10.3 专项提升 概率与其他知识的综合问题(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ?@A4%BCD !!在进行#次反复试验中"事件3发生的频率为, # "当#很大时"事件3发生的概率;*3+与, # 的关 系是 *!!+ *!;*3+ - , # +!;*3+ % , # ,!;*3+ ? , # -!;*3+ ' , # "!某位同学进行投球练习"连投了$)次"恰好投进了(次!若用3表示%投进球&这一事件"则事件3 发生的 *!!+ *!概率为3 0 +!频率为3 0 ,!频率为( -!概率接近)!( #!$多选%甲!乙两人做游戏"下列游戏中公平的是 *!!+ *!抛一枚骰子"向上的点数为奇数则甲胜"向上的点数为偶数则乙胜 +!同时抛两枚相同的骰子"向上的点数之和大于2则甲胜"否则乙胜 ,!从一副不含大!小王的扑克牌中抽一张"扑克牌是红色则甲胜"是黑色则乙胜 -!甲!乙两人各写一个数字"若是同奇或同偶则甲胜"否则乙胜 $!袋子中有四个小球"分别写有%中!华!民!族&四个字"有放回地从中任取一个小球"直到%中& %华&两个字都取到才停止!用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率"利用电脑随机产生 )到1之间取整数值的随机数"分别用)"$"&"1代表%中!华!民!族&这四个字"以每三个随机数为 一组"表示取球三次的结果"经随机模拟产生了以下$(组随机数# &1&!1&$!&1)!)&1!$&1!)&$!$1&!&&)!))$ &1$!$1)!$11!&1$!)1$!1&)!$&&!1)$!&11 由此可以估计"恰好抽取三次就停止的概率为!!!!! 请同学们认真完成练案!0$" 专项提升!概率与其他知识的综合问题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 56;% 概率与函数&方程的综合问题 !!*$+已知3'4$"&"15"4'4* . !A* & :0*75')"0 . 3"5 . 35"则3 ( 4'4的概率是 *!!+ *! & " !!+! $ 1 ,! ( " -!$ *&+从&"1"(""中任取两个不同的数字"分别记为0"5"则DE< 0 5为整 数的概率是!!!!! ! !方法总结$" !有一道关于%冰糖葫芦&的题#一个小摊上摆满了五彩缤纷的冰糖葫芦"冰 糖葫芦有两种"一种是0个山楂,另一种是&个山楂!1个小桔子!若小摊上 山楂共43)个"小桔子共14)个"现从小摊上随机选取一个冰糖葫芦"则这 个冰糖葫芦是0个山楂的概率为 *!!+ *!)!1 +!)!3 ,!)!0 -!)!4 !方法总结$" ]taAƞ3m2 :??ƒÝX Ý: ÎÏH{B8{íî þÿ:w~n:€2" ‚µƒÝ3$ tB Æ ž !þ" : X çŽm2J9ô Báâ;î:‘’X …“Nâw~n:€ 2X ÂçŽGH?V :??¿èPm{ ¨™" +** 56<% 概率与统计的综合问题 方向一#古典概型与统计的综合问题 +*# 方向二#相互独立事件的概率与统计的综合问题 #!某校为举办甲!乙两项不同活动"分别设计了相应的活动方案#方案 一!方案二!为了解该校学生对活动方案是否支持"对学生进行简单随 机抽样"获得数据如下表# 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 &))人 3))人 1))人 $))人 方案二 10)人 &0)人 $0)人 &0)人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立! *$+分别估计该校男生支持方案一的概率!该校女生支持方案一的 概率, *&+从该校全体男生中随机抽取&人"全体女生中随机抽取$人"估计 这1人中恰有&人支持方案一的概率, *1+将该校学生支持方案二的概率估计值记为1 ) "假设该校一年级有 0))名男生和1))名女生"除一年级外其他年级学生支持方案二 的概率估计值记为1 $ "试比较1 ) 与1 $ 的大小!*结论不要求证明+ ! !方法总结&" !方法总结&" ‚??6S¿nð ƒÝ:¯ØÛÜ +*+ !为了治理空气污染"某市设"个监测站用于监测空气质量指数 **FG+"其中在轻度污染区!中度污染区!重度污染区分别设有&" 3"1个监测站"并以"个监测站测得的*FG的平均值为依据播报 该市的空气质量! *$+若某日播报的*FG为$$""已知轻度污染区*FG平均值为2)" 中度污染区*FG平均值为$$0"求重度污染区*FG平均值, *&+如图是&)&1年4月份1)天的*FG的频率分布直方图"4月份 仅有$天*FG在/$3)"$0)+内! ! 