7.1.2 复数的几何意义导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修二导学案 第七章 复 数 第七章 复数 §7.1.2 复数的几何意义【导学】 【导学目标】 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系 2.掌握实轴、虚轴、模等概念. 3.掌握用向量的模表示复数的模的方法. 【导学重点】掌握实轴、虚轴、模的概念及复数的几何意义； 【导学难点】向量模和复数的几何意义. 【知识要点】 复平面的概念 根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 .显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点 ，这是复数的一种几何意义. 3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 复数的模 如图所示，向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知： |z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R). 复数的模的性质 设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|z|＝|z1|n(n∈N*). (3)≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线. 共轭复数定义 若复数z=a+bi（a,b∈R，i为虚数单位），则其共轭复数z=a−bi， 即实部相同，虚部互为相反数。 互为共轭复数的两个复数的关系 （1）在复平面对应点关于x轴对称 （2） （3） 【典型例题】 题型一 复数与复平面内点的对应关系 【例1-1】(衔接教材P71L2)设复数z1＝4+3i，z2＝4-3i. (1)在复平面内画出复数z1，z2对应点和向量； (2)求复数z1，z2的模，并比较它们模的大小. 【答案】（1）略；（2）|z1|=|z2|=5. 【例1-2】在复平面内,若复数－1－(a2-2a)i(i为虚数单位)，则实数a的取值范围是 . 【答案】（0，2）. 【例1-3】在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线y＝x上， 分别求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2） （2，4）; （3） ； （4） . 【例1-4】(衔接教材P73T6)实数m取什么值时，复数z＝(m2-8m＋15)＋(m2－5m－14)i. (1)位于第四象限； (2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上; (3)对应的点位于第一或在第三象限; (4)对应的点在x轴上方. 【答案】略 题型二 复数的模的几何意义 【例2-1】(衔接教材P72L3)设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形? (1)|z|＝1； (2)1≤|z|≤2. 【答案】（1）组成的图形是以原点为圆心，以1为半径的圆； （2）组成的图形是以原点为圆心，分别以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界. 【例2-2】若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)， (1)试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形? (2)求z在复平面所对应的图形的面积. 【答案】（1）点Z的集合是圆和圆内点； （2）. 题型三 复数的模及其应用 【例3-1】(多选)关于复数，下列说法错误的是（ ） A.若∣z∣=1，则z=±1或±i B.复数6+5i与−3+4i在复平面内分别对应向量，则向量对应的复数为9+i C.若z是复数，则z2+1>0 D. 若复数z满足1≤∣z∣<2​，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π 【答案】ABC 【例3-2】已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围. 【答案】 【例3-3】已知复数|z|＝1，求复数3＋4i＋z的模的最大值及最小值. 【答案】复数3＋4i＋z的模的最大值为6、最小值为4. 题型四 共轭复数 【例4-1】已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（ ） A. 3 B.-3 C.3i D.-3i 【答案】A. 【例4-2】已知复数z在复平面内对应点在第二象限，它的模为3，实部是-2，则 . 【答案】. 题型五 综合应用 【例5-1】四边形ABCD为复平面内的平行四边形，O为坐标原点，向量对应的复数为5，对应的复数为−2−3i，对应的复数为−6+4i. (1) 求点D对应的复数； (2) 判断A,B,C,D四点是否在同一个圆上，并证明你的结论。 【答案】（1）点D对应的复数-1+4i； （2）略. 【例5-2】(多选)如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为 “等部复数”.若复数z=a+2i(a∈R,i为虚数单位)为 “等部复数”，则下列说法正确的是（ ） A.  a=2 B. ∣z∣=4 C. z=2−2i D. 复数(a−2)+(a2−2)i是纯虚数 【答案】ACD. 【例5-3】设a∈R，则 “a=1” 是 “复数(a−1)(a+2)+i为纯虚数” 的（ ） B. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A. ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修二导学案 第七章 复 数 第七章 复数 §7.1.2 复数的几何意义【导学】 【导学目标】 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系 2.掌握实轴、虚轴、模等概念. 3.掌握用向量的模表示复数的模的方法. 【导学重点】掌握实轴、虚轴、模的概念及复数的几何意义； 【导学难点】向量模和复数的几何意义. 【知识要点】 复平面的概念 根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 .显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点 ，这是复数的一种几何意义. 3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 复数的模 如图所示，向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知： |z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R). 复数的模的性质 设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|z|＝|z1|n(n∈N*). (3)≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线. 共轭复数定义 若复数z=a+bi（a,b∈R，i为虚数单位），则其共轭复数z=a−bi， 即实部相同，虚部互为相反数。 互为共轭复数的两个复数的关系 （1）在复平面对应点关于x轴对称 （2） （3） 【典型例题】 题型一 复数与复平面内点的对应关系 【例1-1】(衔接教材P71L2)设复数z1＝4+3i，z2＝4-3i. (1)在复平面内画出复数z1，z2对应点和向量； (2)求复数z1，z2的模，并比较它们模的大小. 【例1-2】在复平面内,若复数－1－(a2-2a)i(i为虚数单位)，则实数a的取值范围是 . 【例1-3】在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线y＝x上， 分别求实数m的取值范围. 【例1-4】(衔接教材P73T6)实数m取什么值时，复数z＝(m2-8m＋15)＋(m2－5m－14)i. (1)位于第四象限； (2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上; (3)对应的点位于第一或在第三象限; (4)对应的点在x轴上方. 题型二 复数的模的几何意义 【例2-1】(衔接教材P72L3)设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形? (1)|z|＝1； (2)1≤|z|≤2. 【例2-2】若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)， (1)试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形? (2)求z在复平面所对应的图形的面积. 题型三 复数的模及其应用 【例3-1】(多选)关于复数，下列说法错误的是（ ） A.若∣z∣=1，则z=±1或±i B.复数6+5i与−3+4i在复平面内分别对应向量，则向量对应的复数为9+i C.若z是复数，则z2+1>0 D. 若复数z满足1≤∣z∣<2​，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π 【例3-2】已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围. 【例3-3】已知复数|z|＝1，求复数3＋4i＋z的模的最大值及最小值. 题型四 共轭复数 【例4-1】已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（ ） A. 3 B.-3 C.3i D.-3i 【例4-2】已知复数z在复平面内对应点在第二象限，它的模为3，实部是-2，则 . 题型五 综合应用 【例5-1】四边形ABCD为复平面内的平行四边形，O为坐标原点，向量对应的复数为5，对应的复数为−2−3i，对应的复数为−6+4i. (1) 求点D对应的复数； (2) 判断A,B,C,D四点是否在同一个圆上，并证明你的结论。 【例5-2】(多选)如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为 “等部复数”.若复数z=a+2i(a∈R,i为虚数单位)为 “等部复数”，则下列说法正确的是（ ） A.  a=2 B. ∣z∣=4 C. z=2−2i D. 复数(a−2)+(a2−2)i是纯虚数 【例5-3】设a∈R，则 “a=1” 是 “复数(a−1)(a+2)+i为纯虚数” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $