模| 　　本题主要考查概率与数字特征,涉及平均数、中位数,分层随机抽样,古典概型的概率计算等知识.解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义,牢记相关定义和公式,在利用频率分布直方图求平均值时,不要与求中位数、众数混淆. 　　[针对训练] 2.某大型商超每天以每千克1元的价格从蔬菜批发行购进若干千克青菜,然后以每千克2元的价格出售.如果当天卖不完,那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工. (1)若该商超一天购进800千克青菜,求当天出售青菜的利润y(单位:元)关于当天青菜需求量x(单位:千克)的函数解析式; (2)该商超记录了100天青菜的日需求量(单位:千克),整理得到下表. 日需求量x 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 ①假设该大型商超在这100天内每天购进800千克青菜,求这100天出售青菜的日利润(单位:元)的平均数; ②若该大型商超一天购进800千克青菜,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于780元的概率. 解:(1)当x≥800时,y=800×(2-1)=800; 当0<x<800时,y=2x-1×800=2x-800, 故y关于x的函数解析式为y= (2)①这100天有5天的日利润为2×770-800=740元, 10天的日利润为2×780-800=760元, 20天的日利润为2×790-800=780元, 65天的日利润为800元, 所以这100天出售青菜的日利润的平均数为×740+×760+×780+×800=789元. ②若当天的利润不少于780元,则当日需求量不少于790千克, 故当天的利润不少于780元的概率为0.2+0.35+0.2+0.1=0.85. 题型(三)　概率统计中的决策性问题 [例3]　一个口袋内装有形状、大小相同,编号为1,2,3的3个白球和编号为a的1个黑球. (1)从中一次性摸出两个球,求摸出的两个球都是白球的概率; (2)从中连续取两次,每次取一个球后放回,甲、乙约定:若取出的两个球中至少有1个黑球,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游戏是否公平?请说明理由. 解:(1)从袋中一次性摸出两个球,所包含的样本点有(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a),共6个样本点; 摸出的两个球都是白球,所包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个样本点; 则从中一次性摸出两个球,摸出的2个球都是白球的概率为P==. (2)从袋中连续取两次,每次取一球后放回,则所包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),共16个样本点, 则取出的两个球中至少有1个黑球,所包含的样本点有(1,a),(2,a),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),共7个样本点. 因此取出的两个球中至少有1个黑球的概率为P=,即甲胜的概率为,则乙胜的概率为,因为>,所以此游戏不公平. 　　[针对训练] 3.甲、乙两人进行象棋比赛,已知每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择, 方案一:三局两胜制(先胜2局者获胜,比赛结束); 方案二:五局三胜制(先胜3局者获胜,比赛结束). (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案,抛掷两枚质地均匀的骰子,观察两枚骰子向上的点数,若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1,则选择方案一,否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大,并说明理由; (2)若选择方案一,求甲获胜的概率. 解:(1)方案二被选择的可能性更大.理由如下: 抛掷两枚质地均匀的骰子,设向上的点数为(a,b),则共有36种情况,如下: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6), 其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有: (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种情况, 故选择方案一的概率为=, 则选择方案二的概率为1-=, 因为>,所以方案二被选择的可能性更大. (2)若甲在前两局获胜,概率为×=, 若甲在第一局、第三局获胜,概率为××=, 若甲在第二局、第三局获胜,概率为××=, 三种情况互斥,故选择方案一,甲获胜的概率为++=. 学科网（北京）股份有限公司 $