7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

7.2　复数的四则运算

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]

[课时目标]

1.结合实数的加、减运算法则,熟练掌握复数代数表示式的加、减运算法则.

2.理解复数加法、减法运算的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.

逐点清(一)　复数加、减法运算

[多维理解]

1.复数加法、减法的运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则

(1)z1+z2=(a+c)+(b+d)i.

(2)z1-z2=(a-c)+(b-d)i.

2.复数的加法运算律

对任意z1,z2,z3∈C,有

(1)z1+z2=z2+z1.

(2)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

|微|点|助|解|

对复数的加法、减法运算应注意以下几点

(1)一种规定:复数代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算;

特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致.

(2)运算律:实数加法的交换律、结合律在复数中仍成立,则实数的移项法则在复数中仍然成立.

(3)运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数.

[微点练明]

1.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2=  (　　)

A.8i B.6 

C.6+8i D.6-8i

解析:选B　z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.

2.已知复数z+3i-3=3-3i,则z= (　　)

A.0 B.6i 

C.6 D.6-6i

解析:选D　∵z+3i-3=3-3i,∴z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i.

3.复数(1-i)-(2+i)+3i等于 (　　)

A.-1+i B.1-i

C.i D.-i

解析:选A　(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.故选A.

4.已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,则实数a=　　　　. 

解析:由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以解得a=3.

答案:3

5.设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2=　　　　　. 

解析:因为z1=x+2i,z2=3-yi,z1+z2=5-6i,

所以(3+x)+(2-y)i=5-6i,

所以所以

所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+10i.

答案:-1+10i

 

逐点清(二)　复数加、减法的几何意义

[多维理解]

 

|微|点|助|解|

关于复数加、减法的几何意义的两点说明

(1)复数的加(减)法可以按照向量的加(减)法来进行.

(2)复数减法的几何意义也可叙述为连接表示两个复数对应的向量的有向线段的终点,方向指向表示被减向量的有向线段的终点的向量,就是这两个复数的差对应的向量.

 

[微点练明]

1.已知向量对应的复数为2-3i,向量对应的复数为3-4i,则向量对应的复数为　　　. 

解析:=-=(3-4i)-(2-3i)=1-i.

答案:1-i

2.复平面上有A,B,C三点,点A对应的复数为2+i,对应的复数为1+2i,对应的复数为3-i,则点C的坐标为　　　　. 

解析:因为对应的复数是1+2i,对应的复数为3-i,又=-,所以对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,所以点C的坐标为(4,-2).