7.1.2 复数的几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

7.1.2　复数的几何意义 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.了解复平面的概念,理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系.

2.理解共轭复数的概念,并会求一个复数的共轭复数.

3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法,会求复数的模,并能解决相关的问题.

1.复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数的几何意义

(1)复数z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b).

(2)复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量.

|微|点|助|解|

(1)实轴与复数的对应:实轴上的点都表示实数.

(2)虚轴与复数的对应:除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.

 

3.复数的模

(1)定义:向量的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的　模　或绝对值. 

(2)记法:复数z=a+bi的模记作|z|或|a+bi|.

(3)公式:|z|=|a+bi|=.

(4)模的几何意义:复数z的模就是复数z=a+bi(a,b∈R)所对应的点Z(a,b)到原点(0,0)的距离.

4.共轭复数

(1)定义:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

(2)表示:复数z的共轭复数用 表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么=a-bi.

(3)性质:①=z.

②实数的共轭复数是它本身,即 =z⇔z∈R.

基础落实训练

1.已知复数z=-i,则复平面内对应点Z的坐标为 (　　)

A.(0,-1) B.(-1,0)

C.(0,0) D.(-1,-1)

解析:选A　复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故复平面内对应点Z的坐标为(0,-1).故选A.

2.已知复数z=-3i,则复数的模|z|是 (　　)

A.5 B.

C.6 D.

解析:选D　|z|==.

3.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为 (　　)

A.1或3 B.1

C.3 D.2

解析:选A　依题意可得 =2,解得m=1或m=3,故选A.

4.若复数z=-2+i,则复数z的共轭复数 等于 (　　)

A.-2+i B.-2-i

C.2+i D.2-i

解析:选B　因为复数z=-2+i,所以复数z的共轭复数=-2-i.

题型(一)　复数与复平面内点的关系

[例1]　实数a取什么值时,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点:

(1)位于第二象限;

(2)位于实轴上方;

(3)位于直线y=x上.

解:根据复数的几何意义可知,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点为Z(a2+a-2,a2-3a+2).

(1)由点Z位于第二象限得解得-2<a<1.

故满足条件的实数a的取值范围为(-2,1).

(2)由点Z位于实轴上方得a2-3a+2>0,

解得a>2或a<1,故满足条件的实数a的取值范围为(-∞,1)∪(2,+∞).

(3)由点Z位于直线y=x上得a2+a-2=a2-3a+2,解得a=1.故满足条件的实数a的值为1.

 

　　|思|维|建|模|

利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤

(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.