7.1.2 复数的几何意义学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦复数的几何意义，涵盖复平面、复数与点及向量的一一对应、模与共轭复数等核心知识点。通过思考问题衔接复数代数形式，搭建从代数到几何的学习支架，引导学生理解对应关系及内在逻辑。 资料以例题解析与分层练习为特色，通过实部虚部的方程不等式应用培养数学思维的逻辑推理，借助复数与点、向量的对应发展数学眼光的几何直观，结合模的计算与共轭复数性质强化数学语言的符号表达。课堂总结步骤清晰，助力学生形成解题方法，提升抽象能力与应用意识。

7.1.2 复数的几何意义 【知识点概况】 一、复平面 （1）复平面：建立平面直角坐标系来表示 的平面叫复平面. （2）实轴：坐标系中的 轴叫实轴，在它上面的点都表示实数. （3）虚轴：坐标系中的 轴叫虚轴，除去原点外，在它上面的点都表示 . 二、复数的几何意义 复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的点Z（a,b）是 关系. 复数z=a+bi(a，b∈R)与平面向量是 关系（O为原点）. 三、复数的模 设复数z=a+bi(a，b∈R)，则|z|= . 四、共轭复数 （1）定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 . （2）表示：复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi(a，b∈R)，那么= . 思考：1.如何理解复数与复平面内的点的一一对应关系？ 2.如何理解和计算复数的模？ 3.共轭复数有何性质？ 【课堂练习】 一、复数与复平面内的点的关系 【例1】当实数m为何值时，复数(m²-8m+15)+(m²+3m-28)i在复平面内的对应点： （1）位于第四象限； （2）位于x轴的负半轴上. 总结：利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1） 找对应关系：复数的几何表示法即复数z=a+bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z（a,b）来表示，是解决此类问题的根据. （2） 列出方程：此类问题可建立关于复数的实部与虚部的方程或不等式，通过解方程（组）或不等式（组）求解. 【练习】 1.在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知x∈R，则复数(x²+1)+xi在复平面内对应的点在（ ） A.实轴的下侧 B.实轴的上侧 C.虚轴的左侧 D.虚轴的右侧 二、复数与复平面内的向量的关系 【例2】在复平面内，0为原点，向量对应的复数为5-4i，向量对应的复数为-5+4i，则+对应的复数是（ ） A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i 【例3】在复平面内，0为坐标原点，向量对应的复数为-1+2i，若点A关于直线y=-x的对称点为点B，则向量对应的复数为（ ） A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i 总结：复数与平面向量的对应关系 （1）当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 【练习】 1.已知在复平面中，0为原点，向量对应的复数分别为2-3i，-3+2i，那么向量对应的复数是（ ） A.-5+5i B.5-5i C.5+5i D.-5-5i 2.在复平面内，0为原点，向量对应的复数为-1-2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ） A.-2-i B.2+i C.1+2i D.-1+2i 三、复数的模与共轭复数 【例4】（1）已知复数的实部为1，且|z|=2，则复数z的虚部是 . （2）已知x，y∈R，i为虚数单位，若1+xi=(2-y)-3i，则|x+yi|= . （3）复数z=3-4i的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 总结：（1）求复数z=a+bi(a，b∈R)的模，只需代入定义式即可，注意复数的模往往和其他章节的内容相联系. （2） （3）两个复数相等，其模必相等，反之，两个复数的模相等，这两个复数不一定相等. 【练习】 1.若复数z=(a+2)-2ai的模等于，则实数a的值为 . 2.若复数z在复平面内对应的点在直线y=2x上，且，则复数z= . 3.【多选题】下列说法正确的是（ ） A.复数和其共轭复数都是成对出现的 B.实数不存在共轭复数 C.互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称 D.复数和其共轭复数的模相等 【课后练习】 1.已知复数z=(a²-2a)+(a²-a-2)i (a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则（ ） A. a≠2或a≠1 B.a≠2且a≠1 C. a=0 D. a=2或a=0 2.在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（ ） A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i 3.若复数z=-2+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.在复平面内，已知平行四边形OABC，O，A，C三点对应的复数分别为0,1+2i，3-2i，则向量的模等于（ ） A. B. C.4 D. 5.在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2+3i，3+2i，-2-3i，求点D对应的复数. 学科网（北京）股份有限公司 $