7.2.2 复数的乘、除运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

7.2.2　复数的乘、除运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]

[课时目标]

1.掌握复数的乘法和除法运算.

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.

3.掌握在复数范围内解方程的方法,了解in的周期性,会求in的值.

 

逐点清(一)　复数乘法的运算法则

[多维理解]

1.复数的乘法法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.

2.复数乘法的运算律

对于任意z1,z2,z3∈C,有

 

|微|点|助|解|

(1)类比多项式运算

复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行,但结果要将实部、虚部分开(i2换成-1).

(2)运算律

多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公式也适用.

(3)常用结论

①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);

②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);

③(1±i)2=±2i.

[微点练明]

1.(2025·新课标Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为 (　　)

A.-1 B.0 

C.1 D.6

解析:选C　(1+5i)i=i+5i2=i-5,故虚部为1.

2.(2024·北京高考)若复数z满足=-1-i,则z= (　　)

A.-1-i B.-1+i

C.1-i D.1+i

解析:选C　由题意得,z=i(-1-i)=1-i.

3.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 (　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析:选A　因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以该复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A.

4.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 (　　)

A.(-∞,1) B.(-∞,-1)

C.(1,+∞) D.(-1,+∞)

解析:选B　由题意,得z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为z在复平面内对应的点在第二象限,所以解得a<-1,故选B.

5.已知复数z1=1-2i,z2=1+bi,若=7-i,则实数b= (　　)

A.1 B.2 

C.3 D.-1

解析:选C　因为=·=(1+2i)(1-bi)=1+2b+(2-b)i=7-i,所以1+2b=7,2-b=-1,解得b=3.故选C.

 

逐点清(二)　复数除法的运算法则

[多维理解]

　　设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0),

则==+i.

复数的除法的实质是分母“实数化”.若分母为a+bi型,则分子、分母同乘a-bi;若分母为a-bi型,则分子、分母同乘a+bi,即分子与分母都乘分母的共轭复数.

|微|点|助|解|

(1)对复数除法的两点说明

①实数化:分子、分母都乘分母的共轭复数c-di,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.

②代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开.

特别提醒:复数的除法类似于根式的分母有理化.

(2)常用结论

①=-i;②=i;③=-i.

[微点练明]

1.(2025·新课标Ⅱ卷)已知z=1+i,则= (　　)

A.-i B.i

C.-1 D.1

解析:选A　===-i.