8.3.2 第2课时 与球有关的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦与球有关的综合问题，系统梳理球的截面问题（含截面形状、球心距-半径-截面半径关系）和切接问题（球与正方体、多面体、旋转体的切接，涉及棱长与半径关系），通过例题解析与思维建模搭建从基础到综合的学习支架。 该资料采用拓展融通与习题讲评式教学，以“思维建模”引导学生将空间问题转化为平面问题，培养数学思维的推理能力与几何直观，结合例题与针对训练，课中助力教师系统授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数学眼光中的空间观念。

第2课时　与球有关的综合问题 [教学方式:拓展融通课习题讲评式教学] 　 　[课时目标]　1.能用球的表面积和体积公式解决简单的实际问题.　2.掌握球的截面问题及切接问题的相关计算. 题型(一)　球的截面问题 1.球的截面形状 (1)当截面过球心时,截面的半径即球的半径,此时球的截面就是球的大圆; (2)当截面不过球心时,截面的半径小于球的半径,此时球的截面就是球的小圆. 2.球的截面的性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面; (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式:d=. [例1]　平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为,则此球的体积为 (　　) A.π B.4π C.4π D.6π 解析:选B　如图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,则OO'=,O'M=1. ∴OM==,即球的半径为. ∴V=π()3=4π. 　　|思|维|建|模| (1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的有关问题解决. (2)注意一个直角三角形,即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形,满足勾股定理. 　　[针对训练] 1.已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的倍,且AC=8,BC=6,AB=10,则球的表面积是　　　,体积是　　　.  解析:如图,设球的半径为R,球心为O,截面圆心为O1,则OO1=R. 在△ABC中,∵AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°.∴O1是AB的中点,即O1A=5.又O+O1A2=OA2,∴+52=R2.∴R2=100,R=10.∴球的表面积S球=4πR2=4π×102=400π,球的体积V球=πR3=π×103=π. 答案:400π　π 题型(二)　与球有关的切接问题 角度1　球与正(长)方体的切接问题 　　处理与球有关的相接、相切问题时,关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面,将空间问题转化为平面问题. (1)球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径. (2)球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径. [例2]　有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 解:设正方体的棱长为a,设三个球的半径分别为r1,r2,r3. ①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,经过在一个平面上的四个切点及球心作截面,如图(1)所示. 所以2r1=a,r1=,S1=4π=πa2. ②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图(2). 所以2r2=a,r2=a,所以S2=4π=2πa2. ③正方体的各个顶点都在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图(3)所示. 则2r3=a,∴r3=a,S3=4π=3πa2. 因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 角度2　球与其他多面体的切接问题 　　特殊多面体的内切球或外接球问题,要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如几何体的中心,对角线的中点等,还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a,内切球的半径r=. [例3]　设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点在一个球面上,则该球的表面积为 (　　) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 解析:选B　如图所示,设O1,O分别为上、下底面的中心,连接OO1,则球心O2为OO1的中点,连接AO并延长交BC于D点,连接AO2. ∵AD=a,AO=AD=a,OO2=,∴A=a2+a2=a2. 故该球的表面积S球=4π×a2=πa2. 角度3　球与旋转体的切接问题 　　球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径. [例4]　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为 (　　) A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πRr D.π(R+r)2 (2)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是　　　　. 解析:(1)如图,BE=BO2=r, AE=AO1=R, 又OE⊥AB且BO⊥OA, ∴△AEO∽△OEB. ∴OE2=AE·BE=Rr. ∴球的表面积为4πOE2=4πRr. (2)设球O的半径为r,则圆柱的底面半径为r,高为2r.所以==. 答案:(1)C　(2) 　　[针对训练] 2.已知一个圆锥底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内切球的表面积为 (　　) A.π B. C.2π D.3π 解析:选C　依题意,作出圆锥与球的轴截面,如图所示,设球的半径为r,易知轴截面三角形边AB上的高为2,因此=, 解得r=,所以圆锥内切球的表面积为4π×=2π,故选C. 3.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为　　　　. 解析:如图所示,设球半径为R,底面中心为O'且球心为O, ∵正四棱锥P⁃ABCD中AB=2,∴AO'=.∵PO'=4, ∴在Rt△AOO'中,AO2=AO'2+OO'2, ∴R2=()2+(4-R)2,解得R=, ∴该球的表面积为4πR2=4π×=. 答案: 4.若圆柱内接于球,圆柱的底面半径为3,高为8,则球的表面积为　　　　.  解析:如图,由条件知,O1A=3,OO1=4,所以OA=5,所以球的表面积为100π. 答案:100π 学科网（北京）股份有限公司 $