7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

7.2　复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.结合实数的加、减运算法则,熟练掌握复数代数表示式的加、减运算法则. 2.理解复数加法、减法运算的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题. 逐点清(一)　复数加、减法运算 [多维理解] 1.复数加法、减法的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则 (1)z1+z2=(a+c)+(b+d)i. (2)z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.复数的加法运算律 对任意z1,z2,z3∈C,有 (1)z1+z2=z2+z1. (2)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). |微|点|助|解| 对复数的加法、减法运算应注意以下几点 (1)一种规定:复数代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算; 特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致. (2)运算律:实数加法的交换律、结合律在复数中仍成立,则实数的移项法则在复数中仍然成立. (3)运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数. [微点练明] 1.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2= (　　) A.8i B.6 C.6+8i D.6-8i 解析:选B　z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6. 2.已知复数z+3i-3=3-3i,则z= (　　) A.0 B.6i C.6 D.6-6i 解析:选D　∵z+3i-3=3-3i,∴z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i. 3.复数(1-i)-(2+i)+3i等于 (　　) A.-1+i B.1-i C.i D.-i 解析:选A　(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.故选A. 4.已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,则实数a=　　　　.  解析:由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以解得a=3. 答案:3 5.设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2=　　　　　.  解析:因为z1=x+2i,z2=3-yi,z1+z2=5-6i, 所以(3+x)+(2-y)i=5-6i, 所以所以 所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+10i. 答案:-1+10i 逐点清(二)　复数加、减法的几何意义 [多维理解] 复数加 法的几 何意义 复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减 法的几 何意义 复数z1-z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 |微|点|助|解| 关于复数加、减法的几何意义的两点说明 (1)复数的加(减)法可以按照向量的加(减)法来进行. (2)复数减法的几何意义也可叙述为连接表示两个复数对应的向量的有向线段的终点,方向指向表示被减向量的有向线段的终点的向量,就是这两个复数的差对应的向量. [微点练明] 1.已知向量对应的复数为2-3i,向量对应的复数为3-4i,则向量对应的复数为　　　.  解析:=-=(3-4i)-(2-3i)=1-i. 答案:1-i 2.复平面上有A,B,C三点,点A对应的复数为2+i,对应的复数为1+2i,对应的复数为3-i,则点C的坐标为　　　　.  解析:因为对应的复数是1+2i,对应的复数为3-i,又=-,所以对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,所以点C的坐标为(4,-2). 答案:(4,-2) 3.如图,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求: (1)所表示的复数,所表示的复数; (2)对角线所表示的复数; (3)对角线所表示的复数及的长度. 解:(1)∵=-, ∴所表示的复数为-3-2i. ∵=,∴所表示的复数为-3-2i. (2)∵=-, ∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)对角线=+, 它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,||==. 逐点清(三)　复数加、减运算几何意义的应用　　 [典例]　(1)非零复数z1,z2分别对应复平面内的向量,,若|z1+z2|=|z1-z2|,则 (　　) A.= B.||=|| C.⊥ D.,共线 (2)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 (　　) A.1 B. C.2 D. 解析:(1)如图,由向量的加法及减法法则可知,=+,=-.由复数加法及减法的几何意义可知,|z1+z2|对应的模,|z1-z2|对应的模.又|z1+z2|=|z1-z2|,所以四边形OACB是矩形,则⊥. (2)设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.所以Z点在线段Z1Z2上移动,|Z1Z3|min=1,所以|z+i+1|min=1. 答案:(1)C　(2)A 　　|思|维|建|模| 在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B(O,A,B不共线),z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB为平行四边形;若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形. 　　[针对训练] 1.已知△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点P是△ABC的 (　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析:选A　由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C的距离相等,所以P为△ABC的外心. 2.设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为 (　　) A.0 B.1 C. D. 解析:选C　∵由|z+1|-|z-i|=0,得|z+1|=|z-i|,∴复数z表示以A(-1,0),B(0,1)为端点的线段的垂直平分线OM,设复数-i对应点C(0,-1),|z+i|表示点M到点C(0,-1)的距离.当CM⊥OM时,|z+i|取到最小值|CM|.又|CM|=|OC|sin 45°=,∴|z+i|的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $