7.2.2 复数的乘、除运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

7.2.2　复数的乘、除运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.掌握复数的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.掌握在复数范围内解方程的方法,了解in的周期性,会求in的值. 逐点清(一)　复数乘法的运算法则 [多维理解] 1.复数的乘法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2.复数乘法的运算律 对于任意z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 |微|点|助|解| (1)类比多项式运算 复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行,但结果要将实部、虚部分开(i2换成-1). (2)运算律 多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公式也适用. (3)常用结论 ①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R); ②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R); ③(1±i)2=±2i. [微点练明] 1.(2025·新课标Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 解析:选C　(1+5i)i=i+5i2=i-5,故虚部为1. 2.(2024·北京高考)若复数z满足=-1-i,则z= (　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 解析:选C　由题意得,z=i(-1-i)=1-i. 3.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选A　因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以该复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A. 4.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) 解析:选B　由题意,得z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为z在复平面内对应的点在第二象限,所以解得a<-1,故选B. 5.已知复数z1=1-2i,z2=1+bi,若=7-i,则实数b= (　　) A.1 B.2 C.3 D.-1 解析:选C　因为=·=(1+2i)(1-bi)=1+2b+(2-b)i=7-i,所以1+2b=7,2-b=-1,解得b=3.故选C. 逐点清(二)　复数除法的运算法则 [多维理解] 　　设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0), 则==+i. 复数的除法的实质是分母“实数化”.若分母为a+bi型,则分子、分母同乘a-bi;若分母为a-bi型,则分子、分母同乘a+bi,即分子与分母都乘分母的共轭复数. |微|点|助|解| (1)对复数除法的两点说明 ①实数化:分子、分母都乘分母的共轭复数c-di,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似. ②代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开. 特别提醒:复数的除法类似于根式的分母有理化. (2)常用结论 ①=-i;②=i;③=-i. [微点练明] 1.(2025·新课标Ⅱ卷)已知z=1+i,则= (　　) A.-i B.i C.-1 D.1 解析:选A　===-i. 2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=,则z-= (　　) A.-i B.i C.0 D.1 解析:选A　因为z===-,所以=,所以z-=--=-i.故选A. 3.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i是虚数单位),则z= (　　) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 解析:选A　∵z(2-i)=11+7i,∴z====3+5i. 4.(多选)已知复数z满足=2+i,则 (　　) A.z的虚部为-1 B.|z|= C.z在复平面内对应的点在第四象限 D.z6=-8i 解析:选ABD　因为=2+i,所以1-=2+i,所以z====-1-i,z的虚部为-1,故A正确;|z|==,故B正确;z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1),在第三象限,故C错误;因为z2=(-1-i)2=1+2i+i2=2i,所以z6==(2i)3=-8i,故D正确. 5.已知复数z满足z(3+i)=3+i2 027,则z的共轭复数的虚部为 (　　) A.-i B.i C.- D. 解析:选D　由z(3+i)=3+i2 027,得z====-i,所以=+i,所以z的共轭复数的虚部为. 逐点清(三)　复数范围内方程根的问题 [典例]　已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数). (1)求b,c的值; (2)试判断1-i是不是方程的根. 解:(1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根, ∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0. ∴解得b=-2,c=2. (2)由(1)知方程为x2-2x+2=0,把1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,∴1-i也是方程的一个根. 　　|思|维|建|模| 1.复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 (1)当Δ≥0时,x=; (2)当Δ<0时,x=. 2.利用复数相等的定义求解,设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将其代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解. 　　[针对训练] 1.已知2-i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,则实数p,q分别为 (　　) A.p=4,q=-11 B.p=-4,q=3 C.p=4,q=-3 D.p=-4,q=5 解析:选D　因为2-i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,所以(2-i)2+p(2-i)+q=0, 即(3+2p+q)-(4+p)i=0. 所以解得 2.在复数范围内,写出方程z2-4z+21=0的一个解:z=　　　　.  解析:由z2-4z+21=(z-2)2+17=0,得(z-2)2=-17,则z-2=±i,所以z=2±i. 答案:2+i(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $