7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

　复　数 7.1　复数的概念 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.了解复数的概念,能类比有理数扩充到实数系的过程和方法,通过方程的解认识复数. 2.能描述复数代数表示式的结构特征,正确判断复数的实部、虚部. 3.知道复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系. 逐点清(一)　复数的概念及复数集 [多维理解] 1.复数的定义及表示方法 定义 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1 表示 方法 复数通常用字母z表示,即z=a+bi.其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部 2.复数集的定义及表示 全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.通常用大写字母C表示. |微|点|助|解| (1)虚数单位i性质的关注点 i2=-1的理解:并没有规定i=±还是i=或i=-,在今后的学习中,我们将知道=±i但不能说i=±. (2)复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式,其中0=0+0i和实数之间能进行加法、乘法运算. (3)复数的虚部是实数b而非bi. (4)复数z=a+bi只有在a,b∈R时才是复数的代数形式,否则不是. [微点练明] 1.若复数z的实部和虚部之和为3,则复数z可以是 (　　) A.3-i B.3+i C.-1+4i D.1+3i 答案:C 2.已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等,则实数a等于 (　　) A.-3 B.3 C.-1 D.1 解析:选C　复数z1=1+3i的实部为1.复数z2=-1-ai的虚部为-a,则-a=1,解得a=-1. 3.以-+7i的虚部为实部,以i+5i2的实部为虚部的复数是 (　　) A.7-5i B.-+i C.5+i D.+i 解析:选A　设所求复数为z=a+bi(a,b∈R),由题意知复数-+7i的虚部为7,所以a=7.复数i+5i2=-5+i的实部为-5,所以b=-5,故z=7-5i. 4.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为　　　　.  解析:由条件知a2-3+2a=0,∴a=1或a=-3. 答案:1或-3 逐点清(二)　复数的分类 [多维理解] 1.复数的分类 对于复数a+bi(a,b∈R) (1)z为实数⇔b=0; (2)z为虚数⇔b≠0; (3)z为纯虚数⇔a=0且b≠0. 2.集合表示 |微|点|助|解| (1)两个复数不一定能比较大小,当两个复数都是实数时,可以比较大小;两个虚数或一个虚数与一个实数不能比较大小,即两个复数除去都是实数外,没有大小关系. (2)复数分类问题的求解方法与步骤 ①化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部. ②定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为a+bi(a,b∈R)的形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. ③下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),则:z为实数⇔b=0;z为虚数⇔b≠0;z为纯虚数⇔a=0且b≠0.a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的必要不充分条件. [微点练明] 1.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为 (　　) A.1 B.2 C.-1或-2 D.1或2 解析:选B　由得a=2,故选B. 2.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是 (　　) A.|a|=|b| B.a<0且a=-b C.a>0且a≠b D.a≤0 解析:选D　复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a≤0. 3.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值为　　　　.  解析:由z1>z2,得 即解得a=0. 答案:0 4.当m为何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i是:(1)虚数;(2)纯虚数;(3)实数. 解:(1)当 即m≠5且m≠-3时,z是虚数. (2)当 即m=3或m=-2时,z是纯虚数. (3)当即m=5时,z是实数. 逐点清(三)　复数相等 [多维理解] 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d. |微|点|助|解| (1)在两个复数相等的条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di⇔a=c且b=d.若忽略前提条件,则结论不能成立. (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来,达到“化虚为实”的目的,从而将复数问题转化为实数问题来求解. [微点练明] 1.满足x-3i=(8x-y)i的实数x,y的值为 (　　) A.x=0且y=3 B.x=0且y=-3 C.x=5且y=3 D.x=3且y=0 解析:选A　依题意得解得故选A. 2.若复数(m-2)+m(m-2)i=0,则实数m= (　　) A.2 B.3 C.0 D.1 解析:选A　因为复数(m-2)+m(m-2)i=0,则有解得m=2. 3.复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a,b,c,d∈R),则z1=z2的充要条件是　　　　　　　.  解析:由复数相等定义可得,z1=z2等价于a=c且|b|=|d|,所以z1=z2的充要条件为a=c且b2=d2. 答案:a=c且b2=d2 4.关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,则实数a的值为　　　　.  解析:设方程的实数根为x=m,则3m2-m-1=(10-m-2m2)i,∴ 解得a=11或a=-. 答案:11或- 学科网（北京）股份有限公司 $