某校参照官方公布的*FG"如果周日*FG小于$0)就组织 学生参加户外活动"以统计数据中的频率作为概率"求该校学生周日能参加户外活动的概率, " 环卫部门从4月份*FG不小于$2)的数据中抽取两天的数据进行研究"求抽取的这两天中 *FG在/$2)"&))+内的概率! 请同学们认真完成练案!0&" 章末复习与总结 .EFGHI JKL(MN !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! L(;% 互斥事件&对立事件与相互独立事件的判断 +*% 所以+##$ .) 1 !+#%$ . % ) ! #%$有' 个家庭回答正确的概率为+ ' .+#"!#!%$ . +#"$+##$+#%$ . $ / ( 2 1 ( $ ) . 2 D" ! 有$个家庭回答正确的概率为+ $ .+#"#!%0"#%0"!#%$ . ) / ( 2 1 ( $ ) 0 $ / ( ) 1 ( $ ) 0 $ / ( 2 1 ( % ) . G %/ ! 所以不少于%个家庭回答正确这道题的概率为+.$ 4+ ' 4 + $ .$ 4 2 D" 4 G %/ . %$ )% ! $'#)!频率与概率 教材梳理!明要点 新知初探 知识点一 !随机性!增大!缩小!频率= 2 #"$!概率+#"$!稳定性! 概率+#"$ 想一想 !可以相等!但因为每次试验的频率为多少是不固定的!而概率 是固定的!故一般是不相等的!但有可能是相等的! 预习自测 $!-!&本市明天降雨的概率是D'!'也即为&本市明天降雨的 可能性为D'!'!故选-! %!2'!设有2套次品!由概率的统计定义!知2 % 2'' . % $'' !解得2 .2'!所以该厂所生产的% 2''套座椅中大约有2'套次品! 题型探究!提技能 例$%#$$根据优等品频率.优等品数抽取球数!可得优等品的频率从左 到右依次为'!D!'!D%!'!DG!'!D/!'!D2/!'!D2$! #%$由#$$可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在'!D2附 近!故估计&抽取的是优等品'的概率是'!D2! 跟踪训练$%#$$表中从左到右依次填入的数据为'!1'!'!D2! '!11!'!D%!'!1D!'!D$! #%$由于频率稳定在常数'!D附近!所以这个射手射击一次! 击中靶心的概率约是'!D! 例%%#$$记甲)乙摸出的数字为#.!0$!则共有$"种情况!则.C 0的有#/!$$!#/!%$!#/!)$!#)!%$!#)!$$!#%!$$!共"种情 况!故甲获胜的概率为" $" . ) 1 ! #%$不公平!理由如下%摸到的球上所标数字相同的情况有 #/!/$!#)!)$!#%!%$!#$!$$!共/种情况! 故甲获胜的概率为/ $" . $ / !乙获胜的概率为$% $" . ) / !故不 公平! 跟踪训练%%该方案是公平的!理由如下% 各种情况如下表所示% 和 / 2 " G $ 2 " G 1 % " G 1 D ) G 1 D $' 由上表可知该游戏可能出现的情况共有$%种!其中两数字之 和为偶数的有"种!为奇数的也有"种!所以#$$班代表获胜 的概率+ $ . " $% . $ % ! #%$班代表获胜的概率+ % . " $% . $ % !即+ $ .+ % !机会是均等 的!所以该方案对双方是公平的! 例)%#$$ $ / !#%$见解析!#$$表示三次击中目标的随机数分别 是) '$)!% "'/!2 G%2!" 2G"!" G2/!共2组!而随机数总共%' 组!所以所求的概率约为2 %' . $ / ! #%$在$1组随机数中!表示恰好在第)次停止摸球的是/)%! %)/!%$/!//%!共/组!则估计恰好在第)次停止摸球的概率+ . / $1 . % D ! 跟踪训练)%-!由题意知!在%'组随机数中恰有两天下雨可以 通过列举得到%%G$!D)%!1$%!)D)共/组随机数!5所求概 率为/ %' .'!%'!故选-! 随堂检测!重反馈 $!*!在进行2次反复试验中!事件"发生的频率为1 2 !当2很 大时! 1 2 越来越接近于+#"$!所以可以用1 2 近似的代替 +#"$!即+#"$ 3 1 2 !故选*! %!+!投球一次即进行一次试验!投球$'次!投进1次!即事件 "发生的频数为1!所以事件"发生的频率为1 $' . / 2 ! )!*,-!*项!+#点数为奇数$ .+#点数为偶数$ .$ % "+项! +#点数之和大于G$ .$2 )" . 2 $% !+#点数之和小于等于G$ .%$ )" . G $% ",项!+#牌色为红$ .+#牌色为黑$ .$ % "-项!+#同奇 或同偶$ .+#奇偶不同$ .$ % !故选*,-! /! 2 $1 !由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有 '%$!''$!$)'!')$!)'$!共2组随机数!所以恰好抽取三次就停 止的概率约为2 $1 ! 专项提升!概率与其他知识的综合问题 例$%#$$,!#%$ $ " !#$$因为5 - "!6 - "!所以可用列表法得到 样本点的总个数为D#如下表所示$! !!6 5!! $ % ) $ #$!$$ #$!%$ #$!)$ % #%!$$ #%!%$ #%!)$ ) #)!$$ #)!%$ #)!)$ 因为" : #.#!且#至多有两个元素!所以#可能为 @ !/$0! /%0!/)0!/$!%0!/$!)0!/%!)0!当#. @ 时!5% 4/6F'!满足 条件的5!6为5 .$!6.$!%!)"5 .%!6.%!)"5 .)!6.)!当# ./$0时!满足条件的5!6为5 .%!6.$!当#./%0!/)0时! 没有满足条件的5!6!当#./$!%0时!满足条件的5!6为5 . )!6.%!当#./%!)0!/$!)0时!没有满足条件的5!6!综上!符 合条件的结果有1种!故所求概率为1 D ! #%$从%!)!1!D中任取两个不同的数字!#5!6$的所有样本点 为#%!)$!#%!1$!#%!D$!#)!%$!#)!1$!#)!D$!#1!%$!#1!)$! #1!D$!#D!%$!#D!)$!#D!1$!共$%个!其中L?R % 1 .)!L?R ) D . %为整数!所以L?R 5 6为整数的概率为$ " % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ! (#*#( 跟踪训练$%+!设2个山楂的冰糖葫芦有.个!%个山楂))个小 桔子的冰糖葫芦有0个!则2.0%0."/'! )0.)"' { ! 解得..1'! 0.$%' { ! 故样 本点总数为1' 0$%' .%''!&冰糖葫芦是2个山楂'包含的样 本点个数为1'!则这个冰糖葫芦是2个山楂的概率为1' %'' . '!/! 例%%#$$在频率分布直方图中!#.0'!')' 0'!'/' 0'!'$' 0 '!''/$ ($' .$!解得..'!'$"! 结合频率分布直方图!估计该校高一年级本次数学竞赛成绩 的众数为G2分! 落在*2'!"'$的频率为'!$"!*"'!G'$的频率为'!)!*G'!1'$ 的频率为'!/!则中位数落在*G'!1'$内!设中位数为0!则#0 4G'$ ('!'/' .'!2 4'!$" 4'!)!解得0.G$!即中位数为G$ 分!平均数为22 ('!$" 0"2 ('!) 0G2 ('!/ 012 ('!$ 0D2 ( '!'/ .G'!"分! #%$按比例分配的分层随机抽样方法!*1'!D'$中抽取的人数 为 '!$ '!$ 0'!'/ (G . 2 G (G .2! *D'!$''+中抽取的人数为 '!'/ '!$ 0'!'/ (G . % G (G .%! 记来自*1'!D'$的2人和来自*D'!$''+的%人分别为5 $ !5 % ! 5 ) !5 / !5 2 !6 $ !6 % ! 则所有基本事件为5 $ 5 % ! 5 $ 5 ) ! 5 $ 5 / ! 5 $ 5 2 ! 5 $ 6 $ ! 5 $ 6 % ! 5 % 5 ) ! 5 % 5 / !5 % 5 2 !5 % 6 $ !5 % 6 % !5 ) 5 / !5 ) 5 2 !5 ) 6 $ !5 ) 6 % !5 / 5 2 !5 / 6 $ !5 / 6 % ! 5 2 6 $ !5 2 6 % !6 $ 6 % !共%$个!满足题意的有$$个! 由古典概型知!至少一名组长来自*D'!$''+的概率为$$ %$ ! 例)%#$$记&该校男生支持方案一'为事件"!&该校女生支持方 案一'为事件#! 由于所有学生对活动方案是否支持相互独立!则由表中数据 可知抽取的男生总人数为%'' 0/'' ."''!支持方案一的有 %''人!则估计该校男生支持方案一的概率+#"$ .$ ) ! 抽取的女生总人数为)'' 0$'' ./''!支持方案一的有)'' 人!故估计该校女生支持方案一的概率+##$ .) / ! #%$记&从该校全体男生中随机抽取%人!全体女生中随机抽 取$人!这)人中恰有%人支持方案一'为事件%!则事件% 包含&一名男生支持!一名男生不支持!一名女生支持'&两名 男生支持!一名女生不支持'!由# $ $可知+#%$ ( .% ( $ 4 )$ ) ( $ ) ( ) / 0 $ ) ( $ ) (( $ 4 )) / . $) )" ! #)$H ' CH $ ! 跟踪训练%%#$$设重度污染区*ST平均值为.!根据题意得$$D (D .G' (% 0$$2 (/ 0).!解得..$2G! 故重度污染区*ST平均值为$2G! #%$ $ *ST在*$/'!$G'$内的有1 D'' ()' ()' .1#天$! *ST在*$G'!%''$内的有2 D'' ()' ()' .2#天$! *ST在*%''!%)'+内的有% D'' ()' ()' .%#天$! 所以"月份*ST不小于$2'的共1 02 0% 4$ .$/#天$! 即能参加户外活动的概率为+.$ 4$/ )' . 1 $2 ! % 由 $ 知*ST在*$G'!%''$内的有2天!编号设为5!6!9!?!R! *ST在*%''!%)'+内的有%天!编号设为1!2! 从G天中抽取两天有#5!6$!#5!9$!#5!?$!#5!R$!#5!1$! #5!2$!#6!9$!#6!?$!#6!R$!#6!1$!#6!2$!#9!?$!#9!R$! #9!1$!#9!2$!#?!R$!#?!1$!#?!2$!#R!1$!#R!2$!#1!2$! 共%$种情况! 满足条件的有#5!6$!#5!9$!#5!?$!#5!R$!#6!9$!#6!?$!#6! R$!#9!?$!#9!R$!#?!R$!共$'种情况! 所以满足条件的概率为+.$' %$ ! 章末复习与总结 例$%#$$*!#%$,!#$$有放回地摸球!第一次摸球与第二次摸 球之间没有影响! #%$ ! 中&至少有一个是奇数'!即&两个奇数或一奇一偶'!而 从$ KG中任取两个数!根据取到数的奇偶性可认为共有三个 事件%&两个都是奇数'&一奇一偶'&两个都是偶数'!故&至少 有一个是奇数'与&两个都是偶数'是对立事件!易知其余都 不是对立事件! 例%%*!所有两位数有%$%!$/!$"!%$!%/!%"!/$!/%!/"!"$!"%! "/共$% 个!其中是/ 的倍数的两位数有$%!$"!%/!"/ 共/ 个!所以所求概率为+./ $% . $ ) !故选*! 例)%,!事件"包含#$!)$!#$!/$!#%!)$!#%!/$!#)!$$!#)! %$!#/!$$!#/!%$! 事件%包含#$!%$!#%!$$!#)!/$!#/!)$!显然" : %. A !故 "与%互斥!*正确" 从中不放回的依次取出两个球为#$!%$!#%!$$!#$!)$!#)! $$!#$!/$!#/!$$!#%!)$!#)!%$!#%!/$!#/!%$!#)!/$!#/! )$!共$%种情况!故+#"$ .1 $% . % ) ! 事件#包含#$!%$!#$!)$!#$!/$!#%!$$!#%!)$!#%!/$!共" 种情况!故+##$ ." $% . $ % ! 事件"#包含#$!)$!#$!/$!#%!)$!#%!/$!共/ 种情况!故 +#"#$ . / $% . $ ) ! 由于+#"#$ .+#"$+##$!故"与#相互独立!+正确" # . %包含#$!%$!#$!)$!#$!/$!#%!$$!#%!)$!#%!/$!#)! /$!#/!)$!共D种情况!故+## . %$ . D $% . ) / !,错误" 事件#包含#)!$$!#/!$$!#)!%$!#%!/$!#)!/$!#/!)$! 由于事件"包含#$!)$!#$!/$!#%!)$!#%!/$!#)!$$!#)!%$! #/!$$!#/!%$! 故"#包含事件#%!/$!#)!$$!#)!%$!#/!$$!共/种情况! +#"#$ . / $% . $ ) !-正确! 例/%#$$设这"家不同的门店分别是"!#!%!&!'!(!其中%点 以前购买的门店是"!#!%!&!%点以后购买的门店是'!(!从 这"家不同的门店中任选%家有$2种选法%#"!#$!#"!%$! #"!&$!#"!'$!#"!($!##!%$!##!&$!##!'$!##!($!#%! &$!#%!'$!#%!($!#&!'$!#&!($!#'!($! 其中恰好一家是以/''元价格购买的门店!另一家是以%'' 元价格购买的门店的有1种%#"!'$!#"!($!##!'$!##!($! #%!'$!#%!($!#&!'$!#&!($! 根据古典概型的概率公式得所求的概率为+.1 $2 ! #%$每天生产"箱该种面包的平均利润为%' $'' (#/ (/'' 0% ( %'' 4" ($'' ()$ 0 /' $'' (#2 (/'' 0$ (%'' 4" ($'' ()$ 0 /' $'' (#" (/'' 4" ($'' ()$ . %' $'' (%'' 0 /' $'' (/'' 0 /' $'' ( "'' .//'#元$! 所以每天生产"箱该种面包的平均利润为//'元 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ! ((*#(